UltraPrzetVer1.pdf

(4169 KB) Pobierz
Przetworniki ultradźwiękowe
Podstawy teorii drgań mechanicznych
1.1. Układ mechaniczny o stałych skupionych i jednym
stopniu swobody
Układ mechaniczny o stałych skupionych i jednym stopniu
swobody jest najprostszym układem drgającym, a przy tym
umożliwia on proste i przejrzyste wyjaśnienie faktów fizycznych
dominujących w dziedzinie teorii drgań.
Jak wiadomo z fizyki, w każdym punkcie materii mogą,
(chociaż nie muszą) istnieć siły związane z wychyleniem lub
ruchem (prędkością) materii. Wychyleniu (lub odkształceniu)
przeciwstawia się sprężystość. Reakcją na odkształcenie - (w
granicach sprężystości materiału) - jest, w myśl prawa Hooke'a
siła sprężystości :
(1)
F k
= S
×
x
,
gdzie:
S - współczynnik sprężystości,
x - wychylenie.
Zamiast sprężystości często wygodniej jest (zwłaszcza w
układach elektromechanicznych) posłużyć się jej odwrotnością,
tj. podatnością.
Strona 1
(2)
K 1
= ,
S
czyli
(3)
x
F k
=
.
K
Gdy materia porusza się względem otoczenia lub gdy punkt
wewnątrz materii zostanie odkształcony, powstaje siła tarcia
F proporcjonalna do prędkości ruchu v i współczynnika tarcia
R .
(4)
d
x
F R
=
R
×
v
=
R
.
dt
Masa materii posiada bezwładność, a silą bezwładności
jest proporcjonalna, w myśl II zasady Newton'a, do masy M i
przyspieszenia. Zatem siła bezwładności wynosi
(5)
2
dv
d
x
F M
=
M
=
M
.
2
dt
dt
Te trzy siły są reakcją układu mechanicznego na
Strona 2
793628718.004.png 793628718.005.png 793628718.006.png
 
pobudzenia zewnętrzne siłą F . W myśl zasady d'Alemberta
suma sił działających w każdym punkcie musi być równa zeru,
więc
(6)
F
+
F
+
F
=
F
M
R
K
Z
Tak pomyślany układ mechaniczny o stałych skupionych i
jednym stopniu swobody przedstawiono schematycznie na
rysunku 1.
Rysunek 1. Układ drgań mechanicznych o stałych skupionych
W układzie tym masa M umieszczona jest w prowadnicy z
tarciem R i zamocowana za pomocą sprężyny o podatności K
do nieruchomego wspornika. Takie osadzenie sprawia, że
masa może się poruszać z tarciem, w obie strony, ale tylko w
jednym kierunku, określonym przez prowadnicę. Posiada więc
tylko jeden stopień swobody.
Strona 3
793628718.001.png
1.2. Drgania swobodne układu o stałych skupionych
Drgania swobodne występują, gdy układ zostanie
pobudzony - na przykład przez chwilowe odkształcenie
sprężyny, po czym siła pobudzająca przestanie działać, a
odkształcony układ zostaje pozostawiony samemu sobie.
Masa M umieszczona jest w prowadnicy (rys. 1), więc
wskutek jej ruchu powstaje tarcie, co oznacza zamianę części
energii na ciepło, a więc stratę energii proporcjonalną do
współczynnika tarcia R. Gdy cała energia zostanie stracona,
układ powróci do stanu spoczynku tj. 0
x
=
, 0
= v .
Gdy nie ma siły pobudzającej, tj. w zależności (6), 0
F
=
,
a w układzie mieści się energia potencjalna tj. 0
x
=
lub
kinematyczna tj. 0
= v , stan równowagi układu, zgodnie z
zasadą d'Alembert'a wyraża się zależnością
(7)
F
+
F
+
F
=
0
.
M
R
K
Wstawiając tutaj odpowiednie wartości sił układ drgań
swobodnych można opisać równaniami w formie
„wychyleniowej" tj. w funkcji odkształcenia x ; lub
„prędkościowej" tj. w funkcji prędkości v
Strona 4
(8)
2
d
x
d
x
1
M
+
R
+
x
=
0
.
2
dt
dt
K
Równanie drgań swobodnych jest liniowym równaniem
różniczkowym, którego ogólnym rozwiązaniem jest funkcja
pt
, której wykładnik p (obliczony dalej) jest,
wykładnicza typu
e
w ogólnym przypadku, zespolony.
Rozwiązanie drgań swobodnych można napisać w formie
(9)
pt
_
,
x
= x
×
e
0
lub
(10)
pt
_
v
=
v
×
e
0
gdzie :
x
lub 0 v są wielkościami określającymi energię
0
potencjalną lub kinetyczną układu w stanie początkowym 0
t
=
Obliczając pochodne, równanie (8) można napisać jako
(11)
x
2
pt
pt
pt
M
x
p
e
+
R
x
pe
+
0
e
=
0
.
0
0
K
Strona 5
793628718.002.png 793628718.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin