z1.pdf

PODSTAWYTEORIILICZB–ZADANIA

Zestawnr.1:Wst¦pdoteoriiliczb

Zad.1 Wyka»,»edla 8 n 2 Nzachodzi:

(a)8 | 5 n +2 · 3 n − 1 +1; wsk.: rozpatrzresztyzdzielenia–osobnodla n =2 k i n =2 k +1.

(b)13 | n 13 − n . wsk.: Indukcja

Zad.2 Niech a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 2 Zoraz a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = a 4 2 .Wyka»,»eprzynajmniejdwiezliczb a i s¡

parzyste.

wsk.: przeanalizujwszystkiemo»liweprzypadki(nie)parzysto±ci.

Zad.3 Oblicz:a)( n,n +1);(b)( n,n +2);(c)( m +2 n, 2 m + n ) , ( m.n )=1.

Zad.4 Trzyliczbycałkowitetworz¡trójk¦pitagorejsk¡: x 2 + y 2 = z 2 .Wyka»,»e60 | xyz .

wsk.: Ka»d¡liczb¦mo»emyzapisa¢jakojednaztrzech:3 k, 3 k +1 , 3 k +2.

Zad.5 Wyka»,»edla m,n 2 Ni9 | m 2 + mn + n 2 zachodzi3 | n i3 | m .

5 125 − 1

5 25 − 1

jestliczb¡całkowit¡iprzedstawgojakoiloczyndwóchliczb.

Zad.7 Niech x,y b¦d¡liczbamicałkowitymi.Udowodnij,»eliczba2(25 x +3 y )jestpodzielnaprzez41

wtedyitylkowtedygdyliczba3 x +2 y jestpodzielnaprzez41.

Zad.8 [Kourl01]zad.3i4

(a)Doliczby2-cyfrowejdopisano„odprawej”t¦sam¡liczb¦.Ilerazyzwi¦kszyłasi¦wyj±ciowa

liczba?

(b)Znajd¹wszystkieliczby2-cyfrowepodzielneprzeziloczynswoichcyfr.

Uwaga:Tak¡liczb¦ ab zapisujemy10 a + b albo ab ,»ebyunikn¡¢w¡tpliwo±ciczytoniejest a · b .

Zad.9 [Kourl01]zad.8

Znajd¹wszystkieliczby3-cyfrowe abc ,którychkwadratko«czysi¦cyframi abc .

Zad.10 [Kourl01]zad.11,16,20

(a)Znajd¹liczb¦4-cyfrow¡,którajestczteryrazymniejszaodliczbynapisanejwspak.

(b)Liczb¦5-cyfrow¡owszystkichcyfrachró»nychpomno»onoprzez4idostanoliczb¦napisan¡

wspak.Jakatoliczba?

(c)Liczba6-cyfrowa,popomno»eniuprzez2 , 3 , 4 , 5lub6zapisujesi¦tymicyframi,aleusta-

wionymiwinnymporz¡dku.Jakatoliczba?

(wskazówka:łatwodo±¢wykaza¢,»ewszystkiecyfrymusz¡by¢ró»neiniemo»etamby¢cyfry

zero.)

Zad.11 [Kourl01]zad.35

Trudne.Utwórzzwszystkichdziesi¦ciucyfr0–9liczb¦10-cyfrow¡,tak¡,»eliczbautworzona

zjejpierwszychdwóchcyfrdzielisi¦przez2,zpierwszychtrzech–przez3,itakdalej.Liczba

jestwi¦cpodzielnaprzez10.

1-1

Zad.6 Udowodnij,»eułamek

Zad.12 [Kourl01]zad.50

Liczba N jestkwadratemliczbycałkowitejinieko«czysi¦zerem.Powykre±leniuztejliczby

dwóchostatnichcyfrznowuotrzymujemykwadratliczbycałkowitej(np.121,441,961).Znajd¹

–zrozwa»a«ogólnych–najwi¦kszatak¡liczb¦.

Zad.13 [Kourl01]zad.,53,57,58

(a)Wyka»,»enieistniejetakaliczba,którapozamianiemiejscamiswojejcyfrypierwszeji

ostatniejwzrasta5-krotnie.

(b)Czyliczbanaturalnawktórejzapisiewyst¦puj¡sameszóstkiizeramo»eby¢kwadratem?

(c)Znajd¹liczb¦4-cyfrow¡,b¦d¡c¡kwadratem,któramajednakowedwiepierwszeidwieostat-

niecyfry.

Zad.14 [Kourl01]zad.70,72,83,97

(a)Udowodnij,»eliczba1 00 . . . 0 0

1jestzło»ona.

(b)Liczb¦5-cyfrow¡ A zapisujemyprzypomocysamychdwójekitrójek,aliczb¦5-cyfrow¡ B

–samychtrójekiczwórek.

Czyiloczyn AB mo»nazapisa¢przypomocysamychdwójek?

(c)Sumacyfrliczbynaturalnej n to ( n ).Czyistniejeliczba n dlaktórej n + ( n )=1999?

(d)Znajd¹wszystkieliczby3-cyfrowe,którepomno»oneprzezliczbynapisanewspakdaj¡kwa-

dratliczbynaturalnej.

1-2

|{z}

1997

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: