Lenda A - Kłopoty z Bernoullim.pdf - Artykuły - tomek9298

Kłopoty(?)zBernoullim

XIVKonferencja:Nauczanieﬁzyki

wwy»szychszkołachtechnicznych

Bydgoszcz,27-30czerwca2004

wersjaposzerzona,tak»eohyperł¡cza

1ZnakomitaRodzinaBernoullich

Mo»napowiedzie¢,»ewkontek±ciedydaktykiﬁzykiimatematykikłopotypojawiaj¡ju»zsamym

nazwiskiemBernoulli.Pojawiasi¦onozarównowﬁzyce,jakimatematyceorazstatystyce.Warto

zda¢sobiespraw¦zfaktu,»eporz¡dnysłownikbiograﬁcznymatematyków(np.naserwerze wydziału

matematykiuniwersytetuSt.Andrews )podhasłemBernoullimo»ezawiera¢a»...8pozycji.Po

prawdzie, adusumdeplphini wystarcz¡trzy:(por.[ 1 ])– Jakub,JaniDaniel .

JakubtoBernoulliodliczbB.irozkładuB.(dwumianowego)JegomłodszybratJan–pozosta-

j¡cyniecowcieniuJakuba–torównieznakomitymatematyk;jegonazwiskowi¡»emyzproblemem

brachistochronyi...regułydel’Hospitala.Wko«cusynJana,Daniel(1700–1782)tojedenz18-

wiecznychgigantównauki.Listajegoosi¡gni¦¢jestimponuj¡ca,opróczmatematyki(te»statystyki)i

ﬁzykiDanielzajmowałsi¦medycyn¡,ﬁzjologi¡ibotanik¡.Dlawi¦kszo±cijednak,nazwiskoDaniela

b¦dziezawszekojarzyłosi¦wpierwszymrz¦dziezhydrodynamik¡izrównaniemnosz¡cym–jak»e

słusznie–jegonazwisko 1 .

2RównanieBernoulliego

Znanenamwszystkimrównanieodnosisi¦doelementupłynuoobj¦to±ci V imasie m = · V imo»e

by¢sformułowanewj¦zykuró»nychwielko±ciﬁzycznych.

•

p 1 V + m

2 v 2 1 + mgh 1 = p 2 V + m

2 v 2 2 + mgh 2 ; energia

•

p 1

+ 1

2 v 2 1 + gh 1 = p 2

+ 1

2 v 2 2 + gh 2 ;pr¦dko±¢ 2

•

p 1 + 1

2 v 2 1 = p 2 + 1

2 v 2 2 ; ( h 1 = h 2 );

ci±nienie

•

p 1

g + 1

2 g v 2 1 + h 1 = p 2

g + 1

2 g v 2 2 + h 2 ;długo±¢

Feynmanwswoichwykładachzﬁzykiwyprowadzagozzasadyzachowaniaenergii–przyrównuj¡c

prac¦siłci±nieniadozmianyenergiikinetycznej.Tostandardowewyprowadzeniejestprosteiklarowne.

Gorzejjednak,je»elizagl¡dn¡¢dokomentarzyprawaB,któreznale¹¢mo»nawwielupodr¦cznikachi

encyklopediach.Moja–sk¡din¡d–ulubionaEncyclopaediaBritannica,wwydaniuA.D.2002pisze:

ztwierdzeniaBernoulliegowynika,»e...gdypłynprzepływaprzezpoziom¡rur¦ozmiennymprze-

kroju,topłynprzyspieszawobszarachomniejszymprzekroju,tak»eci±nieniepłynujestnajmniejsze,

tamgdzieprzekrójjestnajmniejszy.

Student,którylubiﬁzyk¦iuczysi¦jejzezrozumieniemautomatyczniewtymmomenciepowinien

zapyta¢:copowodujetonagłeprzyspieszeniecz¡stekporuszaj¡cejsi¦cieczy?Mamytudoczynienia

zkauzalizmem `arebours :oczywi±cieinterpretacjaEBjestchwytliwa,alestanowiwnajlepszymrazie

sporyskrótmy±lowy:zw¦»enierury(redukcjapolajejprzekroju)prowadzidopowstaniaokre±lonego

polaci±nie«,agradientyci±nie«nadaj¡cz¡stkompłynuprzyspieszenia!

Jeszczegorzejmasi¦sprawazzastosowaniemprawaB.dowyja±nieniapewnychefektów„z»ycia

codziennego”.Koronnymprzykłademjesttu„teorialotudlaprzechodniów”(HarryLipkin).Tasama

szacownaencyklopediapisze:

1 JanB.,ojciecDaniela,te»zajmowałsi¦hydrodynamik¡.Wartowspomnie¢,»erywalizacjaojcazsynemzako«czyła

si¦fatalnie:w1734obajuzyskalinagrod¦francuskiejAkademiiNauk,czegoJanniemógł±cierpie¢i...wyrzuciłsynaz

ojcowskiegodomu.Danielwci¡guswego»yciauzyskał10(!)takichnagród.

...powietrzeprzepływaj¡cenadzakrzywion¡,górn¡powierzchni¡skrzydłasamolotuporuszasi¦

szybciejni»powietrzepodskrzydłem,tak»eci±nieniepodskrzydłemjestwi¦kszeni»nadnim–powoduje

towypór.

Wstarympodr¦cznikuResnickaiHallidaya(A.D.1963)rysunekidoł¡czonydoniegokomentarz

sankcjonuj¡uproszczonyijak»efałszywyparadygmat(por.rys. 1 )–liniepr¡durozdzielaj¡si¦przed

czołempłatano±nego:tebiegn¡cegór¡jakitebiegn¡cedołemspotykaj¡si¦zapłatem,comiałoby

wyja±nia¢„konieczno±¢”szybszegoobiegupłatagór¡ni»dołem,awi¦cznowumamyimplikacj¦:

wi¦kszapr¦dko±¢prowadzidospadkuci±nienia.

Opróczteoriilotu,prawoBernoulliegojestte»koronnymargumentemtłumacz¡cymtakiezjawi-

skajak„piłeczkaBernoulliego”(por.rys. 3 , 4 )alboefektMagnusa,tenostatnicz¦stowkontek±cie

sportowychaplikacji–podkr¦conepiłeczki:golfowe,tenisowe,base-ball’owenaskutekrotacjiporu-

szaj¡si¦zakrzywionychtrajektoriach.PiłeczkaBernoulliego–ta«cz¡cawstrudzepowietrzaiuparcie

powracaj¡cado±rodkategostrumienia,tozdaniemniektórychskutek„ró»nicyci±nie«”wynikaj¡cej

zró»nicpr¦dko±ci.PopularnainterpretacjaefektuMagnusamówii„dodawaniusi¦”i„odejmowaniu”

pr¦dko±citranslacjiirotacjiiznowutakieró»nicepr¦dko±cipowoduj¡ró»niceci±nie«.

3Kilkaprostychrachunków

Rozpatrzmysympatyczn¡awionetk¦Cessna172,którejmasa m wrazzpasa»eramiwynosiok.1000

kgiktóralecizpr¦dko±ci¡ok.30m/s(awi¦cok.10km/h).Powierzchniaskrzydełtegosamolociku

A =15m 2 .Potrzebnasiłano±na Q = A · p =10 4 N.St¡d p 670Pa.Taró»nicamiałabywynika¢

zró»nicykwadratówpr¦dko±ci

p = 1

2 ( v 2 );

Przyjmuj¡c 1kg/m 3 mamy v 2 1330(m/s) 2 ,albo

900+1330=2330;

v 2 +( v 2 )= V 2 ! V 2 =2330

ipr¦dko±¢nadskrzydłem V

V 45 m s =1 . 5 v

musiałabybyby¢o50procentwi¦kszaodpr¦dko±ciponim;je»elibymodelrozdzielaj¡cejsi¦przed

nimił¡cz¡cejzanimstrugimiałby¢prawdziwytoskrzydłowygl¡dałobyraczejjaknarys. 2 .

Oczywi±ciewiemydobrze,»eteorialotujestdiabelnietrudna.Jednymzjejkluczowychelementów

s¡efektyzwi¡zanezlepko±ci¡mediumjakimjestpowietrze:przesuwaniesi¦punktukrytycznego(sta-

gnacji)wzdłu»skrzydła(efektCzapłygina),istnieniewarstwgranicznej,jejodrywaniesi¦itworzenie

si¦wirurozruchowego–bezktórego(ibezzasadyHelmholtza)niewystartowałbysamolot.Tesprawy

mo»nanaprzykładrozwi¡zywa¢nagruncieodwzorowa«konforemnych[ 5 , 4 ]–aletoniejestmateriał

wtejchwilizbytniopopularny.Ciekawes¡tak»eefektybrzegowe–dlaczegoprzyawariisilnikaleci

si¦nisko?Wstarych(idobrychpodr¦cznikachﬁzyki-np.Pohla)mo»naznale¹¢pewneciekawostki

zwi¡zanezlotemptaków(lotalbatrosa,lotformacjiklucza).WwiecieNaukikilkalattemubyłpa-

sjonuj¡cyartykułolocieowadów,zktóregowynikałojeszczedokładniejjakwielkajestrolalepko±ci,

kr¡»eniaitworz¡cychsi¦wirów(któreowadypotraﬁ¡„wyłapywa¢”skrzydłami,uzyskuj¡cdodatkow¡

sił¦no±n¡).Alenatakie,sk¡din¡dpasjonuj¡ce,zagadnienianiemamiejscawnaszychskromnych

wykładach.Copowinni±myzaoferowa¢naszymsłuchaczom?

Nau»ytekstudentaszkołytechnicznejnajprostszymwyja±nieniem–prawda»emocnouprosz-

czonym–zasadylotub¦dzietrzeciazasadadynamiki.Płatno±nyskrzydła,zwłaszczawfaciestartu

samolotu,jestwyra¹nienachylonydopoziomu.Powodujetospychanieolbrzymichmaspowietrzaku

dołowi,towła±nietopowietrzewypychasamolotkugórze.Abyzaoszcz¦dzi¢tumiejsca,pozwalam

sobieodnie±¢Czytelnikadoprostychrachunkówzprezentacji[ 2 ].Wynikaznich,»ewci¡gujednej

sekundymasazepchni¦tegowdółpowietrzatokilkamassamolotu.Lec¡cysamolotpozostawiaza

sob¡ogromn¡dziur¦(por.rys. 4 ).Powietrzejestzepchni¦tewdółzarównoprzezdoln¡powierzchni¦

płatu,jakiprzezgórn¡–jejodpowiedniewyproﬁlowaniepowoduje,»eopływaj¡capłatstrugapo-

wietrzauzyskujeskierowan¡wdółskładow¡pr¦dko±ci.Znowumamytutajwa»nywkładodefektu

lepko±cicieczy(efektCoandy).Dyskusjabardziejdokładnamo»ezawrze¢prosterachunki,októrych

mowawy»ej,azktórychwynika,»esiłano±najestproporcjonalnadokwadratupr¦dko±cisamolotu,

amocjakapotrzebnajestwtrakcielotuzale»yodwrotnieproporcjonalnadopr¦dko±ci.Oczywi±cie,

bezuwzgl¦dnieniaefektówoporuo±rodka-teostatnieobjawiaj¡si¦pocz¡wszyodpr¦dko±ciprze-

kraczaj¡cychpr¦dko±¢„rejsow¡”irosn¡zpr¦dko±ci¡bardzoszybko–proporcjonalniedojejtrzeciej

pot¦gi.

4InneilustracjeprawaBernoulliego

Jaknale»ytłumaczy¢naszymstudentominne„zjawiskaz»yciacodziennego”,októrychmowaby-

ławy»ej,aktórekorzystaj¡zwnajlepszymrazieuproszczonegoparadygmatu:wi¦kszapr¦dko±¢to

mniejszeci±nienie.Przedewszystkimpowiedzmy,»ewprzypadkustrugipowietrza–np.wylatuj¡cego

zodkurzacza–wo±rodku,ci±nieniestatycznewewn¡trzstrugijestrówneci±nieniuwotaczaj¡cych

strug¦masapowietrza.Mo»natozademonstrowa¢wprostysposób,posługuj¡csi¦najprostszymma-

nometrem(rurkawkształcieliteryU,wypełnionaciecz¡)isond¡,któr¡mierzymyci±nieniewobszarze

strugiipozanim.Wa»najesttylkoodpowiedniaosłonasondy–wystarczymałatarczakolista,która

wyeliminujezaburzeniepolapr¦dko±cicz¡steczekwewn¡trzstrugi.Wła±nietakiezaburzenia,iwogó-

lewszelkie,deformacjetorówcz¡stekprzezzewn¦trzneobiekty,prowadz¡dopowstaniagradientów

ci±nienia,odpowiedzialnychzazmianypr¦dko±cicz¡stek.

Abywyja±ni¢todokładniej,mo»naposłu»y¢si¦prostymrachunkiem,któryrozwa»asytuacj¦,w

którejumieszczonenadrodzestrugiprzeszkodypowoduj¡jejzakrzywienie,awi¦copróczskładowej

stycznejprzyspieszeniamamytak»eskładow¡radialn¡.Rozwa»myelementpłynuog¦sto±ci ,zawarty

wobj¦to±ci V = A · r (rys. 5 ,wg.[ 6 ]).RównanieNewtonato

V d 2 r

dt 2 F r = − a · p = A dp

dr · r,

apopodstawieniuza a r = d 2 r

dt 2 = − v 2

r dostajemyrównanie

dr = v 2

r ,

któregoscałkowaniewymagaznajomo±ci v = v ( r ).Naprzykładdlawiruj¡cejzestałapr¦dko±ci¡

k¡tow¡ ! cieczy v = r · ! mamy(dobrzeznany)wynik p =1 / 2 ! 2 r 2 .Ci±nieniero±niegdyporuszamy

si¦„nazewn¡trz”,prostopadledozakrzywionychtorówcz¡stek.

Je»eliterazprzyjrze¢si¦sytuacjijaknarys. 6 ,towidzimy,»enp.ci±nieniewzdłu»prostejprosto-

padłejdoliniipr¡duwpunkcieBmusirosn¡¢gdyoddalamysi¦odpunktuBkugórze.Poniewa»w

dostateczniedu»ejodległo±ci,gdzieefektyobecno±ciprzeszkodyznikaj¡,ci±nieniewynosi p 0 -„ci±nie-

niewniesko«czono±ci”,mamy p B <p 0 .Analogicznerozumowanie,przeprowadzonedlapunktówAiC

rysunku 6 dowodzi,»e p A >p 0 i p C >p 0 . Wokółprzeszkódwymuszaj¡cychnaporuszaj¡cymsi¦płynie

zakrzywienietorówpowstaj¡gradientyci±nie«itodzi¦kinimcz¡stkipłynyprzyspieszaj¡lubzwalniaj¡

(np.wrurceVenturiego).Takamodyﬁkacjapolaci±nie«mo»esłu»y¢dowyja±nieniademonstracjiz

piłeczk¡Bernoulliego-por.rysunki 7 , 8 2 .

Wypadajeszczewspomnie¢oefekcieMagnusa,aletutajsytuacjajestodkilkunastulatbardzo

dobra.Mo»natochybatłumaczy¢pasj¡Amerykanówdogolfaibaseball’u–licznestronyinternetowe

po±wi¦conedyskusjomnadtechnik¡podkr¦caniepiłekzaoowocowałypraktyczniewzorowoopisanym

efektemMagnusawwydaniachR&Hju»zko«cemlatosiemdziesi¡tych.Naciskpoło»onyjestzjawisko

2 Zauwa»mytutaj,»euproszczonyparadygmat„wi¦kszapr¦dko±¢–mniejszeci±nienie”,sugeruj¡cy(niesłusznie!)»e

„mniejsze”ci±nieniewewn¡trz niezaburzonej strugijestodpowiedzialnezautrzymywaniepiłeczkiwewn¡trzstrugi,jest

by¢mo»ełatwiejszydoprzyswojeniadlaprzeci¦tnegostudenta,któryniestawiasobiesamzbytwielepyta«,ni»powy»sze

prosterachunkiirysunek 6 ,atak»ewieleinnychefektów,wktórychmamydoczynieniazzakrzywionymiprzezprzeszkody

liniamipr¡du.

lepko±ci,powoduj¡cekr¡»enieporcjipłynuwrazzobracaj¡c¡si¦piłeczk¡.Wypadkowytransferpłynu

(wdółlubwgór¦)wywołuje–zgodnieztrzeci¡zasad¡dynamiki–sił¦którab¡d¹„wynosi”kugórze

piłeczk¦,b¡d¹powodujezakrzywieniejejtrajektoriikudołowi.Niejestemfanempiłkino»nej,ale

wiem,»eipiłkarzomtakieefektynies¡obce.

