25. Ubezp-7.pdf

(167 KB) Pobierz
III. RENTY ŻYCIOWE
3.3. ODROCZONA RENTA ŻYCIOWA DOŻYWOTNIA
ODROCZONĄ o m lat RENTĄ ŻYCIOWĄ DOŻYWOTNIĄ nazywamy ciąg corocz-
nych płatności rozpoczynający się w m-tym roku od momentu zawarcia umowy ubez-
pieczenia i kończący się w momencie śmierci rentobiorcy.
Przyjmując założenia i oznaczenia poprzednich rozdziałów wartość początkową
omawianej renty możemy zdefiniować jako zmienną losową
⎧
⎪
⎪ = ∑
0
dla K
=
0 1 2
,, ,...
m
−
1
Y
=
K
(3.36)
vdlaK m
i
≥
im
o rozkładzie prawdopodobieństwa
Pr (
3
= =
0
) Pr (
ob K k
< =
)
mx
(3.37)
∑
Pr (
3 = =
v
i
) Pr (
ob K k
= =
)
p q
dla k=m,m+1,m+2, ..., w-x (3.38)
kxxk
+
im
.
Porównując rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Y 1 , Y 2 i Y 3 możemy
zauwać, że
Y 3 = Y 1 - Y 2
(3.39)
Y
3
Y=
&
1
Y-
&
2
(3.40)
Z wyżej zapisanych zależności otrzymujemy wzory na jednorazową składkę netto odro-
czonej renty dożywotniej
m
a
x
=
a
x
−
a
x
:
m
⏐
(3.41)
m
a
x
=
a
x
−
a
x
⏐
(3.42)
Wprowadzając do wzorów (3.41 - 3.42) liczby komutacyjne otrzymujemy:
72
3
ob Y
k
ob Y
=
&
&
&
&
190916088.006.png 190916088.007.png
a
= −
N
D
x
x
+ + ++ ++
1
NN
D
x
1
−
x m
1
=
N
xm
x
1
(3.43)
xn
D
x
a
=
N
x
−
N
x
−
N
x
+
m
=
N
x
+
m
(3.44)
x
⏐
D
D
D
x
x
x
3.4. SKŁADKA PŁATNA ROCZNIE
W praktyce ubezpieczeń życiowych najczęściej stosuje się system składek płatnych
ratalnie w równych odstępach rocznych, półrocznych, kwartalnych lub miesięcznych. W
niniejszym rozdziale przedstawimy rozumowanie prowadzące do wyznaczenia składek
rocznych dla najważniejszych ubezpieczeń życiowych.
Zwróćmy uwagę, że stałe składki roczne tworzą renty życiowe. Składka roczna powinna
być wyznaczona przy uwzględnieniu z jednej strony zobowiązań ubezpieczyciela związa-
nych z wypłacaniem odszkodowania, a z drugiej strony ciągu płatności składek wpłaca-
nych przez ubezpieczonego.
Wyżej opisane kapitały losowe powinny być równoważne w sensie równoważności netto
kapitałów losowych.
Rozważmy przypadek wyznaczenia rocznej składki netto dla dożywotniego ubez-
pieczenia na wypadek śmierci. Niech L będzie zmienną określającą straty ubezpieczyciela
L = Z 1 - Z 2
(3.45)
gdzie: L - zmienna losowa określająca straty ubezpieczyciela
Z 1 - zmienna losowa określająca zobowiązania ubezpieczyciela
Z 2 - zmienna losowa określająca zobowiązania ubezpieczonego.
Z zasady równoważności kapitałów losowych wynika, że składka roczna powinna być tak
wyznaczona, aby wartość oczekiwana zmiennej losowej L była równa zero.
E(L) = E(Z 1 - Z 2 ) =0
(3.46)
W przypadku dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śmierci mamy:
Z 1 = C S 1 - dożywotnie ubezpieczenie na wypadek śmierci na sumę C jednostek (zł, tys. zł,
mln zł)
73
: ⏐
&
190916088.008.png
Z
2
= - renta życiowa dożywotnia płatna corocznie z góry w wysokości
1
x
Y
1
P 1
jednostek (zł, tys.zł, mln zł).
Zmienna losowa L 1 wyznaczająca straty ubezpieczyciela jest więc określona następująco
L
1
=
C
1
−
P
1
x
Y
1
(3.47)
L
= &
C
v
K
+ −
1
P
1
x
a
(3.48)
1
K
+
dla K=0,1,2, ..., w-x.
Rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej określony jest przez rozkład prawdo-
podobieństwa zmiennej losowej K - dalszego trwania życia.
Pr
ob
(
L
= &
v
k
+
−
P
1
x
a
)
=
Pr
ob
(
K
=
k
)
=
p
q
(3.49)
1
k
+
1
k
x
x
+
k
dla k=0,1,2, ..., w-x.
Wobec zasady równoważności netto kapitałów losowych mamy E(L 1 ) =0, co daje
C
A
1
x
− &
P
1
x
a
x
=
0
co daje
P
1
x
=
C
A
1
x
(3.50)
a
x
gdzie:
P 1
- roczna składka netto dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śmierci płatna z
góry do końca życia
A - jednorazowa składka netto dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śmierci
1
dla sumy ubezpieczenia równej jednostce.
a &
x
- jednorazowa składka netto (wartość początkowa) jednostkowej renty życiowej
dożywotniej płatnej z góry
C - suma ubezpieczenia.
Podstawiając do wzoru (3.50) poprzednio otrzymane wzory dla
A 1
oraz
a &
x
(por.2.5 i
3.18 ) otrzymujemy
74
P
&
&
1
1
C
&
x
190916088.009.png
PC M
1 =⋅
N
x
x
(3.51)
gdzie: C - suma ubezpieczenia ,
x , N x - odpowiednie liczby komutacyjne.
Korzystając ze wzoru (3.41) możemy wyznaczyć wariancję zmiennej losowej L 1 .
D
2
(
L
1
)
=
D
2
(
C
⋅
S
1
−
P
1
x
Y
&
1
)
(3.52)
Podstawiając do (3.52) ( por. 3.5 i 3.15)
Y
&
1
=
d
−
1
(
−
S
1
)
otrzymujemy
DL D C
2
()= +
2
⎛
⎛
⎜
P
d
x
1
⎞
⎟ −
S
P
d
x
1
⎟
1
1
⎝
⎠
a stąd
⎛
⎜
P
d
1
⎞
⎟
2
2
2
DL C
()
1
=+
x
DS
()
1
(3.53)
Z kolei w podobny sposób wyprowadzimy wzór na obliczanie składki rocznej terminowe-
go ubezpieczenia na wypadek śmierci. W tym przypadku zmienna losowa L 2 określająca
straty ubezpieczyciela jest następująca
L
2
=
C
2
−
P
2
x
⏐
Y
&
2
(3.54)
Przyrównując wartość oczekiwaną zmiennej losowej L 2 do zera otrzymujemy
0
=
E
(
L
2
)
=
CE
(
2
)
−
P
2
x
⏐
E
(
Y
&
2
)
a stąd
A
2
P
2
⏐ =
C
x
:
n
⏐
(3.55)
x
:
n
a
x
:
n
⏐
Po podstawieniu wzorów (2.19) i (3.22) do (3.55) mamy:
P MM
2
=
x
−
−
x
+
n
(3.56)
xn
: ⏐
NN
x
x
+
n
75
x
⎜
⎞
&
190916088.001.png
 
gdzie: P xn
2
- roczna składka netto terminowego ubezpieczenia na wypadek śmierci
: ⏐
C - suma ubezpieczenia
n - okres ubezpieczenia i okres płatności składek
x , M x - odpowiednie liczby komutacyjne
Dla skróconego okresu płacenia składek k<n otrzymujemy
k
P MM
2
=
x
−
−
x
+
n
dla k=1,2,. . . n-1
(3.57)
xn
: ⏐
NN
x
x
+
k
Wariancję zmiennej losowej L 2 wyznaczymy korzystając z zależności (3.33) oraz (3.54)
DL DCS P d
2
() (
= ⋅ −
2
2
−
1
( )
1
−
S
)
2
2
xn
⏐
4
DL DCS P d
2
() (
= ⋅ −
2
2
−
1
(
1
− −
S S
)
(3.58)
2
2
xn
:
⏐
2
3
a stąd po skorzystaniu z zależności (2.33) do (2.37) otrzymujemy
⎛
P
d
⎞
2
⎛
P
d
2
⎞
2
⎛
P
d
2
⎞
P
d
2
⎜
xn
⏐
⎟
2
⎜
xn
:
⏐
⎟
2
⎜
xn
:
⏐ ⏐
⎟
xn
:
DL C
( )
=+
DS
()
+
DS
()
−+
2
C
ES ES
()()
2
2
3
2
3
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
(3.59)
Wyznaczymy teraz roczną składkę netto ubezpieczenia na życie i dożycie na n lat.
W tym przypadku zmienna losowa określająca straty ubezpieczyciela ma postać
L
4
=
C
⋅
S
2
−
P
4
x
⏐
Y
2
(3.60)
Przyjmując E(L 4 ) = 0 mamy
A
4
P
4
⏐ =
C
x
:
n
⏐
(3.61)
x
:
n
a
x
:
n
⏐
gdzie: P xn
4
- roczna składka netto ubezpieczenia na życie i dożycie n lat
: ⏐
A xn
4
- jednorazowa składka netto ubezpieczenia na życie i dożycie n lat
: ⏐
76
:
2
2
:
&
&
190916088.002.png 190916088.003.png 190916088.004.png 190916088.005.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin