Wyklad 14.pdf

(139 KB) Pobierz
Microsoft PowerPoint - Wyklad 14.ppt
WYKýAD 14
INTERPOLACJA FUNKCJI DWìCH ZMIENNYCH
Wszystkie przedstawione podczas wykþadw metody interpolacji funkcji jednej zmiennej mogĢ byę
formalnie rozszerzone na przypadek funkcji n zmiennych niezaleŇnych opierajĢc siħ na zasadzie
uzmienniania staþych wspþczynnikw wystħpujĢcych w poszczeglnych funkcjach jednej zmiennej
niezaleŇnej. Oznacza to tym samym, Ňe w kaŇdym przekroju, w ktrym n-1 zmiennych niezaleŇnych
ma staþe wartoĻci funkcja interpolujĢca jest funkcjĢ jednej zmiennej niezaleŇnej, a baza interpolacyjna
dla funkcji wielu zmiennych niezaleŇnych jest iloczynem tensorowym odpowiednich baz rozwaŇanych
przy interpolacji funkcji jednej zmiennej niezaleŇnej.
Najbardziej uŇyteczne i najczħĻciej stosowane metody interpolacji funkcji wielu zmiennych sĢ oparte
na wykorzystaniu wielomianowych funkcji sklejanych uoglnionych na wiħkszĢ liczbħ zmiennych
niezaleŇnych - ze wzglħdu na przedstawione problemy zwiĢzane ze zbieŇnoĻciĢ interpolacji
wielomianowej i trygonometrycznej oraz ich wadĢ jakĢ jest czuþoĻę na wybr wħzþw interpolacyjnych.
Zapewnia to zachowanie podstawowych wþasnoĻci funkcji sklejanych jednej zmiennej i zezwala
na uzyskanie niezbyt skomplikowanych algorytmw.
Nasze rozwaŇania ograniczymy do przedstawienia niektrych interpolacyjnych funkcji sklejanych
dwch zmiennych w obszarze prostokĢtnym
D
=
[ ] [ ],
, d
c
,
w ktrym zdefiniowano siatkħ
D
D
x
D
y
,
gdzie:
D
x
:
a x x x b
= < < < =
0 1
...
n
;
Í
Í
(1)
D
y
:
c y y y d
= < < < =
0 1
...
m
,
=
a
b
Ú
dzielĢcĢ obszar W na prostokĢtne komrki:
W ij
=
{
( , ) [ , ], [ , ]
x y x x x y y y
¬
i i
1
¬
j j
1
}
Í
Í
(2)
( , , ...., ; , , ..., ).
=
1 2
n j m
=
1 2
Przedstawienie funkcji dwch zmiennych w obszarze prostokĢtnym (1) jest dostatecznie oglne, gdyŇ
wiħkszoĻę powierzchni moŇemy sparametryzowaę wprowadzajĢc dwie rodziny linii - takich, ktrych
poczĢtki i koıce znajdujĢ siħ w punktach leŇĢcych na przeciwlegþych brzegach rozwaŇanego pþata
powierzchni.
WielomianowĢ funkcjĢ sklejanĢ dwch zmiennych stopnia m z defektem k (
1
k
m wzglħdem
zmiennej x i stopnia n z defektem l (
1
l
n wzglħdem zmiennej y, z liniami sklejenia na siatce D,
)
nazywamy takĢ funkcjħ
S x y S x y
m n
,
( , )
=
m n
, , ,
k l
( , , , ),
D D
x y
(3)
ktra:
, algebraicznych wielomianw stopnia nie wyŇszego od m wzglħdem zmiennej
x i nie wyŇszego od n wzglħdem zmiennej y,
Ú
-
-
i
)
1) naleŇy do zbioru P m n
41976081.001.png
( , ) ciĢgþych na W, majĢcych ciĢgþe pochodne czĢstkowe
rzħdu m - k wzglħdem zmiennej x i rzħdu n -l wzglħdem zmiennej y.
- -
k l
,
funkcji f x y
Zgodnie z podanĢ definicjĢ dwuliniowa funkcja sklejana S x y
1 , ( , ) moŇe byę zapisana w kaŇdej komrce
W (2) w postaci
i
j
S
1
(
x
,
y
)
=
a
i
j
+
b
i
j
x
+
c
i
j
y
+
d
i
j
x
y
.
(4)
Nieznane wspþczynniki we wzorze (4.141) wyznaczymy z warunkw interpolacji
S x y f f x y i n j m
, ( , )
i j ij i j
= =
( , ) ( , , ..., ; , , ..., ).
=
0 1
=
0 1
(5)
PoniewaŇ przy ustalonej wartoĻci jednej ze zmiennych x y
, funkcja S x y
1 , ( , ) jest funkcjĢ sklejanĢ
wzglħdem drugiej z tych zmiennych, to wykorzystujĢc wzr
S x
( )
=
x x
h
i
-
y
+
x x
h
-
i
-
1
y i n
( , , ..., ),
=
0 1
-
1
1
i
-
1
i
i
i
moŇemy napisaę
S
1
(
x
,
y
k
)
=
(
-
u
)
f
i
-
1
k
+
u
f
i
k
(
k
=
j
-
1
j
)
,
(6)
gdzie:
u
=
(
x x
h
-
i
-
1
) ,
h x x
= -
.
1 (7)
i i i
-
i
2) naleŇy do przestrzeni C m n
1 1
41976081.002.png
InterpolujĢc ponownie obliczone funkcje S x y j
1 1
, ( , )
-
1
i S x y j
1 , ( , ) otrzymujemy
S x y w S x y wS x y
1 1
,
( , ) ( ) ( , )
= -
1
1 1
,
-
1
+
1 1
,
( , ),
j
(8)
gdzie:
w
=
(
y y
l
-
j
-
1
) ,
l y y
= -
1 (9)
j j j
-
j
i ostatecznie po podstawieniu (6) do (8) jest
S
1
(
x
,
y
)
=
(
-
w
)
[
(
-
u
)
f
i
-
1
j
-
1
+
u
f
i
,
j
-
1
] [
+
w
(
-
u
)
f
i
-
j
+
u
f
i
j
]
.
(10)
j
1
41976081.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin