6.Funkcjonały liniowe.pdf

(86 KB) Pobierz
116013863 UNPDF
Rozdzial 6
Funkcjonaly liniowe
6.1 Funkcjonaly
6.1.1 Denicja i przyklady
NiechX jK
b edzie przestrzeni a liniow a, dim(X jK ) <1.
Denicja 6.1 Odwzorowanie
s :X!K
nazywamy funkcjonalem (liniowym) naX jK
gdy dla dowolnych a;b2Xi
;2K
s(a + b) = s(a) + s(b):
Zbior wszystkich funkcjonalow (liniowych) naX jK
oznaczamy przezX .
Podamy teraz kilka przykladow funkcjonalow.
W przestrzeni wektorow K n jK
funkcjonalami s a przeksztalcenia postaci
s(x) = a T x; 8x2K n ;
gdzie a2K n jest ustalonym wektorem. (Tu wyjasnia si e tajemnica nazwania
wczesniej funkcjonalem macierzy jednowierszowej.)
W przestrzeni macierzy K m;n
P
jK
funkcjonalami s a np. s 1 (A) = a 2;3 , s 2 (A) =
tr(A) :=
min(m;n)
j=1
a j;j (jest to slad macierzy), przy czym A = (a i;j )2K m;n .
53
54
ROZDZIAL 6. FUNKCJONALY LINIOWE
s 2 (p) = 3p(1)7p(3),
W przestrzeni wielomianowP n jR
funkcjonalami s a np. s 1 (p) = p(2),
Z
s 3 (p) = d 2 p
dt 2
1
= p 00 (1); s 4 (p) =
p(t)dt;
t=1
0
przy czym p2P n .
6.1.2 Przestrzen sprz ezona
Na zbiorzeX mozemy w naturalny sposob zdeniowac dodawanie funk-
cjonalow s 1 ;s 2 2X ,
(s 1 + s 2 )(a) := s 1 (a) + s 2 (a); 8a2X;
oraz mnozenie funkcjonalu s2X przez skalar 2K,
(s)(a) := s(a); 8a2X:
Twierdzenie 6.1 ZbiorX z powyzej zdeniowanymi dzialaniami dodawa-
nia funkcjonalow i mnozenia przez skalar jest przestrzeni a liniow a nad K.
Dowod tego twierdzenia jest trywialny i polega na bezposrednim spraw-
dzeniu warunkow bycia przestrzeni a liniow a. Tutaj zauwazymy tylko, ze
elementem zerowymX jK jest funkcjonal zerowy, 0 (a) = 08a2X, a
elementem przeciwnym do s2X jest funkcjonal (s) zdeniowany jako
(s)(a) =s(a)8a2X.
Denicja 6.2 PrzestrzenX jK
nazywamy przestrzeni a sprz ezon a doX jK .
SkoroX jK jest przestrzeni a liniow a to mozemy spytac o jej wymiar i baz e.
Twierdzenie 6.2 Mamy
dim
X jK
= dim
X jK
:
Ponadto, jesli uklad wektorow (a 1 ;a 2 ;:::;a n ) jest baz aX jK
to uklad funk-
cjonalow (s 1 ;s 2 ;:::;s n ) zdeniowany warunkami
s k (a j ) =
1; j = k;
0; j 6= k;
gdzie 1j;kn, jest baz aX jK .
116013863.001.png
6.2. REFLEKSYWNOS C
55
Dowod. Zauwazmy najpierw, ze s k s a formalnie dobrze zdeniowanymi
funkcjonalami. Dla dowolnego a =
P
j=1 a j j 2Xmamy bowiem
!
X
n
X
s k (a) = s k
a j j
=
s k (a j ) j = k :
j=1
j=1
St ad s k \zwraca" k-t a wspolrz edn a rozwini ecia wektora a w bazie wektorow
(a 1 ;:::;a n ).
Pokazemy najpierw liniow a niezaleznosc funkcjonalow s k , 1kn. W
tym celu zalozmy, ze liniowa kombinacja s :=
P
n
!
X
n
X
n
s(a j ) =
s k k
(a j ) =
s k (a j ) k = j
k=1
k=1
to j = 0.
Pozostaje pokazac, ze funkcjonaly s k , 1kn, rozpinaj aX . Rze-
czywiscie, dla dowolnego s2X oraz a =
P
j=1 a j j 2Xmamy
!
X
n
X
n
s(a) = s
a j j
=
s(a j ) j
j=1
j=1
!
X
n
X
n
=
j s j (a) =
j s j
(a);
j=1
j=1
P
j=1 j s j jest kombinacj a liniow a funkcjonalow
s j i w konsekwencjiX = span(s 1 ;:::;s n ).
n
6.2 Reeksywnosc
6.2.1 RownoscXiX
Dla wygody wprowadzimy oznaczenie
sa := s(a); s2X ;a2X:
Zauwazmy, ze zapis sa mozemy traktowac jako dzialanie funkcjonalu s
na wektor a, ale tez odwrotnie, jako dzialanie wektora a na funkcjonal s.
Poniewaz dodatkowo idla dowolnych s 1 ;s 2 2X i 1 ; 2 2K mamy
( 1 s 1 + 2 s 2 )a = 1 (s 1 a) + 2 (s 2 a);
n
n
k=1 s k k = 0 . Wtedy, w
szczegolnosci, dla kazdego j mamy s(a j ) = 0, a poniewaz
n
gdzie j = s(a j ). St ad s =
56
ROZDZIAL 6. FUNKCJONALY LINIOWE
mozemy traktowac wektor a jako funkcjonal naX jK , tzn. a2X := (X ) .
Mamy wi ecX X , a poniewaz na podstawie twierdzenia 6.2
dim
X jK
= dim
X jK
= dim
X
to
X=X :
Ostatnia wlasnosc nazywa si e reeksywnosci a. 1
Doadajmy jeszcze, ze jesli (s 1 ;:::;s n ) jest baz aX sprz ezon a z baz a
(a 1 ;:::;a n ) to rowniez odwrotnie, (a 1 ;:::;a n ) jest baz aX =Xsprz ezon a
do (s 1 ;:::;s n ). Wynika to bezposrednio z faktu, ze s j a k wynosi 1 dla j = k
oraz zero dla j 6= k.
6.2.2 Przyklady
Podamy teraz przyklady baz i baz sprz ezonych.
NiechX jK = K n jK . Baz a sprz ezon a do bazy (e 1 ;:::;e n ) przestrzeni wek-
torow K n jK jest (e 1 ;:::;e n ).
W ogolnym przypadku, baz a sprz ezon a do dowolnej bazy (a 1 ;:::;a n ) jest
(a 1 ;:::; a n ), gdzie wektory a j s a tak dobrane, ze transpozycja macierzy A :=
[a 1 ;:::; a n ] jest odwrotnosci a macierzy A := [a 1 ;:::;a n ], tzn. A T = A 1 .
(Pozniej pokazemy, ze taka macierz istnieje.) Innymi slowy, znalezienie bazy
sprz ezonej sprowadza si e do znalezienia macierzy odwrotnej do macierzy A.
NiechX jK =P n jR . Wtedy baz e sprz ezon a do bazy pot egowej wielomianow
(1;t;t 2 ;:::;t n1 ) tworz a funkcjonaly (s 1 ;:::;s n ) zdeniowane jako
s k (p) =
1
(k1)!
d k1 p
dt k1
t=0
= p (k1) (0)
(k1)! ; 8p2P n :
Jesli zas s k (p) = p(t k ), 1kn, gdzie t 1 < t 2 << t n s a ustalo-
nymi punktami, to baz e sprz ezon a do bazy funkcjonalow (s 1 ;:::;s n ) tworz a
wielomiany Lagrange'a (l 1 ;:::;l n ) zdeniowane jako
Y
n
tt i
t j t i :
l j (t) =
j6=i=1
1 Pokazalismy, ze przestrzenie skonczenie wymiarowe s a reeksywne. Warto dodac, ze
wlasnosc ta w ogolnosci nie zachodzi dla przestrzeni nieskonczenie wymiarowych.
jK
116013863.002.png 116013863.003.png
6.3. ROZSZERZENIE FORMALIZMU MACIERZOWEGO
57
Rzeczywiscie, latwo sprawdzic, ze
s k (l j ) = l j (t k ) =
1; j = k;
0; j 6= k:
6.3 Rozszerzenie formalizmu macierzowego
6.3.1 Macierze wektorow i funkcjonalow
W tym miejscu rozszerzymy nieco formalizm rachunku macierzowego na
macierze nieliczbowe, ktorych elementami s a wektory, a nawet funkcjonaly.
Pomoze nam to uproscic pewne rachunki na macierzach.
NiechX jK b edzie przestrzeni a liniow a i a j 2X, 1jk. Wtedy
mozemy formalnie zdeniowac macierz jednowierszow a wektorow
A = [a 1 ;:::;a k ]2X 1;k :
2
4 1
3
Dla ~ =
.
k
5
2K k deniujemy w naturalny sposob mnozenie
X
k
A
~ :=
a j j ;
j=1
b ed ace skrotowym zapisem kombinacji liniowej wektorow a j .
Podobnie, maj ac dane s j 2X , 1jl, mozemy zdeniowac macierz
jednokolumnow a funkcjonalow
2
4 s
3
S =
.
s l
5
2(X ) l;1 :
Dla x2Xdeniujemy w naturalny sposob mnozenie
2
4 s 1 x
3
S
x :=
.
s l x
5
2K l;1 :

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin