Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego.pdf

Funkcjetrygonometrycznek¡tadowolnego MariaMaªycha

Zadanianaplusy

Funkcjetrygonometrycznek¡ta dowolnego

MariaMaªycha

Zadanianaplusy

Zadanie 1

Dlajakichwarto±ci 2h0

; 360 iprawdziwes¡na-

Zadanie 6

Sprawd¹parzysto±¢funkcji:

a) f(x) = xtgx

b) f(x) = xctgx

c) f(x) = tg x

d) f(x) = ctgx

e) f(x) = tgx + ctgx

f) f(x) = tgxctgx

g) f(x) = tg 3 x

h) f(x) = cosx

tgx

i) f(x) = cosx

1+4tg 2 x

Zadanie 7

Podajzbiórwarto±cifunkcji:

a) y = sinx + 1

b) y = sinx3

c) y = cosx 2

d) y =cosx

e) y = 3cosx

f) y =1sinx

g) y = 2cos

st¦puj¡cewarunki:

a) sincos > 0

b) sincos = 0

c) tgctg > 0

d) tgctg = 0

e) tg > 1

f) ctg <

; 360

i,dlaktórego:

a) tg = 1 i cos < 0

b) ctg =1 i cos > 0

c) sin =

2 i cos < 0

d) cos =

2 i sin < 0

e) sin =

2 i tg < 0

f) sin = p

2 i ctg > 0

Zadanie 3

Rami¦pocz¡tkowek¡tapokrywasi¦zdodatni¡póª-

osi¡OX: Podajrównanieprostej,wktórejzawierasi¦

rami¦ko«cowek¡ta ,je±li:

a) tg = 3

b) ctg =3

c) sin =

x + 2

h) y = sin 2 x + 1

i) y = 1cos 2 x

Zadanie 8

Zbadaj, które z okre±lonych ni»ej funkcji s¡ parzy-

stymi,aktórenieparzystymi:

a) y = sin2x

b) y = tg 2

c) y = sin 3 x

d) y = sinx + cosx

e) y = xsinx

f) y = xcosx

g) y = x 2 tgx

h) y =j1 + cosxj

i) y = ctgx

j) y = tgx + ctgx

k) y = tgxctgx

l) y = tg 3 x

m) y = cosx

tgx

n) y = cosx

1+4tg 2 x

Zadanie 9

Sporz¡d¹wykresfunkcjidla x2h2; 2i:

5 i cos < 0

d) cos = 5 i sin < 0

Zadanie 4

Dladanegorównaniaobliczsum¦pierwiastkównale-

»¡cychdoprzedziaªuh0; 6i:

a) sinx = 2

b) cosx = 2

c) sinx = 2

d) cosx = 2

e) sinx = 0; 7

f) cosx =0; 7

Zadanie 5

Ilepunktówwspólnychmaj¡wykresyfunkcji f i g w

przedzialeh0; 2i?

a) f(x) = sinx; g(x) = cosx

b) f(x) = sinx; g(x) =sinx

c) f(x) = sinx; g(x) = 2sinx

d) f(x) = cosx; g(x) = 1sinx

g) tg > ctg

Zadanie 2

Wyznaczk¡t 2h0

Funkcjetrygonometrycznek¡tadowolnego MariaMaªycha

Zadanianaplusy

a) y =cos2x

b) y = 2sin

k) cos 2 2x + 4cos 2 x = 2

l) 2cos 2 x = sin2xtgx

m) 2cos2x + 3 = 4cosx

c) y = sinx +jsinxj

d) y =

jcosxj

cosx

e) y = 2sinxjcosxj

f) y =jsinxj+jcosxj

Zadanie 10

Naszkicujwykresfunkcji:

a) y = 1tg

1tg 2 x + 1tg 2 2 = 2

o) sin 4 xcos 4 x = 2

p) sin 4 x + cos 4 x = 1

r) 5sinx 3

sinx = 2

s) sin 3 x = 12sin 2 x

t) 2sin 3 xsinxcosx3sinx = 0

u) 4sin 3 x4sin 2 x + 3sinx = 3

w) 2sin 5 x = 3sin 3 xsinx

v) cos4x + 2cos 2 x = 1

x) sin3xsinx = sin2x

y) cos2xcos6x = sin3x + sin5x

z) cos5xcosx = sin3x

¹) cos2x + cos6x = sin3xsin5x

») cos3x + sin3x = cosx + sinx

Wskazówka do punktu d) Skorzystaj ze wzoru:

cosx = sin

x + 6

x 3

b) y = tg

c) y =ctg

x + 3

d) y = ctg

+ 1

Zadanie 11

Rozwi¡»równanie:

a) sin2x = cosx

b) sinx + sin2x = 0

c) tg 3 x = 3tgx

d) 4sinxcos 2 x = sinx

e) sinxcosxsinx = cosx1

f) 2sin2x + 2sinx = 2cosx + 1

g) 2sinxcos 2 x + sinx = 3sinxcosx

h) 2sin 2 xcosxsinxcosx = cosx

i) sin2x = 1

j) cos3x = 2

k) tg 2 =1

l) ctg 3 = 0

m) sin(2x1) = 1

n) cos

Zadanie 13

Rozwi¡»równanie:

a) sinx + cosx = 1

b) 3cosx + 4sinx = 5

3cosx + sinx =

3cosx + sinx p

2 = 0

2x + 3

= 2

e) 3sinx5cosx = 0

f) sinx + cosx + 2sinxcosx = 1

g) sinx + cosx = cos2x

1sin2x

h) 2cosx = 1 + sinx

Zadanie 14

Wyznacz rozwi¡zanie zawarte w przedzialeh0; 2i

ka»dejzpodanychni»ejnierówno±ci:

a) sin 2 x < 1

b) cos 2 x < 1

c) tg 2 x > 1

d) ctg 2 x > 3

e) jsinxj>jcosxj

f) ctgx < 2 sinx

1+cosx

o) 3 sin

2x 5

= 6

p) cosx

1+tgx

= 0

r) sinx

1cosx

= 0

tgx

tgx+ctgx

4 x 5

= 0

t) 5tg

6 + 5

u) 2cos

w) tg(x 2 ) = 0

v) cos(x 2 ) = 2

x) sin 3 x + cos 3 x = cosx

y) tgx + tg2x = tg3x

z) sinxcos2x + sin3x = 1

Zadanie 12

Rozwi¡»równanie:

a) ctgx +

cos2x > 0

h) sin 3 xcosxcos 3 xsinx 6

i) cos4x + 2cos 2 x > 1

j) 2 < 2 + sinxcosx <

1+cosx = 2

b) sinx + cosx = 1

sinx

c) cos 2 x + sinxcosx = 0

d) sin3x = cos2x

e) sin4x = 2cosxcos2x

f) 1 + sin2x = cos2x

g) tg 3 x = tgx

h) tg 2 x2tgx + 1 = 0

i) tg 3 x + tg 2 x3tgx = 3

j) sin 2 x + 3sinx + 2 = 0

sinx

k) cosxctg2x 6 0

l) sin 3 x4sin 2 xsinx + 4 6 0

m) cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x + :::+ < 1 + cosx

Zadanie 15

Podaj rozwi¡zania nierówno±ci nale»¡ce do prze-

dziaªuh0; 2i.

a) tg2x >1

3tg2x 6 1

c) tg 2 > 1

d) tg 2 x1 > 0

g) sinx+cosx

Funkcjetrygonometrycznek¡tadowolnego MariaMaªycha

Zadanianaplusy

e) ctg4x >

d) tgctg = (tg1)(ctg + 1)

e) ctg +

> 1

Zadanie 16

Podaj rozwi¡zania nierówno±ci nale»¡ce do prze-

dziaªuh0; 2i.

a) sin

sin

1+cos

cos

sin

f) (1 + sin)

= cos

x 6

g) tg(1+ctg 2 )

1+tg 2

= ctg

< 2

x + 3

Zadanie 23

Sprawd¹nast¦puj¡ceto»samo±ci:

a) sin

b) 2sin

> 1

c) 2cos

1+cos + 1+cos

sin

Zadanie 17

Korzystaj¡cz zale»no±cimi¦dzy funkcjami trygono-

metrycznymik¡ta ik¡ta 90

b) tg+tg

ctg+ctg

sin +

= tgtg

,oblicz:

sin

cos

(sin + cos) = 2 +

sincos

a) sin40

cos50

(sin + cos) = ctgtg

e) 12sin 2 = 1tg 2

1+tg 2

cos

b) sin29

cos61

c) (sin20 + cos20 )(sin20 cos20 ) + 2sin 2 70

d) sin 2 55 + sin 2 35

e) tg44

Zadanie 24

Sprawd¹prawdziwo±¢nast¦puj¡cychrówno±ci:

a) sin

1cos

tg45

tg46

= 1+cos

sin

Zadanie 18

Obliczbezu»yciatablic:

a) sin 2 62 + sin 2 28

b) tg44

tg+ctg = sincos

c) 1 + tg 2 =

tg46

c) (sin35 + cos35 )(sin35 cos35 ) + 2sin 2 55

Zadanie 19

Obliczbezu»yciatablicwarto±¢wyra»e«:

a) sin 2 120 cos(180 )

tg(135 )ctg405

b) 9sin 2 150 4cos240 +12sin600

3sin(45 )2cos(420 )

c) tg10

tg45

cos 2

d) sin

1cos 2

sin

e) sin 2 cos 2

sincos

= tgctg

1+cos

g) (1 + tg) 2 + (1tg) 2 =

sin = sin

cos 2

tg20

tg30

tg40

tg50

tg60

tg70

tg80

Zadanie 20

Obliczwarto±¢liczbow¡wyra»e«:

a) 5sin30 + 4cos60 + tg45

b) 3sin60 5cos45 + 2tg30

c) sin 2 30 + cos 2 60 + ctg 2 45

d) 3sin60

sin 2 45 +cos 2 45

e) ctg 2 60 +cos 2 30

32ctg45

f) 2tg 2 60

sin30 cos60

Zadanie 21

Sprawd¹nast¦puj¡ceto»samo±ci:

a) (tg 2 sin 2 )ctg 2 = sin 2

b) (sin + cos) 2 + (sincos) 2 = 2

c) (1 + cos)(1cos) = sin 2

d) cos 2 sin 2 = 12sin 2

e) 1

cos

sin 2 cos 2

f) jctg2xj

f) 1cos

cos = sintg

f) cos 4 sin 4 = cos 2 sin 2

Zadanie 22

Sprawd¹nast¦puj¡ceto»samo±ci:

a) 1 + ctg = sin+cos

sin

b) cos 4 + sin 4 = 12sin 2 cos 2

c) (tg + ctg) 2 =

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