całki definicje.doc

1.     Definicja średnicy podziału, normalnego ciągu podziałów

2.     Defninicja całki Reimanna, całki górnej i dolnej

3.     Definicja zbioru miary Reimanna 0

4.     Własności całki Reimanna

5.     Dwa twierdzenia o wartości średniej

6.     Twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania

7.     Twierdzenie Newtona - Leibniza

Niech f:[a,b] -> R
Tworzymy ciąg (Dn)nÎN - podziałów przedziału [a,b]
n - ilość punktów podziału

Podział Dn:a=x0<x1<...<xn
x0 ,..., xn - punkty podziału

Definicjia 6.1 (średnica podziału)
dn= max (xk+1 - xk) - średnica podziału Dn (długość najdłuższego przedziału)
       kÎ{0,n-1}
dn - (ciąg liczbowy)

Definicja 6.2 (normalny ciąg podziałów)
(Dn)nÎN     - jest normalny :

Następnie tworzymy sumę:

- możemy utworzyć dla każdego podziału
- ciąg sum całkowych

Definicja 6.3 (całka Riemanna)
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] i dowolnego wyboru punktów
pośrednich x k istnieje i która nie zależy od ciągu podziałów przedziału [a,b]
i wyboru punktów pośrednich x k to nazywamy ją całką Riemanna i piszemy :






Dany jest (Dn)nÎN , f:[a,b]->R


Uwaga:

Definicja 6.4 (całka dolna i górna)
Całka dolna
Całka górna
Wniosek 6.1
Jeżeli to funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna
na przedziale [a,b] i

Twierdzenie 6.1
Funkcja ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym [a,b] jest całkowalna.

Definicja 6.5 (zbiór miary Riemanna 0)
RÉA - jest miary Riemanna 0

Uwaga: Każdy zbiór skończony lub mający skończoną ilość punktów skupienia jest zbiorem miary Riemanna 0.

Twierdzenie 6.2
Z: Jeżeli {x: f(x) ą g(x)} jest miary Riemanna 0, f - całkowalna na [a,b]
T: to g - całkowalna na [a,b] i

Twierdzenie 6.3 (własności całki Riemanna)
Z: f - całkowalna na [a,b] , cÎ]a,b[
T:

Interpretacja geometryczna całki



Twierdzenie 6.4 (własności całki Riemanna c.d)
Z: f,g - całkowalne na [a,b]

1.      - całkowalna na [a,b]

2.      (f g) - całkowalna na [a,b]

3.      |f| - całkowalna na [a,b]     

4.     

5.     

1) - 3) bez dowodu

Dowód 4

Dowów 5 (wniosek z 1) i 4))


Twierdzenie 6.5 (I twierdzenie o wartości średniej)
Z: f- całkowalna na [a,b]
T:

Dowód
Niech



z 5) dowodu tw. 6.4

Twierdzenie 6.6 (II twierdzenie o wartości średniej)
Z: fÎC[a,b]        f - jest ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym [a,b]
 

Dowód
fÎC[a,b]   f - osiąga swoje kresy


Zauważmy, iż :


Twierdzenie 6.7 (o funkcji górnej granicy całkowania)
Z: f - całkowalna na [a,b]

T:

1.      F - ciągła w [a,b]

2.      F - jest różniczkowalna w każdym punkcie x, w którym f jest ciągła i w tych punktach F '(x)=f(x)

Dowód 1
Niech xÎ[a,b]
                                (należy udowodnić)
F - ciągła w x
Przyjmijmy, że h > 0

z tw. 6.6


Dowód 2
x - punkt ciągłości funkcji f


Uwaga : x0Î[a,b]
spełnia warunki z tw. 6.7

Twierdzenie 6.8 (Newtona - Leibniza)
Z: f - ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym [a,b]
   F - pierwotna do f
T:
Dowód
Z tw. 6.7 Ţ F - pierwotna do f