– zbiór liczb naturalnych
– zbiór liczb całkowitych
– zbiór liczb wymiernych
R – zbiór liczb rzeczywistych
Def. 0.2.1 (zbiór ograniczony z dołu)
Zbiór A Ì R jest ograniczony z dołu, jeżeli
.
Liczbę m nazywamy ograniczeniem z dołu zbioru A. Obrazowo, zbiór jest ograniczony z dołu, gdy wszystkie jego elementy leżą na prawo od pewnego punktu osi liczbowej.
Def. 0.2.2 (zbiór ograniczony z góry)
Zbiór A Ì R jest ograniczony z góry, jeżeli
Liczbę M nazywamy ograniczeniem z góry zbioru A. Obrazowo, zbiór jest ograniczony z góry, gdy wszystkie jego elementy leżą na lewo od pewnego punktu osi liczbowej.
Def. 0.2.3 (zbiór ograniczony)
Zbiór A Ì R jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z dołu i z góry, tzn.
Uwaga. W definicji można tak dobrać stałe m i M, aby 0 < M = - m. Wtedy
Obrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej.
Def. 0.3.1 (element najmniejszy zbioru)
Liczba a jest najmniejszym elementem zbioru A Ì R, co zapisujemy
,
wtedy i tylko wtedy, gdy
oraz .
Obrazowo, elementem najmniejszym zbioru nazywamy element tego zbioru leżący najbardziej w lewo na osi liczbowej.
Def. 0.3.2 (element największy zbioru)
Liczba a jest największym elementem zbioru AÌR, co zapisujemy
Obrazowo, elementem najmniejszym zbioru nazywamy element tego zbioru leżący najbardziej w prawo na osi liczbowej.
Def. 0.3.3 (kres dolny zbioru)
Niech zbiór A Ì R będzie niepusty i ograniczony z dołu. Liczba a jest kresem dolnym tego zbioru, co zapisujemy
Obrazowo, kres dolny zbioru jest największą liczbą ograniczającą ten zbiór z dołu. Jeżeli zbiór A jest nieograniczony z dołu, to przyjmujemy
Def. 0.3.4 (kres górny zbioru)
Niech zbiór B Ì R będzie niepusty i ograniczony z góry. Liczba b jest kresem górnym tego zbioru, co zapisujemy
Obrazowo, kres górny zbioru jest najmniejszą liczbą ograniczającą ten zbiór z góry. Jeżeli zbiór B jest nieograniczony z góry, to przyjmujemy
Uwaga. Najmniejszy element zbioru jest jednocześnie kresem dolnym tego zbioru. Analogicznie, największy element zbioru jest jego kresem górnym.
Fakt 0.3.5 (aksjomat ciągłości)
Każdy niepusty zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.
Każdy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.
Def. 0.4.1 (funkcja)
Niech zbiory X, Y Ì R będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x Î X dokładnie jednego elementu y Î Y. Funkcję taką oznaczamy przez . Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f(x).
Def. 0.4.2 (dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości funkcji)
Niech . Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez Df, a zbiór Y nazywamy jej przeciwdziedziną. Ponadto zbiór
nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy przez Wf. Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór elementów z R, dla których wzór ten ma sens liczbowy, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
Def. 0.4.3 (wykres funkcji)
Wykresem funkcji nazywamy zbiór
Uwaga. Podzbiór płaszczyzny xOy jest wykresem pewnej funkcji zmiennej x, gdy każda prosta pionowa przecina go co najwyżej w jednym punkcie.
Def. 0.4.4 (funkcja „na”)
Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co notujemy
, tzn. .
Funkcja jest „na”, gdy rzut prostokątny jej wykresu na oś Oy pokrywa się ze zbiorem Y.
Def. 0.5.1 (funkcja okresowa)
Funkcja jest okresowa, jeżeli
Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. Jeżeli istnieje najmniejszy okres funkcji f, to nazywamy go okresem podstawowym.
Obrazowo, funkcja jest okresowa, gdy jej wykres po przesunięciu o wektor nałoży się na siebie.
Def. 0.5.2 (funkcja parzysta)
Funkcja jest parzysta, jeżeli
Obrazowo, funkcja jest parzysta, gdy oś Oy jest osią symetrii jej wykresu.
Def. 0.5.3 (funkcja nieparzysta)
Funkcja jest nieparzysta, jeżeli
Obrazowo, funkcja jest nieparzysta, gdy początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu.
Def. 0.6.1 (funkcja ograniczona z dołu)
Funkcja f jest ograniczona z dołu na zbiorze A Ì Df, jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z dołu, tzn.
Obrazowo, funkcja jest ograniczona z dołu, gdy jej wykres leży nad pewną prostą poziomą (rys. 0.6.1).
Ilustracja wykresu funkcji ograniczonej z dołu na zbiorze
Def. 0.6.2 (funkcja ograniczona z góry)
Funkcja f jest ograniczona z góry na zbiorze A Ì Df, jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z góry, tzn.
Obrazowo, funkcja jest ograniczona z dołu, gdy jej wykres leży pod pewną prostą poziomą (rys. 0.6.2).
Ilustracja wykresu funkcji ograniczonej z góry na zbiorze
Def. 0.6.3 (funkcja ograniczona)
Funkcja f jest ograniczona na zbiorze A Ì Df, jeżeli jest ograniczona z dołu i z góry na tym zbiorze, tzn.
Uwaga. W definicji można tak dobrać stałe m i M, aby 0<M=-m. Wtedy
Obrazowo, funkcja jest ograniczona, gdy jej wykres jest położony między dwiema prostymi poziomymi.
Def. 0.7.1 (funkcja rosnąca)
Funkcja f jest rosnąca na zbiorze A Ì Df, jeżeli
Obrazowo, funkcja jest rosnąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie wznosimy się do góry.
Def. 0.7.2 (funkcja malejąca)
Funkcja f jest malejąca na zbiorze A Ì Df, jeżeli
Obrazowo, funkcja jest malejąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie opadamy na dół.
Def. 0.7.3 (funkcja niemalejąca)
Funkcja f jest niemalejąca na zbiorze A Ì Df, jeżeli
Obrazowo, funkcja jest niemalejąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie wznosimy się lub pozostajemy na tym samym poziomie.
Def. 0.7.4 (funkcja nierosnąca)
Obrazowo, funkcja jest nierosnąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie opadamy lub pozostajemy na tym samym poziomie.
Def. 0.7.5 (funkcja monotoniczna)
Funkcja f jest monotoniczna na zbiorze A Ì Df, jeżeli jest rosnąca lub malejąca lub nierosnąca lub też niemalejąca na tym zbiorze.
Def. 0.8.1 (funkcja złożona)
Niech zbiory X, Y, Z, W Ì R będą niepuste, przy czym Y Ì Z oraz niech , . Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję określoną wzorem:
dla .
Uwaga. Analogicznie określa się złożenie większej liczby funkcji. Składanie funkcji nie jest przemienne.
Def. 0.9.1 (funkcja różnowartościowa)
Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A Ì Df, jeżeli:
...
Iskraa