10. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów.pdf
(
114 KB
)
Pobierz
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW
przestrzeń unormowana nad
K,
X
K
n
,
Y
,
U
K
Top
n
,
f
:
0
U
U
Y
,
x
.
Definicja
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu
są to pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych rzędu
pierwszego
2
f
n
f
x
:
x
,
gdzie
k
,
j
1
,...,
x
x
0
x
x
0
j
k
j
k
(liczymy pochodne zgodnie z kierunkiem składania).
Zakładamy, że określiliśmy pochodne cząstkowe rzędu
k–
1 -szego. Wtedy definiujemy
pochodne
cząstkowe rzędu
k
-tego
:
k
f
}
k
1
f
x
:
x
,
gdzie
i
,
i
,...,
i
{
,...,
n
x
...
x
0
x
x
...
x
0
1
2
k
i
i
i
i
i
1
k
1
2
k
Oznaczenia
k
f
ozn
.
x
f
x
x
1
...
x
0
x
i
x
i
...
x
i
0
1
1
i
i
k
k
f
ozn
.
k
f
x
x
x
...
x
0
x
k
i
0
i
i
k
razy
Twierdzenie
(
o istnieniu k-tej pochodnej cząstkowej
)
Zał: - istnieje
k
-ta różniczka funkcji
f
w punkcie
d
x
0
f
x
Teza: pochodne cząstkowe funkcji
f
rzędu
k
w punkcie
x
0
wartość różniczki
k-tego rzędu w
oraz
k
f
},
x
d
k
x
f
e
,...,
e
,
gdzie
i
,...,
i
{
,...,
n
x
...
x
0
i
i
1
k
0
1
k
i
1
i
k
e
,...,
e
baza
kanoniczna
K
n
.
1
punkcie dla
wektorów bazowych
x
0
1
Niech
Twierdzenie
(
o istnieniu k-tej różniczki
)
Zał:
oraz
istnieją wszystkie pochodne cząstkowe
k
-tego rzędu funkcji
f
w
U.
Top
n
,
f
:
U
R
Teza: Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu
k
funkcji
f
są ciągłe na zbiorze
U,
to
f
C
k
oraz
,
n
k
f
d
k
x
f
h
1
,...,
h
k
x
h
1
h
2
...
h
k
i
,
gdzie
x
U
x
...
x
1
2
k
,
1
,...,
i
1
i
i
h
j
R
h
j
,...,
h
j
n
n
dla
j
1
,...,
k
1
k
1
tzn. funkcja posiada ciągłą pochodną rzędu
k
oraz wartość
k-
tej różniczki w punkcie
x
jest równa
sumie pochodnych cząstkowych pomnożonych przez odpowiednie współrzędne kolejnych
wektorów z .
R
n
Twierdzenie
(
o równości pochodnych mieszanych
)
Zał:
Top
n
,
f
:
0
U
U
R
,
Teza:
1° Jeśli funkcja
f
ma
k
-tą różniczkę w punkcie
x
0
, to
k-
te pochodne cząstkowe tej funkcji w punkcie
nie zależą od kolejności zmiennych, tzn.
.
x
k
f
k
f
d
k
x
f
P
,
P
permutacja
k
elementowa
:
x
x
0
x
...
x
0
x
...
x
0
i
1
i
k
i
P
1
P
k
2° Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu
k
funkcji
f
istnieją i są ciągłe w punkcie
x
0
,
to
k
f
k
f
P
,
P
permutacja
k
elementowa
:
x
x
x
...
x
0
x
...
x
0
i
1
i
i
P
1
i
P
k
czyli również w tym przypadku możemy zmieniać kolejność liczenia pochodnych cząstkowych
względem ustalonych zmiennych, a pochodne te nie zmieniają się.
Uwaga
Pochodne występujące w tezie powyższego twierdzenia nazywamy
pochodnymi mieszanymi
.
2
U
R
i
i
i
k
U
R
x
i
k
Przykład
Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
f
1
x
,
y
xy
2
x
3
y
3
2
Pochodnych trzeciego rzędu jest tyle ile jest trzyelementowych wariacji zbioru dwuelementowego,
W=2
3
=8. Pochodne cząstkowe dowolnego rzędu funkcji
f
są ciągłe, zatem pochodne mieszane są
równe. Wystarczy więc, że policzymy tylko cztery pochodne:
f
yyy
0
f
xyy
6
f
xxy
12
x
f
xxx
12
y
bo
f
xyy
f
yxy
f
yyx
f
xxy
f
xyx
f
yxx
.
Przykład
Liczba pochodnych cząstkowych rzędu
m
funkcji dwóch zmiennych wynosi , jednakże jeśli
pochodne te są ciągłe, to wystarczy wyznaczyć tylko
m
+1 spośród nich.
2
m
Uwaga
Jeśli funkcja nie jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
x
0
,
x
f
D
2
, to pochodne mieszne
0
drugiego rzędu nie muszą być równe.
Przykład
Obliczyć pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu funkcji
xy
x
2
y
2
dla
(
x
,
y
)
(
0
),
f
x
,
y
x
2
y
2
0
dla
(
x
,
y
)
(
0
),
w punkcie (0,0).
f
lim
f
0
t
,
f
0
lim
f
t
,
f
0
lim
0
lim
0
0
x
t
t
t
t
0
t
0
t
0
t
0
f
0
lim
f
0
t
f
0
lim
f
0
t
f
0
lim
0
lim
0
0
y
t
t
t
t
0
t
0
t
0
t
0
Natomiast
dla
x,y
0
,
0
otrzymujem
y
:
f
3
x
2
y
y
3
x
2
y
2
2
x
2
y
x
2
y
2
y
x
4
4
x
2
y
2
y
4
x
,
y
x
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2
2
f
x
3
3
xy
2
x
2
y
2
2
xy
2
x
2
y
2
x
x
4
4
x
2
y
2
y
4
x
,
y
y
2
2
2
2
2
x
y
x
y
3
0
Zatem
f
0
t
,
f
0
f
t
,
f
0
2
f
y
y
y
y
t
0
lim
lim
lim
lim
1
1
x
y
t
0
t
0
t
t
0
t
0
Podobnie
1
f
0
t
f
0
f
0
t
f
0
2
f
t
x
x
x
x
0
lim
lim
lim
lim
1
y
x
t
t
t
t
0
0
0
t
0
i w konsekwencji
2
f
.
2
f
0
0
x
y
y
x
Stąd można wnioskować, że każda z pochodnych cząstkowych mieszanych rzędu drugiego nie jest
ciągła w punkcie (0,0).
opracował Marcin Uszko
4
t
t
t
t
Plik z chomika:
Esme1991
Inne pliki z tego folderu:
Rachunek różniczkowy funkcji 2 i 3 zmiennych.pdf
(277 KB)
15. Ekstrema globalne.pdf
(95 KB)
14. Ekstrema warunkowe.pdf
(206 KB)
13. Ekstrema lokalne.pdf
(122 KB)
12. Twierdzenie Taylora dla funkcji wielu zmiennych.pdf
(78 KB)
Inne foldery tego chomika:
szeregi
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin