Kształtowanie pojęcia liczby pojęcie liczby naturalnej

Nauczanie matematyki koncentruje się wokół pojęcia liczb naturalnych i działań arytmetycznych.

Dzieci 6-7 letnie rozumują już w sposób operacyjnym na poziomie konkretnym i można kształtować w ich umysłach pojęcie liczby . Nauczycielka kształtując na lekcji pojęcie liczby pragnie , aby dzieci mogły połączyć w swoim umyśle najważniejsze aspekty liczby naturalnej. Należą aspekt kardynalny, porządkowy, symboliczny i arytmetyczny.

W praktyce przebiegać to może w następujący sposób.

Nauczycielka rozpoczyna od takiego zadania: do tablicy przypina obrazki przedstawiające: 5 słoni, 5 jabłek, 6 piesków, 4 kwiatki, 3 krokodyle, 2 gruszki, l piłka (mogą to być także inne przykłady zbiorów pięcio-, cztero-, trzy-, dwuelementowych). Widać to na rysunku:

Każde dziecko w klasie otrzymuje kartkę z rysunkami identycznymi z tymi, które znajdują się na tablicy (zostały wykonane za pomocą pie­czątek). Dzieci oglądają to, co mają na kartkach, i porównują z tym, co jest na tablicy. Nazywają zwierzęta, owoce, rośliny. Liczą je i rysują pętle wyodrębniające poszczególne zbiory (dokonują klasyfikacji z uwzględnie­niem cech).

Nauczycielka poleca: Wskaż zbiory równoliczne. Pokaż zbiory równo-liczne, w których jest tyle samo elementów (jest to sytuacja akcentująca aspekt kardynalny liczby 5). W tym miejscu zaczyna się problem. Nau­czycielka uważa, że wszyscy uczniowie skupią się teraz na liczbie elemen­tów w zbiorze i nie będą zwracać uwagi na ich cechy jakościowe. I rzeczy­wiście: tak będą na ogół postępować dzieci, które myślą operacyjnie na poziomie konkretnym. Natomiast dla pozostałych - tych rozumujących jeszcze na niższym poziomie — wcale nie jest oczywiste, że 5 słoni i 5 jabłek to tyle samo. Słonie są ogromnymi zwierzętami, a jabłka zmieszczą się w koszyku. W ich rozumowaniu cechy jakościowe są dominujące, chociaż łączą się już z cechami ilościowymi. Myślenie tych dzieci jest też silnie związane z wykonywanymi czynnościami i spostrzeganym obra­zem, dlatego nie potrafią oderwać liczebności zbiorów od jakościowych cech elementów, które do nich należą.

W poleceniu nauczycielki: Pokaż zbiory równoliczne, w których jest tyle samo elementów, czołowe miejsce zajmuje określenie „równoliczne". Dla wielu dzieci jest ono nowe, trudne i nie do końca zrozumiałe. Bliższe jest im wyrażenie „tyle samo". Wielokrotnie dzieliły cukierki tak, aby było „po tyle samo", czyli „po równo" i sprawiedliwie.

Doskonale wiedzą, że 5 dużych cukierków, to nie jest tyle samo, co 5 małych cukierków. Tu i tu jest po 5, ale wcale nie jest „po równo" i „po tyle samo". Dzieci te, nawet gdy policzą słonie i jabłka, mówią: Tu i tu jest po pięć, ale tu jest więcej (pokazują słonie). Pięć może oznaczać „więcej" albo „mniej", w za­leżności od tego, co się liczy.

Gdy dziecko głośno wypowie swe wątpliwości, na ogół dorośli, nie tylko nauczycielka, będą dążyli do wyjaśnienia dziecku, że się myli. Na przykład nauczycielka zachęci, aby jeszcze raz policzyło lub za pomocą kresek połączyło w pary słonie i jabłka. Dorośli uważają, że dziecko wów­czas „zobaczy" równoliczność zbiorów. Problem jednak w tym, że naryso­wanie kresek niczego nie zmienia w rozumowaniu dziecka. Słonie nadal są duże, jabłka małe i dodatkowo jest tam jeszcze pięć kresek. Wszyst­kiego jest wprawdzie po pięć, ale tam, gdzie słonie -jest najwięcej, tam, gdzie jabłka - jest mniej, a tam, gdzie kreski - jeszcze mniej. Znaczenie kresek, jako sposobu przyporządkowania, jest przecież jasne tylko wów­czas, gdy dziecko potrafi skupić się tylko na tej czynności i rozumować w kategoriach liczby elementów.

