Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci:
(R) .
Uwaga. Będziemy się również posługiwali tzw. formą różniczkową równania różniczkowego, czyli równaniem postaci
.
Jednak najogólniejszą formą równania różniczkowego rzędu pierwszego jest równanie postaci
Inaczej mówiąc równanie różniczkowe rzędu pierwszego jest zależnością między funkcją niewiadomą, zmienną niezależną i pierwszą pochodną funkcji niewiadomej.
Funkcję y(t) nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (R) na przedziale (a,b), jeżeli jest ona różniczkowalna na tym przedziale oraz zamienia to równanie w tożsamość
,
prawdziwą dla wszystkich t Î (a,b). Wykres (rys. 1) rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego krzywą całkową.
Rys. 1 Krzywa całkowa
Uwaga. Analogicznie określamy rozwiązania na przedziałach postaci: [a,b), (a,b], [a,b], (-¥,b), (-¥,b], [a,¥), (-¥,¥). Przy czym w przypadku, gdy rozwiązanie określone jest na przedziale domkniętym z jednego lub obu końców, przez jego pochodną na końcu przedziału rozumiemy odpowiednią pochodną jednostronną. Rozwiązanie równania różniczkowego zadane w postaci uwikłanej
nazywamy całką tego równania. Ponieważ każde rozwiązanie jest całką (niekoniecznie odwrotnie), więc często w odniesieniu do rozwiązań używa się także terminu całka. Stąd mówimy zwyczajowo scałkować równanie różniczkowe, zamiast rozwiązać równanie.
Równanie różniczkowe (R) oraz warunek
(W)
nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.
Uwaga. Zagadnienie początkowe będziemy zapisywali krótko
(RW)
Przy czym liczby t0 i y0 nazywamy wartościami początkowymi, a warunek (W) nazywamy warunkiem początkowym.
Funkcja y(t) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (RW), jeżeli jest rozwiązaniem równania (R) na pewnym przedziale zawierającym t0 i spełnia warunek (W).
Rys. 2
Uwaga. W interpretacji geometrycznej, rozwiązanie zagadnienia początkowego, polega na znalezieniu wśród wszystkich krzywych całkowych równania (R) tej, która przechodzi przez punkt (t0,y0) (rys.2). Jednak zagadnienie to niekoniecznie musi mieć jednoznaczne rozwiązanie. Może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie danego zagadnienia początkowego. Istnienie rozwiązań zagadnienia początkowego oraz ich jednoznaczność jest jednym z głównych problemów teorii równań różniczkowych zwyczajnych.
Tw. 1.1.5 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (R))
Niech funkcja f(t,y) oraz jej pochodna cząstkowa będą określone i ciągłe na obszarze domkniętym D Ì R2. Wtedy dla każdego punktu (t0,y0) Î D, zagadnienie początkowe (RW) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Uwaga. Inaczej mówiąc przy dowolnych wartościach początkowych wybranych z obszaru D istnieje zawsze rozwiązanie zagadnienia początkowego (RW). Co więcej, jeżeli dane są dwa rozwiązania o tych samych wartościach początkowych (W), przy czym każde z rozwiązań określone jest na pewnym przedziale zawierającym punkt t0, to rozwiązania te pokrywają się na wspólnej części rozważanych przedziałów.
Def. 1.1.6 (rozwiązanie ogólne i szczególne równania różniczkowego)
Rodzinę funkcji
zależnych od parametru rzeczywistego C, nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania (R), jeżeli:
1. każda funkcja tej rodziny jest jego rozwiązaniem,
2. dla każdego warunku początkowego , dla którego rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne można dobrać stałą C tak, aby .
Każdą funkcję otrzymaną z rozwiązania ogólnego równania (R) przy ustalonej wartości parametru C nazywamy rozwiązaniem szczególnym tego równania.
Uwaga. Rozwiązanie zagadnienia początkowego, jeżeli istnieje i jest jednoznaczne, jest rozwiązaniem szczególnym. W praktyce znajomość rozwiązania ogólnego jest bardzo dogodna, gdyż przez odpowiedni dobór parametru C można otrzymać rozwiązanie zagadnienia początkowego. Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, określone w postaci uwikłanej
nazywamy całką ogólną tego równania.
1.2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
Def. 1.2.1 (równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych)
Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci
(S) .
Uwaga. Zauważmy, że jeżeli h(y0) = 0 dla pewnego y0, to funkcja y(t) º y0 jest jednym z rozwiązań powyższego równania. W formie różniczkowej o zmiennych rozdzielonych przyjmuje postać
Fakt 1.2.2 (całka ogólna równania (S))
Niech funkcje g(t) i h(y) będą ciągłe odpowiednio na przedziałach (a,b) i (c,d), przy czym h(y) ¹ 0 dla każdego y Î (c,d). Wtedy całka ogólna równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych (S) dana jest wzorem
Uwaga. Całki w powyższym wzorze rozumiane są jako dowolne, lecz ustalone funkcje pierwotne.
Tw. 1.2.3 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (S))
Niech funkcje g(t) i h(y) będą ciągłe odpowiednio na przedziałach (a,b) i (c,d), przy czym h(y) ¹ 0 dla każdego y Î (c,d). Wtedy dla każdego punktu (t0,y0), gdzie t0 Î (a,b), y0 Î (c,d), zagadnienie początkowe
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Uwaga. Inaczej mówiąc, przez każdy punkt (t0,y0) prostokąta (a,b)´(c,d) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa (rys.3) równania y’ = g(t)h(y).
Rys. 3
1.3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE
Def. 1.3.1 (równanie różniczkowe jednorodne)
Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie postaci
(J) .
Uwaga. Jeżeli f(u) º u, to równanie jednorodne przyjmuje postać i całkuje się przy pomocy metody rozdzielonych zmiennych. Jego rozwiązanie ogólne dane jest wtedy wzorem y(t) = Ct, gdzie C Î R. jeżeli f(u0) = u0 dla pewnego u0, to jedynym rozwiązaniem równania (J) jest funkcja y(t) = u0t.
Fakt 1.3.2 (o zamianie zmiennych w równaniu jednorodnym)
Równanie jednorodne (J) przez zamianę zmiennych
y=ut
sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych postaci
tu’ = f(u) – u.
Tw. 1.3.3 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (J))
Niech funkcja f(u) będzie ciągła na przedziale (a,b) i niech spełnia na nim warunek f(u) ¹ u. Wtedy dla każdego punktu (t0,y0) takiego, że zagadnienie początkowe
Rys. 4
Uwaga. Inaczej mówiąc, przez każdy punkt (t0,y...
Iskraa