ruch_zlozony.pdf

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

Przy omawianiu ruchu punktu lub bryły zakładaliśmy, że punkt lub bryła

poruszały się względem układu odniesienia x, y, z uważanego za nieruchomy.

Można rozpatrzyć taki

przypadek, że wspomniany

układ odniesienia będzie się

poruszał względem innego

układu, uważanego wtedy za

nieruchomy. Wówczas ruch

punktu lub bryły nazywamy

ruchem złożonym.

z ′

y′

O′

r ′

r O′

Ruch punktu lub bryły

względem układu

nieruchomego nazywamy

ruchem bezwzględnym , a ruch

tego samego punktu lub bryły

względem układu ruchomego

ruchem względnym .

L w

x′

Rys. 5.24. Ruch złożony punktu

Ruch ruchomego układu odniesienia względem nieruchomego nazywamy ruchem

unoszenia .

W dalszej części rozpatrzymy jedynie ruch złożony punktu. Niech punkt M

porusza się w sposób dowolny, nie związany ani z nieruchomym układem

odniesienia x, y, z, ani z ruchomym ′ ′ ′

xyz

Tor, jaki zakreśli punkt M w układzie nieruchomym, nazywamy torem

bezwzględnym L, a w układzie ruchomym torem względnym L w . Każdy z punktów

toru względnego, zatem i punkt znajdujący się w tym samym miejscu co punkt M,

zakreśli pewien tor L u . Ruch tego punktu względem układu nieruchomego

nazywamy ruchem unoszenia punktu M w rozważanej chwili.

, , (rys. 5.24). Jeżeli ruch tego punktu

będzie obserwowany przez dwóch obserwatorów − jednego związanego z układem

nieruchomym x, y, z, a drugiego związanego z układem ruchomym − to

każdy z obserwatorów będzie „widział” ruch punktu M w inny sposób (inny tor,

prędkość, przyśpieszenie).

′ ′ ′

, ,

5.4.2. Prędkość i przyśpieszenie w ruchu złożonym punktu

W celu wyprowadzenia wzorów na prędkość i przyśpieszenie punktu M

postąpimy podobnie jak podczas rozpatrywania kinematyki dowolnego punktu

bryły w ruchu ogólnym, ale teraz punkt ten będzie się poruszał względem bryły.

Zatem wektor wodzący punktu M w układzie ruchomym

′

xyz

, , e ędzie

stały, będzie się zmieniał zarówno jego kierunek, jak i moduł:

′ = ′ ≠

const

. )

Wektor wodzący punktu M, zgodnie z rys. 5.24, jest sumą dwóch wektorów:

rr r

= + ′

′

. .)

Podobnie jak w ruchu ogólnym bryły (p. 5.3.2) wektor jest wektorem

łączącym początki obu układów współrzędnych. Zapiszemy go analitycznie w

nieruchomym układzie współrzędnych x, y, z:

r ′

′

= + +

x y z . .)

′

′ k

Wektor jest wektorem wodzącym punktu M w układzie

′

xyz

′ ′′

, , . Mżna

go wyrazić za pomocą współrzędnych w tym układzie:

′ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′

x y z k . .)

, , . Mżna je zatem zapisać

w postaci funkcji czasu, które będą równaniami ruchu względnego punktu M:

xyz

x xt, y=yt, z=zt. .)

′ = ′ ′ ′ ′ ′

( ) ( ) ( )

Prędkość punktu M jest pochodną wektora wodzącego (5.76) względem czasu:

= +

′

. .)

Pochodna wektora jest znaną z p. 5.3.2 prędkością początku ruchomego

układu współrzędnych:

r ′

′

= = + +

′

k . (b)

′

Pochodna wektora po zróżniczkowaniu wzoru (5.78) ma postać:

′

′ ′ ′

Współrzędne tego wektora na podstawie wzoru (a) będą się zmieniać wraz z

ruchem punktu M względem układu ruchomego ′ ′ ′

′ =

′ ′+

′

′+ ′

′ + ′

′

. (c)

Pierwsze trzy wyrazy w powyższym wzorze przedstawiają prędkość względną

v w

punktu M:

w =

′ ′+

′

′+

′

k . (5.81)

′

Po podstawieniu do trzech pozostałych wyrazów wzorów (5.31) na pochodne

wersorów ′ ′ ′

, , otrzymamy:

′

( ) ( ) ( )

′

(

) .

′

Wyrażenie występujące w nawiasie, zgodnie ze wzorem (5.80), jest wektorem

wodzącym punktu M. Zatem powyższy wzór upraszcza się do postaci:

′

. )

Po podstawieniu do wzoru (5.80) oznaczenia (b) oraz wzoru (d) otrzymamy

zależność na prędkość punktu M w ruchu złożonym względem nieruchomego

układu odniesienia (prędkość bezwzględną):

′

. .)

Po porównaniu ze wzorem (5.32) widzimy, że pierwsze dwa wyrazy w tym wzorze

przedstawiają prędkość punktu bryły znajdującego się w tym samym miejscu co

punkt M, zatem jest to prędkość unoszenia:

′

. .)

Po uwzględnieniu tego oznaczenia we wzorze (5.82) zauważymy, że prędkość

bezwzględna v w ruchu złożonym punktu jest sumą prędkości unoszenia i

prędkości względnej :

v u

v w

vv v

= +

w . .)

Przyśpieszenie bezwzględne a otrzymamy, obliczając pochodną względem czasu

prędkości bezwzględnej w postaci (5.82):

ijk

′

. (e)

Pochodna

′

(f)

′

jest przyśpieszeniem punktu O , a pochodna

ω =

)

przyśpieszeniem kątowym bryły.

Występującą we wzorze (e) pochodną wektora r względem czasu

obliczyliśmy już przy wyprowadzaniu wzoru na prędkość punktu M. Jest ona dana

wzorem (d). W celu obliczenia pochodnej prędkości względnej względem

czasu zróżniczkujemy wzór (5.81) oraz wykorzystamy zależności (5.31):

v w

′

( ) ( ) ( ) =

′

⎝

′

⎠

, (h)

gdzie a w jest przyśpieszeniem względnym punktu M:

′ ′ +

′

w =

k . . )

′

Po uwzględnieniu we wzorze (e) oznaczeń (f) i (g) oraz wzoru (h) otrzymamy

przyśpieszenie a punktu M.

′

( )

′

( )

′

. . )

Pierwsze trzy wyrazy w tym wzorze znamy z ruchu ogólnego bryły jako

przyśpieszenie dowolnego punktu bryły (wzór 5.33), a więc jest to przyśpieszenie

unoszenia a :

( )

′

. . )

⎛

⎞

Z kolei podwojony iloczyn wektorowy prędkości kątowej i prędkości względnej

jest przyśpieszeniem znanym jako przyśpieszenie Coriolisa :

a ×

. . )

Tak więc przyśpieszenie bezwzględne a punktu M w ruchu złożonym jest

równe sumie trzech przyśpieszeń: unoszenia , względnego a i Coriolisa :

a u

a C

aa a a

wC . . )

Przyśpieszenie Coriolisa jest dodatkowym przyśpieszeniem wynikającym z

ruchu obrotowego układu unoszenia. Można udowodnić [9], że jest ono wywołane

zmianą wektora prędkości względnej wskutek jego obrotu z prędkością kątową

oraz zmianą wektora prędkości unoszenia spowodowaną przemieszczaniem

się punktu M z prędkością względną .

v w

v u

v w

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że przyśpieszenie Coriolisa będzie

równe zeru w trzech przypadkach:

a) gdy ω = 0, wtedy ruch unoszenia jest ruchem postępowym,

b) gdy wektory prędkości kątowej ω i prędkości względnej punktu M są

v w

W zagadnieniach technicznych najczęściej przyjmujemy, że układ odniesienia

związany z Ziemią jest nieruchomy. Tym samym pomijamy przyśpieszenie

Coriolisa działające na obiekty poruszające się względem Ziemi, np. pojazdy, a

wywołane jej obrotem wokół własnej osi. Takie postępowanie jest

usprawiedliwione, ponieważ przyśpieszenie to jest bardzo małe [11]. Jednak

przyśpieszenie Coriolisa towarzyszy wielu zjawiskom występującym w przyrodzie,

wywołanym obrotem kuli ziemskiej. Do zjawisk tych należą przykładowo kierunki

prądów morskich i wiatrów.

równoległe,

c) gdy prędkość względna punktu M w pewnej chwili jest równa zeru.

Przykład 5.7. Pozioma rurka obraca się wokół pionowej osi z, przechodzącej

przez jej środek (rys. 5.25a), zgodnie z równaniem ruchu: , gdzie

czas t jest wyrażony w sekundach, a kąt ϕ w radianach. Wewnątrz rurki porusza się

punkt M zgodnie równaniem:

10 −

sin

[ ]

. Obliczyć prędkość i

przyśpieszenie bezwzględne punktu M dla czasu t

1 1= .

v w

C 2

= + +

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: