OEiM_AiR_Lista3-TransformataLaplacea.pdf
(
467 KB
)
Pobierz
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/strict.dtd">
AiR. II - Ćwiczenia z Obwodów Eklektycznych i Magnetycznych - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
σ
+∞
j
∞
1
-1
(
{}
()
=
∫
{
}
∫
()
L
−
st
()
L
()
()
st
F
s
=
ft
fte dt
f
t
=
F
s
=
F
s
e
ds
2j
π
0
σ
−∞
j
Właściwość
Określenie
n
{
}
()
d
n
{
}
n
()
()
L
tft
=−
1
F
s
n
ds
1.
Pochodna transformaty
d
{
}
{
}
L
()
()
tf t
=−
F
s
np.
ds
{
L
( )
}
( ) ( )
′
ft
=
s s f0
F
−
−
−
2.
Transformata pochodnej (I-ej i II-ej)
{
}
()
2
( )
( )
( )
L
f
′′
t
=
s
F
s
−
sf
0 f
− −
′
0
t
=
1
∫
L
()
()
f
ττ
d
F
s
3.
Transformata całki oznaczonej
s
0
−
{
}
()
1
C
∫
L
()
ftdt
=
F
s
+
4.
Transformata całki nieoznaczonej
s
s
{
}
(
a
eft
()
)
L
=−
F
sa
5.
Przesunięcie w dziedzinie zespolonej
{
}
()
s
L
(
)
se
−
t
ft t
−=
F
6.
Przesunięcie w dziedzinie czasu
0
F
1s
{
}
L
()
fat
=
7.
Zmiana skali
aa
∞
=
∫
(
{}
()
ft
t
L
F
λ λ
8.
Całkowanie w dziedzinie zespolonej
s
{
( ) ( )
}
( ) ( )
L
f
t
∗
gt
=
FG
s
⋅
s
9.
Transformata splotu
1
{
}
L
() ()
() ()
f
tgt
=
FG
s
∗
s
10
Splot zespolony
2
π
( )
( )
( )
lim
s
F
s
=
lim
f
t
=
f
0
+
;
s
→∞
t
→ +
0
Twierdzenia o wartości początkowej
i końcowej
11.
( )
( )
lim
s
F
s
=
lim
f
t
s
→
0
t
→ ∞
T
(
{}
( )
F
T
s
L
=
∫
st
gdzie:
()
()
−
ft
=
F
T
s
fte dt
12.
Transformata funkcji okresowej
sT
1e
−
−
0
- 1 -
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
A.S. Cz.S. P.R.®
AiR. II - Ćwiczenia z Obwodów Eklektycznych i Magnetycznych - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
(
{ }
( )
=
L
F
s
ft
(
{ }
( )
( )
=
L
f
t
F
s
ft
( )
f
t
ω
1
s
,
1
e
s
at
( ) ( )
0
2
e
sin
ω
⋅
1
t
1
t
,
(
( )
)
−
st
1
11
1
tt
−
0
0
(
)
0
0
sa
−+
ω
sa
−
() ()
()
()
n
δδδ
t
t
,
′
t
,
at
( ) ( )
2
12
n
e
cos
ω
1
t
1, s, s
)
2
(
2
0
0
sa
ω
−+
)
(
2s a
−
ω
0
(
3
)
13
at
( ) ( )
δ
tt
−
e
−
st
te
sin
ω
t
1
t
0
2
0
0
2
(
)
0
sa
−+
ω
2
(
)
2
0
sa
−−
ω
1
n
!
4
14
( )
( )
at
( ) ( )
n
tt
1,
…
,
t t
1
,
…
,
te
cos
ω
t
1
t
2
2
n
+
1
0
2
(
)
0
s
s
sa
−+
ω
1
β
β
( ) (
)
(
)
−
st
( ) ( )
t
1
t
−−
1
t
t
11t se
−+
sh
β
t
⋅
1
t
0
5
15
0
0
2
2
2
s
s
−
s
1
( ) ( )
at
et
( )
6
16
ch
β
t
⋅
1
t
1
2
2
s
−
β
s
−
a
1
β
7
17
at
( ) ( )
at
( )
⋅
e
sh
β
1
t
te
1
t
)
2
)
2
(
(
2
s
−
a
sa
−−
β
n
sa
+
!
sa
−
18
nat
( )
at
( ) ( )
8
te
⋅
1
t
e
ch
β
⋅
1
t
n1
)
2
(
)
(
2
−
sa
β
−−
(
)
2s a
−
β
19
ω
ω
9
( ) ( )
at
( ) ( )
0
sin
ω
0
t
⋅
1
t
te
sh
β
t
⋅
1
t
2
2
2
0
(
)
2
2
s
+
sa
−−
β
2
(
)
2
sa
−+
β
s
10
20
( ) ( )
at
( ) ( )
cos
ω
0
t
⋅
1
t
te
ch
β
t
⋅
1
t
2
2
2
0
s
+
ω
2
(
)
2
sa
−−
β
- 2 -
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
A.S. Cz.S. P.R.®
AiR. II - Ćwiczenia z Obwodów Eklektycznych i Magnetycznych - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
Zadanie 1
.
Wyznaczyć transformatę Laplace'a następujących funkcji
f
(
t
)
a)
(
( )
( )
-2t
-2t
)
c)
( )
2e
1
t - 3
te
1
t - 3
b)
d)
2t4
δ −
1
tt-1
f)
( )
( )
( )
2
n
n-2t
23t
( ) ( )
t
1
t
te
1
t
te
1
t-1
g)
h)
t-2
1
t-4
e)
( ) (
)
( ) (
)
( ) ( )
( )
4t
−
3t
sin
ω
0
t
1
t
−
2
t
⋅
sin
ω
t
1
t
−
3
e
sin
3
t
1
t
- 1
e
sin
2t
⋅
t
1
i)
j)
k)
l)
0
Zadanie 2
.
Dla zadanej transformaty obliczyć przebieg czasowy
f
(
t
) :
1
1
1
b)
()
(
c)
()
(
a)
()
F
s
=
F
s
=
F
s
=
2
n
)
)
2
s
−
a
s
+
a
s
ω
k
π
ω
s
−
d)
()
(
e)
()
(
f)
()
[
]
F
s
=
0
F
s
=
++
F
s
=
1
−
e
0
2
2
)
2
)
2
2
2
sa
ω
s
+
ak
−
s
+
ω
0
0
π
ω
s
1
−
1
i)
()
[
]
g)
()
−
bs
h)
()
−
bs
F
s
=
1
+
e
F
s
=
e
F
s
=−
1
e
0
2
n
2
s
s
s
+
ω
0
sb
+
π
ω
ω
ω
1
−
j)
()
(
l)
()
[
]
F
s
=
k)
()
++
F
s
=
0
1
−
e
F
s
=
0
2
)
2
2
1e
−
2s
2
sa
ω
+
s
+
0
0
Zadanie 3
.
Wyznaczyć funkcję oryginalną transformaty (wykorzystując rozkład na ułamki proste):
2
s s2
++
2
2
s
+
1
s
−
1
c)
()
(
F
s
=
a)
()
b)
()
F
s
=
F
s
=
) (
2
)(
)
3
4
s
+
1s2s3
+
+
s
+
1
s
+
1
s
s
23
−
2
d)
()
se
2s
F
s
=
e)
()
(
f)
()
(
F
s
=
F
s
=
−+
(
)
2
2
2
2
s
+
1
)
)(
)
s
+
2
s
1s 2
2
s
3s
+
2
ss
−
h)
()
(
i)
()
(
s
g)
()
(
−
3
F
s
=
F
s
=
+−
F
s
=
e
3
2
)
)
2
)
s
+
1
s
25
s1
+
2
2s
2
+
1
1s
+
se
−
3s
2
s
l)
()
j)
()
(
k)
()
(
−
F
s
=
F
s
=
e
s2s3
F
s
=
)(
)
)(
)
(
)(
)
2
−+
s
−
1s 2
+
s s1s2
++
- 3 -
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
A.S. Cz.S. P.R.®
AiR. II - Ćwiczenia z Obwodów Eklektycznych i Magnetycznych - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
Zadanie 4.
Stosując rachunek operatorowy rozwiązać następujące równania (
t > 0
) :
( )
( )
2
2
′′
−=
(
′′
−+=
ykyf
t
y y
ω
yf
t
a)
b)
c)
( ) (
)
( )
af
t
−−=
f
t
T
bt
1
t
( )
)
( )
( )
+
+
+
+
′
′
y0
=
0
,
y 0
=
0
y0
=
0 y 0
,
=
0
T = const
;
e)
( ) (
)
( )
−
t
d)
( ) (
)
( )
′
+=
t
af
t
−−=
f
t
T
be
1
t
y2y
f)
af
t
+−=
f
t
T
b
1
t
( )
T = const, a, b =const;
+
T = const, a, b =const
y0
=
0
t
yt 2 y
()
( )
′′
++=
t
∫
y5y4y
sin
2
−
t
()
−−
t
τ
()
i)
′′
−+=
y2yy
′′
g)
h)
−
τ
e
d
τδ
=
t
( )
( )
+
+
+
′
y0
=
0 y 0
,
=
0
0
( )
( )
+
+
′
y0
=
0 y 0
,
=
0
( )
( )
+
+
′
y0
=
0 y 0
,
=
0
Zadanie 5.
Wykorzystując rachunek operatorowy wyznaczyć przebieg wskazanych wielkości.
a)
Wyznaczyć
i
(
t
)
, u
C
(
t
)
.
b)
Wyznaczyć prąd
i
0
(
t
) wykorzystując twierdzenie
Thevenina.
Dane:
u
C
(
0-
)
= 1,i
L
(
0-
)
= 2
e
(
t
)
= 2
[
1
(
t
)
-
1
(
t - 1
)]
, R = 1, L = 1, C = 0.5.
Dane :
( )
( )
−
t
−
2t
⋅
et
=−
e
e
1
t
,
R = 1,
L = 2, C = 0.5, u
C
(
0-
)
= 1, i
(
0-
)
= 0.5
C
L
L
R
i
(
t
)
i
0
(
t
)
e
(
t
)
R
R
e
(
t
)
R
C
u
C
(
t
)
c)
łożyć równania: prądów oczkowych
d)
Wyznaczyć
u
C
(
t
)
, i
(
t
)
.
Zastosować metodę potencjałów węzłowych.
i potencjałów węzłowych.
Uwzględnić warunki początkowe.
E = 6, R = 2, L = 1, C = 1;
R
C
1
C
5
t = 0
C
R
L
2
i
źr4
(
t
)
i
(
t
)
e
1
(
t
)
R
u
C
(
t
)
E
R
3
R
L
6
L
f)
wyznaczyć
i
(
t
)
E =1, R =1, L
1
=L
2
= L=1,
e)
wyznaczyć
u
C
(
t
)
, i
(
t
);
E =1, R =1, L = 1, C = 1
R
R
t = 0
R
R
i
(
t
)
i
(
t
)
t = 0
E
E
L
L
1
L
2
u
C
(
t
)
C
R
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
A.S. Cz.S. P.R.®
- 4 -
AiR. II - Ćwiczenia z Obwodów Eklektycznych i Magnetycznych - Wydział Elektryczny
Lista 3– Transformata Laplace’a
Zadanie 6.
Wyznaczyć odpowiedź
y
(
t
) (
0 < t <
∝ ) układu o transmitancji
operatorowej
()
x(t)
y(t)
1
−
at
przy wymuszeniu
()
()
H(s)
H
s
=
x t
=
te1t
s
+
b
Zadanie 7.
1
0
Wyznaczyć transmitancję operatorową układu .
( )
Hs
2
0
Wykorzystując transmitancję operatorową
( )
Hs
wyznaczyć odpowiedź
( )
2
ut
układów na zadane
()
−
t
()
wymuszenie
ut
=
e 1t
1
a)
b)
R
R
u
1
(
t
)
u
2
(
t
)
u
1
(
t
)
u
2
(
t
)
C
L
c)
d)
R
1
R
1
R
2
C
R
2
u
1
(
t
)
u
2
(
t
)
u
1
(
t
)
u
2
(
t
)
C
e)
f)
R
R
R
C
u
2
(
t
)
u
1
(
t
)
L
R
u
1
(
t
)
u
2
(
t
)
- 5 -
A.G.,T.S.,Z.W. ‘07
A.S. Cz.S. P.R.®
Plik z chomika:
Kony777
Inne pliki z tego folderu:
OEiM_AiR_Lista0-Warunkipoczatkowe.pdf
(63 KB)
OEiM_AiR_Lista1-Metoda_Klasyczna.pdf
(76 KB)
OEiM_AiR_Lista3-TransformataLaplacea.pdf
(467 KB)
Inne foldery tego chomika:
egzaminy
kolokwium z poprzedniego roku
Wykłady Gubański
Wykłady Sikorski
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin