01. Granice funkcji wielu zmiennych.pdf
(
145 KB
)
Pobierz
Metody obliczania granic funkcji dwóch zmiennych
METODY OBLICZANIA GRANIC FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
I. Obliczanie granic przy wykorzystaniu definicji Heinego granicy funkcji.
Definicja
(
Heinego
)
Niech
(
X
,
d
) – przestrzeń metryczna
Y
– przestrzeń topologiczna
Y
f
:
X
,
Y
g
– element przestrzeni topologicznej
0
(
0
P
jest punktem skupienia dziedziny funkcji
f
)
Granicą
funkcji
f
w punkcie
0
P
jest element
g,
g
P
'
D
lim
0
P
f
(
P
)
, wtedy i tylko wtedy, gdy
spełniony jest warunek
N
P
n
n
n
)
n
D
f
,
P
n
P
0
g
:
(
lim
P
n
P
0
lim
f
(
P
)
)
n
Interpretacja geometryczna
f
:
R
2
R
P
o
D
'
f
N
n
P
- dowolny ciąg, którego wyrazy dążą do
0
P
i
0
P
n
P
n
N
f
- ciąg wartości funkcji
f
obliczonych w punktach
...
n
P
n
P
1
P
,
2
,
z
g
N
n
f
'
P
n
N
n
f
n
P
z
f
(
y
x
,
)
N
n
n
P
y
N
n
P
'
n
0
P
D
x
f
Zamiast rozważać ciągi punktów, rozważmy pewne krzywe (drogi) do których mogą należeć
te punkty.
Uwaga
1)
Jeśli dla każdej drogi (krzywej) istnieje granica i jest zawsze ta
sama, to funkcja posiada granicę podwójną.
2) Jeśli dla dwóch różnych dróg otrzymamy różne granice, to funkcja
nie posiada granicy podwójnej.
1
f
P
(
z
y
x
Przykład
Obliczyć granicę
lim
x
(
x
,
y
)
)
(
0
0
x
y
Założenie:
x
y
Rozważmy dwie drogi.
y
2)
1)
x
←
(wyrzucamy prostą
y = - x
)
1)
y
const
y
0
x
0
i
x
0
, tzn. wybieramy drogę 1)
(
x
,
y
)
(
0
wtedy
x
x
x
lim
1
1
x
0
0
2)
x
const
x
0
y
0
i
y
0
, tzn. wybieramy drogę 2)
(
x
,
y
)
(
0
wtedy
0
y
0
lim
lim
0
0
y
y
y
0
0
Wniosek: dla dwóch różnych dróg granice są różne
~
lim
x
.
(
x
,
y
)
(
0
0
x
y
Uwaga
Nie ma odpowiednika reguły de L'Hospitala dla funkcji wielu zmiennych.
2
,
lim
)
,
II. Obliczanie granicy podwójnej z wykorzystaniem współrzędnych biegunowych
Do obliczenia granicy
lim
0
0
y
f
(
x
,
)
stosujemy współrzędne biegunowe
(x,y)
(
,
)
x
, gdzie
r
cos
r
.
0
[
0
2
)
y
r
sin
Niech
0
0
P
.
(
Zauważmy, że jeśli
(
x
, to
,
y
)
(
0
r
i
jest dowolne, ale może być
zależne od
r
,
0
.
P
0
(0,0)
.
(
r
)
D
f
Wtedy badamy granicę
r
lim
0
f
x
(
r
,
),
y
(
r
,
)
r
lim
0
f
(
r
cos
,
r
sin
)
i jeśli istnieje, to jest
dow
.
dow
.
ona równa granicy wyjściowej.
Badanie granicy funkcji
)
f
w punkcie
(
y
x
,
P
(
x
0
P
,
y
0
)
0
(
można sprowadzić do badania
granicy innej funkcji, tzn. funkcji
f
(
x
0
s
t
,
y
0
)
, w punkcie
P
0
(0,0) dla
(
t
,
,
s
)
(
0
stosując podstawienie
x
x
0
t
y
y
0
s
Wtedy
(
x
,
y
)
s
(
x
0
,
y
0
)
(
t
,
)
(
0
i
(
x
,
y
lim
(
x
y
)
f
(
x
,
y
)
(
t
,
s
lim
)
(
0
,
0
)
f
(
x
0
t
,
y
0
s
)
0
0
Następnie stosując współrzędne biegunowe
t
r
cos
,
s
r
sin
lub podstawienie równoważne
x
x
0
r
cos
, badanie granicy
lim
f
(
x
,
y
)
y
y
r
sin
(
x
,
y
)
(
x
,
y
)
0
0
0
sprowadzamy do zbadania granicy
lim
f
(
x
0
r
cos
,
y
0
r
sin
)
.
r
0
dow
.
3
)
,
Przykłady
0
1. Obliczyć granicę
x
2
y
lim
(
x
,
y
(
0
0
)
x
2
y
2
0
Wykorzystujemy podstawienie
x
, wtedy obliczenie powyższej granicy
r
cos
y
r
sin
sprowadza się do obliczenia granicy
0
r
3
cos
2
sin
lim
lim
r
cos
2
sin
0
r
0
r
2
r
0
e
dow
.
dow
.
ograniczon
x
2
y
Zatem
lim
0
.
x
,
y
)
y
(
0
0
)
x
2
2
x
2
y
2. Obliczyć granicę
lim
y
.
(
x
,
y
(
0
0
)
x
4
2
Wykorzystując podstawienie
x
wystarczy zbadać granicę
r
cos
y
r
sin
0
0
dla
sin
const
0
r
3
cos
2
sin
cos
2
sin
lim
lim
r
0
dla
sin
0
r
0
r
4
cos
4
r
2
sin
2
r
0
r
2
cos
2
sin
2
0
dow
.
dow
.
?
dla
sin
0
0
ogr
0
0
Jeśli
sin
, to powyższa granica przyjmuje postać
0
lim
r
lim
r
0
0
.
r
2
0
r
0
r
0
dow
.
dow
.
y
sin
φ
= const (do punktu (0,0) dążymy po prostych)
x
4
)
,
(
,
)
,
0
Natomiast jeśli
sin
0
, to wybieramy drogę po krzywej
y
.
x
2
Wtedy
x
4
1
1
lim
lim
0
x
x
x
0
x
4
4
0
2
2
Zatem
~
lim
f
(
x
,
y
)
(nie istnieje granica podwójna).
(
x
,
y
)
(
0
,
0
)
x
3
y
3. Obliczyć granicę
lim
y
.
(
x
,
y
)
(
0
,
0
x
4
2
Przechodzimy do wpółrzędnych biegunowych
x
r
cos
y
r
sin
cos
3
sin
0
dla
sin
const
0
lim
r
2
0
dla
sin
0
r
4
cos
4
sin
2
r
0
dow
.
?
dla
sin
0
Wybieramy drogę
y
. Wtedy
x
2
x
5
1
lim
lim
x
0
- granica podwójna może istnieć (nie udowodniliśmy, że nie istnieje).
2
x
4
2
x
0
x
0
Wybieramy inną drogę,
y
. Wtedy
x
4
x
7
x
3
lim
lim
0
- nadal nie rozstrzygnęliśmy istnienia granicy podwójnej.
x
0
x
4
x
8
x
0
1
x
4
Skorzystamy z definicji Cauchy'ego granicy funkcji.
Definicja
(
Cauchy'ego
)
Niech
X
-
przestrzenie metryczne
Y
,
Y
d
,
,
:
f
f
X
P
'
0
(
0
P
jest punktem skupienia dziedziny).
D
Wtedy
lim
f
f
P
g
:
0
0
P
D
:
0
d
P
,
P
,
g
P
P
0
(tzn.
P
jest z sąsiedztwa
punktu
0
P
)
5
)
f
P
0
Plik z chomika:
Esme1991
Inne pliki z tego folderu:
Rachunek różniczkowy funkcji 2 i 3 zmiennych.pdf
(277 KB)
15. Ekstrema globalne.pdf
(95 KB)
14. Ekstrema warunkowe.pdf
(206 KB)
13. Ekstrema lokalne.pdf
(122 KB)
12. Twierdzenie Taylora dla funkcji wielu zmiennych.pdf
(78 KB)
Inne foldery tego chomika:
szeregi
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin