Matematyka Funkcja Kwadratowa.doc

Wzór ogólny: y=ax2+bx+c

Jeśli a>0 to:

Zw=<0;+∞)

f maleje (-∞;0> i rośnie <0;+ ∞)

Funkcja nie przyjmuje wartości największej i dla argumentu 0 przyjmuje wartość najmniejszą- 0 Ramiona zwrócone są do góry.

Jeśli a<0 właściwości są odwrotne.

Wzór postaci kanonicznej: y= a(x-p)2 +q

Jeśli chcemy przesunąć wykres o wektor v= [p,q] to

xw= współrzędna x + p= p   i    yw= wsp. y +q= q

Wierzchołek= [p,q] lub x1+x2  /2

p= - b/2a

q= - ∆/4a

∆= b2-4ac

Aby znaleźć postać iloczynową ∆ > 0 czyli być na plusie. Wtedy wyliczamy 2 miejsca „0”:

x1=  -b-√∆/2a   x2= -b+√∆/2a  

Wzór funkcji w post. Iloczynowej to: f(x)=a(x-x1)(x-x2)

Gdy ∆ wynosi 0 ma 1 miejsce zerowe które obliczamy ze wzoru:

x0=-b/2a

Wtedy postać wygląda tak: f(x)= a(x-­x0)2

Gdy ∆ jest mniejsze od 0 postać iloczynowa nie istnieje

Wzór funkcji kwadratowej y=ax2+bx+c można przekształcić do postaci kanonicznej y= a(x-p)2 +q za pomocą wzorów na p i q (powyżej)

a∙q >0 ó ∆ <0 miejsce zerowe nie istnieje

a∙q= 0 ó ∆ =0 jest jedno miejsce zerowe

a∙q< 0 ó ∆ >0 są 2 miejsca zerowe

w tym wypadku

-2∙8 < 0   czyli ∆ >0 mamy więc 2 miejsca 0

Aby naszkicować wykres funkcji kwadratowej:

- Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z OY- (0,c)

- Wyznaczamy p i q czyli wsp. wierzchołka

- obliczamy msc „0”

- Zaznaczamy msc „0” i sprawdzamy czy odległość między nimi podzielona na 2 wynosi tyle co współczynnik a

- Rysujemy parabolę

Aby obliczyć pkt przecięcia z OY podstawiamy za x 0

Rozwiązywanie równań kwadratowych to nic innego tylko znalezienie msc „0” więc wszystko przyrównujemy do 0. Następnie szukamy ∆ zgodnie z powyższymi warunkami równanie może mieć 1 lub 2 rozwiąznia. Właśnie x1 i x2 są rozwiązaniami.

Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 5. Jeśli tę liczbę pomnożymy przez liczbę dwucyfrową o tych samych cyfrach, ale zapisanych w odwrotnej kolejności , to otrzymamy 736. Wyznacz tę liczbę.
10x+y -szukana liczba
10y+x - po przestawieniu cyfr
x+y=5
(10x+y)(10y+x)=736
y=5-x
(10x+5-x)(50-10x+x)=736
(9x+5)(50-9x)=736
450x-81x²+250-45x-736=0
-81x²+405x-486=0 /:(-9)
9x²-45x+54=0 /:9
x²-5x+6=0
Δ=25-24=1
x­1=2
x2=3
y=3 lub 2

czyli jest to liczba 23 lub 32

na spotkaniu towarzyskim każdy uczestnik spotkania przywitał się z każdym z pozostałych i w sten sposób wymieniono 45 uścisków dłoni. ile osób uczestniczyło w tym spotkaniu?

n- liczba uczestników

n(n-1) /2=45 – liczba przywitanych

n2-n=90

∆= 361

√∆=19

n1= -9

n2= 10

n € {-9;10}

n € N+                 n=10

Drut długości 64 cm podzielono na dwie części. Z jednej części wykonano kwadratową ramkę, a z drugiej ramkę prostokątną, w której stosunek długości boków wynosi 3:1. Suma powierzchni ograniczonych przez obie ramki wynosi 112 cm ². Na jakiej długości został podzielony drut?

obw=2a+2b=6b+2b=8b obw=4x
P=3b*b=3b2 P=x2
4x+8b=64
x2+3b2=112
4x=64-8b
x=16-2b
(16-2b)2+3b2=112
256-64b+4b2+3b2=112
7b2-64b+144=0
Δ=4096-4032
Δ=64
b_1=(-b-√∆)/2a b_2=(-b+√∆)/2a
b_1=(64-8)/14 b_2=(64+8)/14
b_1=4 b_2≈5,14
a1=12 a2≈15,42
x1=16-2b x2=16-2b
x1=8 x2≈5,72
Suma obw1=8b+4x=32+32=64 Suma obw2=8b+4x≈41,12+22,88≈64,1≈64
Suma P1=3b2+x2=3*16+64=48+64=112 Suma P2=3b2+x2≈3*26,42+32,72≈79,26+32,72=111,98≈112

Odp .drut przecięto w połowie lub na kawałki 41,12cm i 22,88cm

z kawałka płótna w kształcie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 40 cm i 30 cm hafciarka chce wyciąć prostokątną serwetę Jakie powinny być wymiary serwety, aby jej pole było największe?

obliczamy przeciwprostokatna:

40x40 + 30x30 = x2

1600 + 900 = x2

2500 = x2

x= 50

wiemy ze promień okręgu opisanego na trójkącie jest zawsze rowny polowie jego przeciwprostokatnej.

wiec przekatna kwadratu ma 25cm
d=a pierwiastek z 2

25 = a √2

a= 25/ √2 a= 25√2 / 2