MOJA SCIAGA.doc

TRYGON SFERYCZNA: Odl sferyczna pktów A i B to kąt środkowy utworzony przez promienie dochodzące do punktów A i B. Odl sferyczną wyrażamy w jednostkach kątowych. Kąt sferyczny to kąt zawarty między stycznymi do łuków kół wielkich poprowadzonymi w miejscu przecięcia się tych łuków. Kąt sferyczny jest równy kątowi dwuściennemu utworzonemu przez płaszczyznę kół wielkich. Trójkąt sferyczny to część sfery ograniczona łukami trzech kół wielkich. Wzór sin: sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC. Wzór cos.:cosa=cosbcosc+sinbsinccosA; Wzór sin-cos: sinacosB=cosbsinc-sinbcosccosA, : sinbcosA=cosasinc-sinacosccosB Wzór cos dla kątów: -cosA=cosBcosC- sinBsinCcosa Wzory ctg: ctgAsinC=ctgasinb-cosCcosb, ctgAsinB=ctgasinc-cosBcosc. Wzór połówkowy tg2A/2=sin(s-b)sin(s-c)/sinssin(s-a), S=(A+B+C)/2. Nadmiar sferyczny (eksces) e=(A+B+C)-p, e=(A+B+C)-180o, e>0, e<2p, 0<e<2p, e=S/R2, S-pole trójkąta sferycznego, im większe pole tym większy nadmiar.          UKŁ WSPÓŁ NA KULI:    Współrz geograficzne: Szer. geograficzną punktu P leżącego na kuli nazywamy kąt, jaki tworzy normalna do sfery w punkcie P z płaszczyzną równika. Szerokości geogr wzrastają na północ od równika.Dł geograficzną punktu P leżącego na kuli nazywamy kąt dwuścienny między płaszczyzną południka punktu P a płaszcz. połudn początkowego. Dł geogr wzrastają na wschód od połudn początkowego. Wsp .prostokątne prostoliniowe Układ wsp. prostokątnych jest zdefiniowany:-początek układu pokrywa się ze środkiem kuli,-oś z pokrywa się z osią obrotu,-oś x pokrywa się z krawędzią przecięcia pł. równika i pł. południka początkowego,-oś y tworzy z pozostałymi osiami układ prawoskrętny. Współrzędne x,y,z punktu leżącego na kuli określamy wzorami: x=Rcosφcosλ; y=Rcosφsinλ ; z=Rsinφ. Wsp. te spełniają warunek x2+y2+z2=R2. Znając wsp prostokątne x, y, z punktu leżącego na kuli można obliczyć jego wsp. geograficzne φ, λ wg wzorσw :tgλ=y/x;   tgφ=z/v(x2+y2). RYS 1 Wsp. Azymutalne Pktem głównym ukł wsp. azymutaln będzie punkt G leżący na kuli i nie będący biegunem ziemskim,o znanych współrzędnych geograficznych(φo,λo) połączymy łukiem koła wielkiego punkt główny G i dowolny punkt P leżący na kuli. Pozycja pkt.P będzie jednoznacz określona względem pktu G, jeżeli podamy azymut α i odl zenitalną ζ. Azymut α jest kątem dwuściennym między płaszczyzną połudn G i płaszczyzną koła wielkiego GP, jest równy kątowi sferycznemu, którego lewym ramieniem jest styczna do połudn pktu G, zaś prawym styczna do łuku koła wielkiego GP. Azymut rośnie zgodnie z ruchem wskazówek zegara od północnego kierunku połudn pktu G. Wertykał to każde koło wielkie przechodzące przez pkt główny G Almukantarat to koło małe, którego wszystkie pkt. są jednakowo oddalone od pkt. G. Związek między wsp. geograficznymi i azymutalnymi Opiszmy kąty i boki trójkąta sferycz. GBP wsp. azymutalne pkt.P (a,z) są f-cją wsp.  gepgraficznych pkt. G (j0,l0) i pkt.P(j,l) cosz=sinj0sinj+cosj0*cosjcos(l-l0) sina=sin(l-l0)cosj/ sinz Wz.te nie dają dokł.wyników,gdy odl. zenitalnaz jest mała. Wtedy stosujem wz. ctgasin(l-l0)= ctg (900-j)sin(900-j0)-cos (l-l0)cos(900-j0) i otrzymujemy tga=sin(l-l0)/ tgj cosj0-cos(l-l0)sinj0 Odl.zenitalną z obl.wg. jednego z wz. sinz=sin(l-l0)cosj / sina sinz=sinjcosj0-cosjsinj0cos(l-l0)/ cosa Wsp.azymut a,z można zamienić na wsp.geograficzne j,l wg.wz. sinj=coszsinj0 +sinzcosj0cosa oraz sin(l-l0)=sinasinz/ cosj Azymut odwrotny a, będący kątem dwuściennym między pł.połudn pkt. P. I pł.koła wielkiego PG zależy od kąta q(kąt paralaktyczny) a,=3600-q q obl.ze wz. tgq=sin(l-l0)/tgj0* cosj-cos(l-l0)sinj.RYS 2 Wsp. prostokątne sferyczne. Podstawą ukł. tych współrzędnych jest wybrany południk o długości geograficznej λo. Pkt. pomocniczy C powstaje przez przecięcie wybranego południka z kołem wielkim przechodzącym przez dany pkt. P i prostopadłym do wybranego południka. Wsp. prostokątnymi są wielkości g i h wyrażone w mierze kątowej. Wsp.h obl.sinh=sin(l-l0)cosj wsp.g obl.sin(900-j)cos (l-l0)=coshsin(900-g) lubcos(900-j)=cos(900-g)cosh po podzieleniu stronami dwóch ostatnich wyrażeń mamy ctgg=cos(l-l0) ctgj przeliczenia odwrotne wykonujemy wg.sinj=singcosh oraz ctg(l-l0)=cosgctgh Wsp. prostokątnym sferycznym g,h można przyporządkować wsp. płaskie x=gR,y=hR. RYS 3

GEOMETRIA ELIPSOIDY OBROTOWEJ: Elipsoida obrotowa o odpowiednio dobranych parametrach jest znacznie lepszym przybliżeniem kształtu bryły ziemskiej niż kula. Parametry elipsoidy: Elipsoidą odniesienia nazywamy elips. obrotową o odpowiednio dobranych parametr. i określonym usytuowaniu w bryle ziemskiej, na którą rzutowano punkty danej sieci geodezyjnej. W układzie współrzędnych prostokątnych XYZ umieszcza się elipsoidę obr. w taki sposób, że środek elips. pokrywa się z początkiem ukl. współ.; oś obrotu elipsoidy pokrywa się z osią Z ukl.współ. W takim przypadku równik elipsoidy leży w płaszczyźnie OXY.Wsp. każdego pkt leżącego na pow. elipsoidy obrotowej spełniają równanie X2/a2+Y2/a2+Z2/b2=1 Kształt i wielkość elipsoidy obr. określają parametry: półosie a i b lub półoś a i spłaszczenie a [a=(a-b)/a] Zamiast a można posługiwać się mimośrodem elipsoidy e2=(a2-b2)/a2=a(2-a) II mimośród elips. e’2=(a2-b2)/b2. RYS 4 Współ. elipsoidalne Równoleżnikiem punktu P leżącego na powierzchni elipsoidy obrotowej jest ślad przecięcia pow. elipsoidy pł. przechodząca przez punkt P i równoległą do płaszczyzny równika. Ma kształt okręgu. Południkiem punktu P jest ślad przecięcia elipsoidy płaszczyzną przechodzącą przez punkt P i oś obrotu elipsoidy.Ma kształt elipsy. Wpowadza się oś U i powstaje nowy, prostokątny układ wsp U,Z. Równanie połud. zawierającego pkt P w tym układzie to U2/a2+Z2/b2=1 Normalna n do elipsoidy leży w płaszcz. południka P. Szerok. elipsoidalną B (sz.geodezyjna) punktu P jest kąt miedzy normalną  n do powierzchni elipsoidy w punkcie P i płaszczyzną równika. Dł elipsoidalną L (dł.geodezyjna) punktu P jest kąt dwuścienny między płaszczyzną południka punktu P i pł. południka początkowego .Styczna do pow. elips. w pkt.P tworzy z dodatnim kierunkiem osi U kąt=900+B co pozwala określić zależność pochodnej dZ/dU od szer.elipsoid. B.dZ/dU=tg(900+B)=-ctgB po przekształc. i uwzględnieniu b2/a2=1-e2mamyU2=a2/1+(1-e2) tg2B   Dla U³0 mamy : U=(acosB)/Ö(1-e2sin2B), a promień równoleżnika pkt P  r=U RYS 5 Współ. Prostokątne X i Y punktu P oblicz. X=UcosL; Y=UsinL, a współ. Z=[a(1-e2)sinB]/ Ö(1-e2sin2B). Główne promienie krzywizny Jednym z przekrojów głównych elipsoidy obrotowej jest przekrój pł. południka, zwany przekrojem południkowym M RYS 6 , a drugim – przekrój płaszczyzną prostopadłą do płaszcz. południka  zwany przekrojem poprzecznym N RYS 7: M=[a(1-e2)/((1-e2sin2B)3/2)], N=[a/ ((1-e2sin2B)1/2)]. Porównanie promieni M i N wskazuje, że pro. M jest najmniejszym a N największym promieniem krzywizny przekrojów normalnych w danym punkcie. Średni promień krzywizny Q=(1/2p)*całka (od 0 do 2p)R(A)Da; Q=sqrt(MN). ; Promień równoleżnika: r = N * cos; Obliczanie długości południka Wzór wyjściowy dS=MdB; Dla S12<60km z dok. 1mm S12...