1.12. Ruch obrotowy bryły.doc

RUCH OBROTOWY BRYŁY

Zadanie 12.1

Jaki jest moment bezwład­ności I oraz moment pędu K kuli ziem­skiej? Promień Ziemi R = 6400 km, a jej masa m = 5,97 • 1024 kg. Okres obrotu Ziemi T = 24 h. Wskazówka: skorzy­staj z podanej tabelki momentów bez­władności.

Odp. I = 9,87 * 10 37 kg m2; K = 7,11 * 10 33 kg m2/s

Zadanie 12.2

Dwa podobne walce wyko­nano z takiego samego materiału, przy czym pierwszy był jednorodny, natomiast drugi składał się z dwu części umiesz­czonych jedna w drugiej, mogących się swobodnie i bez tarcia obracać względem siebie (rysunek 12.1.). Obydwa walce umieszczono obok siebie na szczycie równi pochyłej tak, aby mogły swobod­nie się stoczyć, a następnie puszczono. Który z walców dotoczył się pierwszy do końca równi?

a) obydwa stoczyły się z równi jed­nocześnie

b) pierwszy stoczył się walec złożo­ny z dwóch części

c)  pierwszy stoczył się walec jedno­rodny

d) nie można określić, który z wal­ców stoczył się pierwszy

Zadanie 12.3

Metalowy, jednorodny krążek (rysunek 12.2.) o promieniu r = 25 cm został wprawiony w ruch obroto­wy wokół pionowej osi przechodzącej przez jego środek przez siłę o wartości F = 49 N styczną do obwodu krążka. Podczas wirowania krążek hamowany jest siłą tarcia, której moment względem osi obrotu wynosi

MT = 2,45 N • m. Jaką masę ma krążek? Wiadomo, że obraca się on z przyspieszeniem kątowym ε = 50 1/s.

Odp. m = 10,3 kg

Zadanie 12.4

Nieruchomy walec o mo­mencie bezwładności I = 25 kg • m2 zo­stał wprawiony w ruch obrotowy wokół osi równoległej do tworzącej i przecho­dzącej przez jego środek. Moment siły względem osi obrotu wynosił

M = 50 Nm. Po jakim czasie od chwili rozpoczęcia obracania się walec wykona N = 400 obrotów? Wiadomo, że jego prędkość kątowa rośnie liniowo, poczynając od wartości 0.

a) 20 s               b) 40 s

c) 60 s               d) 80 s

Zadanie 12.5

Pręt o długości l = 1 m i ma­sie m = 400 g (rysunek 12.3.) wiruje wokół pionowej osi, prostopadłej do prę­ta i przechodzącej przez jego środek. Jakie jest przyspieszenie kątowe w ruchu obrotowym pręta, gdy działa na niego moment siły M = 0,05 Nm?

Odp. ε = 1,5   1/s2

Zadanie 12.6

Metalowe koło o momen­cie bezwładności I = 120 kg • m2 wiruje z prędkością kątową ω = 25 1/s wokół pionowej osi przechodzącej przez śro­dek koła. Oblicz moment siły hamują­cej, która spowoduje zatrzymanie się koła po czasie t = 20 s.

Odp. M = 150 Nm

Zadanie 12.7

Do jednorodnego krążka o promieniu r = 40 cm i masie m = 50 kg przyłożono stycznie do jego obwodu siłę o wartości F = 50 N (rysunek 12.2.). Po jakim czasie t krążek uzyska prędkość kątową ω = 100 1/s ?

Odp. t = 20 s

Zadanie 12.8

Koło zamachowe pod wpływem siły napędzającej obracało się z częstotliwością f = 16 s-1. Kiedy wyłą­czono silnik napędzający koło, zatrzy­mało się ono po czasie t = 50 s. Jaki był moment siły hamującej? Moment bez­władności koła wynosił I = 50 kg • m2.

a) 0 Nm             b) 50 Nm

c) 100Nm          d) 150Nm

Zadanie 12.9

Przez blok nieruchomy, któ­ry ma moment bezwładności I, przerzu­cono nić i na jej końcach umieszczono dwa ciężarki o masach m1 i m2 (rysunek 12.4.). Jakie będą siły napinające nici T1 i T2 po obu stronach bloku, jeżeli układ ciężarków zacznie poruszać się pod wpływem siły ciężkości?

Zadanie 12.10

Na jednorodny wałek o masie m1 = 4 kg nawinięta jest linka, na której końcu umocowany jest cięża­rek o masie m2 = 1 kg. Z jakim przyspie­szeniem a będzie opadał ciężarek? Wa­łek może swobodnie i bez tarcia obracać się względem osi przechodzącej przez jego środek.

Odp. a = 3,27 m/s2

Zadanie 12.11

Blok nieruchomy o masie m = 0,5 kg umieszczony jest na krawędzi stołu, jak pokazano na rysunku 12.5. Przez blok przełożono linkę, do której końców przymocowano dwa jednakowe ciężarki o masach M = 0,5 kg. Z jakim przyspie­szeniem będzie przesuwał się ciężarek po stole? Współczynnik tarcia o stół f = 0,2.

Odp. 3,14 m/s2

Zadanie 12.12

Po stole toczy się bez po­ślizgów moneta o masie m = 50 g z szyb­kością v = 4 m/s. Jaka jest jej całkowita energia kinetyczna?

Odp. E = 0,6 J

Zadanie 12.13

Jednorodna kula toczy się bez poślizgu po poziomej powierzchni. Jaki jest stosunek energii kinetycznej ruchu postępowego kuli do jej całkowitej energii kinetycznej?

a) 1/7              b) 3/7

c) ½              d) 5/7

Zadanie 12.14

Obręcz i krążek o jedna­kowych masach m (rysunek 12.6.) toczą się bez poślizgu po poziomej powierzch­ni z jednakowymi prędkościami o warto­ści v. Oblicz całkowitą energię kinetycz­ną krążka. Całkowita energia kinetyczna obręczy Ekp = 16 J.

Odp. Ekk = 8 J

Zadanie 12.15

Energia kinetyczna wału obracającego się z częstotliwością f = 10 obr./s wynosi Ek = 120 J. Jaki jest moment pędu wału K?

Odp. K = 3,82 kg * m2/s

Zadanie 12.16

Jaką wartość a ma linio­we przyspieszenie środka masy kuli stacza­jącej się bez poślizgu z równi pochyłej o kącie nachylenia α = 30°?

Odp. a = 3,50 m/s2

Zadanie 12.17

Z jaką liniową szybkością v będzie poruszać się środek rnasy ob­ręczy staczającej się bez poślizgu z równi pochyłej w jej najniższym punkcie? Wysokość równi wynosi h = 1 m, a ob­ręcz zaczęła staczać się ze szczytu rów­ni z zerową prędkością początkową.

Odp. v = 2,56 m/s

Zadanie 12.18

Wentylator obracał się z częstotliwością f = 15 obr./s.  Po wyłą­czeniu zasilania wentylatora jego łopat­ki wykonały jeszcze n = 75 obrotów, a siły oporów ruchu wykonały pracę W= 43,3 J. Jakie wartości mają moment bezwładności I obracającej się części wentylatora i moment sił oporów ruchu? Zakładamy, że prędkość obrotowa wen­tylatora od chwili wyłączenia go malała liniowo.

Odp. I = 0,00975 kg m2; M = 0,092 kg m2/s2

Zadanie 12.19

Na wałek o promieniu r = 10 cm i momencie bezwładności I  = 0,49 kg • m2 nawinięta jest linka (rysu­nek 12.7.), do której końca przywiązany jest ciężarek o masie m = 2 kg. Wałek może swobodnie obracać się wokół osi przechodzącej przez jego środek. Jaką różnicę wysokości powinien pokonać ciężarek, aby swobodnie opadając pod wpływem siły ciężkości i obracając wał­kiem, spowodował jego obracanie się z częstotliwością f = 3 obr./min ?

Odp. h = 4,62 m

Zadanie 12.20

Koło zamachowe obraca­jące się z częstotliwością f = 10 obr./s ma energię kinetyczną EK= 15,7 J. Po jakim czasie t prędkość obrotowa koła wzro­śnie dwukrotnie (n = 2), jeżeli koło za­cznie być napędzane siłą, której moment względem osi obrotu koła wynosi M = 100 N•m?

Odp. t = 5 ms

Zadanie 12.21

Pręt jednorodny o długo­ści l = 40 cm powieszony jest za swój górny koniec tak, że może się swobod­nie obracać w płaszczyźnie pionowej. Jaką prędkość poziomą v należy nadać dolnemu końcowi pręta, aby koniec ten wykonał pełny obrót wokół osi?

Odp. v = 4,85 m/s

Zadanie 12.22

Ołówek o długości l = 15 cm stoi pionowo na stole, jaką pręd­kość będzie miał górny koniec ołówka w chwili dotknięcia stołu, jeżeli ołówek wywróci się bez poślizgu?

Odp. v = 2,1 m/s

Zadanie 12.23

Rowerzysta cyrkowy o całkowitej masie M wraz z rowerem zjeżdża z pewnej wysokości h i wjeżdża na tor zwany „martwą pętlą" (rysunek 12.8). Jaka powinna być co najmniej wysokość h, aby rowerzysta przejechał całą pętlę? Promień pętli wynosi R, każ­de koło roweru ma masę m0. Koło nale­ży potraktować jako cienki pierścień.

Zadanie 12.24

Platforma ...