Opisana sytuacja nie świadczy o tym, że nauczycielka źle uczy. Więk­szość dzieci w klasie doskonale rozumie polecenia i nadąża za jej rozu­mowaniem. Jednak w każdej klasie jest kilkoro dzieci, które funkcjonują tak, jak przedstawiłam. Nauczycielka wymaga sprawnego ustalania równoliczności zbiorów, a one tego jeszcze nie potrafią.

Po uświadomieniu dzieciom aspektu kardynalnego liczby 5 nauczycielka przystępuje do kształtowania aspektu porządkowego tej liczby.

25

Obok wyodrębnionych obiektów rysuje oś liczbową. Oznaczyła na niej punkty, a obok zapisała liczby: l, 2, 3, 4, 5, 6. Następnie zwróciła się do dzieci:

Przyjrzyjcie się zbiorom i połączcie je z odpowiednimi punktami na osi. Nauczycielka oczekuje, że dzieci rozwiążą to zadanie tak jak na rysunku. (Otoczą pętlami wyróżnione zbiory i połączą je kreskami z punktami na osi liczbowej.)

Nim dziecko połączy wyodrębnione zbiory z właściwymi punktami na osi musi określić relacje zachodzące pomiędzy liczbą 5, a liczbami sąsied­nimi. Liczba 5 jest większa c l od liczby 4, ta zaś jest większa o l od liczby 3 itd. Na tym nie koniec: liczba 5 jest także mniejsza o l od liczby 6. Wynik tego wnioskowania nauczycielka zapisała w postaci:

4<5i5<6 lub 4<5<6

Jest to skomplikowane rozumowanie. Dla dzieci, które myślą na po­ziomie operacyjnym w zakresie wyznaczania konsekwentnych serii, nie jest ono trudne. Na szczęście w klasie takich dzieci jest większość. Będzie tam jednak kilkoro, dla których wszystko to jest niejasne i zagmatwane. Trudno im jeszcze zgodzić się, że 5 słoni lub 5 jabłek, to więcej niż 4 kwiatki, a 4 kwiatki to więcej niż 3 krokodyle. Nie wiadomo także, dlaczego 6 piesków to więcej niż 5 jabłek lub 5 słoni. Na dodatek zbiory tych obiektów zostały w niejasny sposób połączone z liczbami na osi. Dzieci te traktują obiekty należące do zbiorów jako znane im zwierzęta, owoce, rośliny itd., które mają swoją masę i kolor. I jest to dla nich ważne.

Kłopot także w tym, że dzieci, które nie rozumieją, czego od nich ocze­kuje nauczycielka, nie potrafią jej o tym powiedzieć. Siedzą bezradnie i bezmyślnie naśladują czynności jej i innych dzieci. A tymczasem nau­czycielka uważa, że wszystko się w dziecięcych umysłach poukładało i można przystąpić do zapisu symbolu liczby 5. Napisała tę cyfrę na tab­licy. Potem pisząc jaw powietrzu zwraca dzieciom uwagę na ruchy ręką. Dzieci, naśladując jej gesty, napisały cyfrę 5 palcem w powietrzu i na ławce. Kiedy opanowały koordynację ruchu, zapisały jaw zeszycie pilnie bacząc na właściwe umieszczenie w kratkach.

Ledwo nauczyły się zapisywać liczbę 5, natychmiast zaczynają rozwią­zywać zadania. Na początku są one ilustrowane i dziecko może zwyczajnie policzyć palcem: Ile jest razem? Ile pozostało? Kłopot w tym, że większość zadań jest już zapisanych w formie działań (np. słupki), a więc symbo­licznie. Można je rozwiązać licząc w pamięci. Są też takie działania:

D+3=5

5-D=4

2+2+...=5

5-...=3

Żeby je rozwiązać, dziecko musi sprawnie rozumować operacyjnie na poziomie konkretnym, nie mówiąc już o umiejętności liczenia w pamięci.

Taki sposób prowadzenia lekcji nazywa się „monografią liczby", i jest typowy dla zapoznawania dzieci z liczbami pierwszej i drugiej dziesiątki.

Należy jednak odpowiednio wcześnie zadbać o rozwój dziecięcego myślenia. Chodzi o to, aby dzieci potrafiły rozumować tak, jak wymaga nauczycielka i żeby nadawały pojęciom „ilość" i „liczebność" podobny sens, tak jak to czynią dorośli.

Operacyjne rozumowanie w rozwoju dzieci

Operacyjne rozumowanie w rozwoju dzieci  jest to jeden ze sposobów myślenia, który kształtuje się i dojrzewa zgodnie z rytmem rozwojowym człowieka. W kolejnych okresach i stadiach rozwojowych także pod wpływem nauczania domowego i szkolnego - zmienia się sposób, w jaki człowiek ujmuje, porządkuje  i wyjaśnia rzeczywistość. Zmiany te przebiegają od form prostych, silnie  powiązanych ze spostrzeganiem i wykonywanymi czynnościami, do form realizowanych w umyśle, a więc abstrakcyjnie. Dlatego psycholodzy mówią także o rozwoju inteligencji operacyjnej człowieka.

Koncepcję rozwoju operacyjnego rozumowania w umyśle człowieka opracował J. Piaget.

J.Piaget określił model rozwoju umysłowego człowieka. Ustalił okresy i stadia rozwojowe, przez które każdy człowiek musi przejść. Ważna jest kolejność, bo nie można pominąć żadnej fazy rozwojowej. Tempo przechodzenia na poziomy wyższe jest zróżnicowane: może trwać dłużej i mówi wówczas o wolniejszym rozwoju, może trwać krócej i oznacza to rozwój przyspieszony.

W swoim modelu Piaget uwzględnia przeciętne tempo roz­woju, a więc czas, w jakim większość dzieci przechodzi na wyższe poziomy.

Pierwszy okres rozwoju umysłowego trwa do drugiego roku życia dziecka. Nazywa się okresem kształtowania inteligencji praktycz­nej. W tym czasie dziecko poznaje swoimi zmysłami najbliższą przestrzeń i uczy się poruszać w niej i panować nad przedmiotami. Także w następ­nym okresie rozwojowym sprawą najważniejszą jest poznawanie świata rzeczy. Dlatego nazywa się ten okres kształtowaniem operacji kon­kretnych. Teraz także chodzi o intensywny rozwój czynności umysło­wych, przy pomocy których dziecko może myśleć o realnym świecie i przekształcać go w swoim umyśle. Okres ten trwa w przybliżeniu do dwunastego roku życia i jest podzielony na dwa podokresy. Pierwszy zwany przedoperacyjnym kończy się około siódmego roku życia. W tym czasie w umyśle dziecka tworzą się i dojrzewają pierwsze operacje kon­kretne. Dla naszych rozważań ważne jest, że dotyczą one pojęć liczbowych. W drugim podokresie operacyjne rozumowanie rozszerza się i obejmuje przestrzeń i czas. Po przebyciu tej drogi rozwojowej, dziecko dysponuje systemem rozumowania o spoistej, ale konkretnej logice. W następnym okresie rozwoju młody człowiek przechodzi do rozumowania operacyjnego na poziomie formalnym.

Przełomowym momentem jest siódmy rok życia. Dziecko zaczyna się już posługiwać logiką zbliżoną do tej, której używają dorośli. Jest to rezultat obecności w rozumowaniu dziecka pierwszych operacji konkretnych. Trzeba jednak pamiętać, że w rozwoju umysłowym występują duże różnice indywidualne. W grupie siedmiolatków są dzieci, które rozumują już na poziomie dziewięciolatka. Jest tam także sporo dzieci o wolniejszym tempie rozwoju i te myślą tak, jak pięciolatek. Takie przyśpieszenie i opóźnienie rozwojowe mieści się w kategoriach normy.

Siódmy rok życia dziecka jest ważny ze względu na rozpoczynanie nauki w szkole. W naszym kraju przestrzega się rygorystycznie, aby każde dziecko, które w danym roku kończy siedem lat, zostało objęte obowiązkiem szkolnym. Rok szkolny zaczyna się we wrześniu, a więc w dziewiątym miesiącu roku. Dzieci urodzone w styczniu mają wówczas siedem lat i osiem miesięcy. Dzieci urodzone w grudniu tylko sześć lat i osiem mie­sięcy. Nic więc dziwnego, że wśród dzieci rozpoczynających naukę w kla­sie pierwszej jest spora grupka takich, które jeszcze nie rozumują operacyjnie na poziomie konkretnym.

Tymczasem szkolne nauczanie matematyki od wszystkich pierwszokla­sistów wymaga operacyjnego rozumowania na poziomie konkretnym.

Zatem do kształtowania pojęcia liczby ważne są dwa zakresy myślenia:

a) operacyjne rozumowanie potrzebne przy ustalaniu stałości liczebności porównywanych zbiorów. Chodzi o to, aby dziecko potrafiło ustalać równoliczność przez tworzenie par, a także było pewne co do  stałości liczby elementów w zbiorze, chociaż widzi, że są one przemieszczane, zakrywane itp.

b) operacyjne ustawianie po kolei pozwalające dziecku określić  miejsce wybranej liczby w szeregu liczb, a potem wskazać liczby następne (następniki) i liczby poprzednie (poprzedniki). Pomoże to dziecku zrozumieć aspekt porządkowy i miarowy liczby naturalnej.

Ćwiczenia wspomagające rozwój operacyjnego myślenia. Ustalanie stałości liczby elementów w zbiorze

Do tej serii ćwiczeń potrzebne będą kolorowe kółka, prostokąty, trójkąty z Zestawu pomocy. Przydadzą się także kasztany, żołędzie, klocki, kamyki, ziarna dużej fasoli, a także spodeczek lub kubek.

Układanki z trójkątów.

Dorosły wyjmuje z Zestawu pomocy 12 dużych trójkątów. Układa je przed dzieckiem tak, aby tworzyły szereg i mówi: Mam dla ciebie zagadkę. To są trójkąty (wskazuje je). Przyjrzyj się im. Jak  chcesz, możesz je policzyć... Patrz uważnie. Dorosły zmienia ułożenie trójkątów.

Następnie pyta: Jak myślisz, czy teraz, po ułożeniu trójkątów jest tyle samo ? A może jest mniej?

Dzieci, które potrafią już wnioskować o stałości liczby elementów, odpowiadają zwykle: Tyle samo, są tylko inaczej ułożone. One wiedzą, że zmiana układu (przesunięcie, przełożenie) nie ma wpływu na liczebność zbioru. Są tego tak pewne, że po zmianie układu trójkątów nie muszą ich ponownie liczyć. Rozumują operacyjnie: zauważone zmiany traktują jako odwracalne i są przekonane o stałości liczby obiektów.

Dzieci, które niebawem osiągną taki poziom, ciągle liczą. Policzyły trójkąty ułożone w długi szereg. Widzą zmianę układu i wydaje się im, że polej zmianie trójkątów jest mniej. Zaniepokojone tym wrażeniem zaczy­nają ponownie liczyć trójkąty. Dopiero po takim upewnieniu się mówią: Jest tyle samo. Jednak, mimo ponownego policzenia, nie są do końca pew­ne: jeżeli dorosły miną wyraża zdziwienie, wahają się, zmieniają zdanie. Tak zachowują się dzieci, które znajdują się na poziomie przejściowym z rozumowania przedoperacyjnego do operacyjnego, konkretnego.

W grupie sześciolatków będzie jednak sporo dzieci (bywa, że większość), które po zsunięciu trójkątów w ciasny szereg, będą stanowczo twierdziły:

Teraz jest mniej. Jeżeli zapytać dziecko: Dlaczego tak uważasz? wyjaśni:

Bo widać! I rzeczywiście, trójkąty zajmują teraz znacznie mniej miejsca niż wcześniej, gdy były rozsunięte. Dziecko, oceniając liczebność kieruje się tu wielkością obszaru zajmowanego przez trójkąty. Taki sposób myś­lenia jest charakterystyczny dla dzieci na poziomie rozumowania przed­operacyjnego . W takim przypadku należy  zorganizować dziecku sytuacje, które dostarczą mu doświadczeń, umożliwiających przejście na wyższy poziom myślenia.

Układanki z prostokątów.

Dorosły wyjmuje z Zestawu pomocy 9 dużych prostokątów. Układa je w szereg przed dzieckiem i mówi : Mam nową zagadkę. Patrz uważnie. Jak chcesz, możesz policzyć prostokąty . Zmieniam i układam z nich tabliczkę . Powiedz, czy teraz, gdy prostokąty tworzą tabliczkę, jest ich tyle samo? A może mniej?

Dziecko, które potrafi zachować stałość liczby prostokątów, odpowie: Tyle  samo. Jeżeli spytać: Dlaczego tak uważasz? wyjaśnia: To są te same prostokąty , tylko teraz inaczej ułożone.  Jeżeli dziecko potrafi w  ten sposób rozumować i  dorosły jest przekonany, że dziecko potrafi zachować stałość liczby elementów niezależnie od tego, czy się je przesunie, rozsunie, z...