5Wnioski

Mimoniew¡tpliwejpoprawy,którejdowodems¡nowewersjerozdziałówpo±wi¦conychinterpretacji

prawaBernoulliegonp.wpodr¦cznikuR&H,stareifałszyweparadygmaty„maj¡si¦dobrze”ipokutu-

j¡wobecniewydawanychpodr¦cznikach.Dlatego,wykładaj¡coprawieBernoulliegowartozagl¡dn¡¢

doInternetu,gdzienawielustronachmo»naznale¹¢ciekawemateriałyiwypowiedziﬁzyków(inie

tylko)zdegustowanychuporczywymlansowaniem–mówi¡cdelikatnie–nie±cisło±ci.Polecamnaprzy-

kład...stron¦zabawekdrewnianychTurnera,zewzgl¦dunabogatyzestawhiperł¡czdoartykułów,

ksi¡»ek,polemik: zabawekdrewnianychTurnera .Znakomitajest 3 stronaﬁzykai...lotnikaJohna

StewartaDenkera[ 4 ]: JohnaStewartaDenkera ,zawieraj¡cam.in.animowanegify,ilustruj¡ceroz-

kładyci±nie«ipr¦dko±ciwokółskrzydłaorazcałkiemkompletn¡teori¦płaskiegopolawektorowego

wuj¦ciuodwzorowa«konforemnych.Nauwag¦zasługujestronaWeltnera[ 6 ],gdziemo»naznale¹¢

odno±nikidokilkujegoprac,m.in.publikowanychwThePhysicsTeacher.Wka»dymrazie,warto

pami¦ta¢podczaswykładu,»e:

• PrawoBernoulliegotonicinnegojakrównanieruchu(równanieNewtona)dlao±rodkaci¡głego

jakimjestpłyn.Przyodpowiednich(czasemznacznych)modyﬁkacjachmo»nauwzgl¦dni¢wnim

takieefektyjak±ci±liwo±¢medium(gazy–np.rozpr¦»enieadiabatyczne,prowadz¡cezjednej

stronydowzrostuenergiicz¡stekgazu,azdrugiej–doobni»eniajegotemperaturyienergii

wewn¦trznej)albolepko±¢cieczy(równanieHagena-Poiseuille’

• Wprzypadkuprzeszkódpojawiaj¡cychsi¦wstrumieniucieczysiłyreakcjis¡odpowiedzialne

zaprzekazyp¦du,którewytwarzaj¡wcieczyrozkład(gradienty)ci±nie«;tewła±niegradienty

(przyczyna)zmieniaj¡pr¦dko±cicz¡stekpłynu(skutek)–anieodwrotnie.Niemniejjednak,

relacja„mniejszeci±nienie–wi¦kszapr¦dko±¢”(iviceversa)b¦dziezawszezachowana.

• Dlacieczyrzeczywistychistotn¡rol¦odgrywaj¡efektylepko±ci–siławyporujestproporcjo-

nalnadokr¡»enia(równanieKutta-ukowskiego);zkoleizapowstanieniezerowegokr¡»enia

odpowiedzialnes¡odrywaj¡cesi¦odpowierzchniskrzydławiry,któres¡konsekwencj¡lepko±ci;

wniektórychsytuacjachlepko±¢manifestujesi¦jeszczesubtelniej(efektCoandy).

• Sił¦no±n¡skrzydłanajłatwiej(inajbezpieczniej)wytłumaczymynagruncie3.zasadydynamiki.

• Je»eliniemaprzeszkodywstrumieniucieczyporuszaj¡cejsi¦zpewn¡pr¦dko±ci¡toci±nienie

statycznewtejpartiicieczyjesttakiesamojakci±nieniewprzyległychdoniej,„nieruchomych”

partiach.Prostedemonstracjepozwalaj¡towykaza¢;równieprostedemonstracjepozwol¡wyka-

za¢,»ewprzypadkuzakrzywionychpowierzchniwyst¦puj¡ró»niceci±nie«:nagórnejpowierzchni

zakrzywionegolekkopłataci±nieniejestwyra¹niemniejszeodci±nieniaotoczenia;nadolnej–

nieznacznie.

3 Była.ZnikłazserweraUniwersytetuMonmouthiniemo»nanigdziejejznale¹¢!!

Lenda A - Kłopoty z Bernoullim.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: