Logika, wielomiany z dwumianu Newtona, macierze, liczby zespolone (potęga, pierwiastek), granice ciągu. 6 zadań.
Ciągi i ich granice.
Ciągiem liczbowym niekończącym nazywamy zbiór w postaci lub lub , gdzie n = 1, 2, 3, ... przy czym są liczbami, które ustawiono w pewnym ściśle określonym przypadku.
Ciąg skończony.
Ciągiem skończonym k-wyrazowym, nazywamy skończony zbiór elementów, przy czym każdej liczby naturalnej 1-k została przyporządkowana pewna liczba.
Ciąg może być określony wzorem ogólnym, regulacyjnym, wykresem, tabelą lub przepisem słownym.
Monotoniczność ciągu.
Ciąg może być rosnący.
1. Ciąg rosnący: jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy .
2. Ciąg malejący: jest malejący .
3. Ciąg niemalejący: jest niemalejący .
4. Ciąg nierosnący: jest nierosnący .
Przykład.
1.
!
2.
> 0
3.
4. Wykaż, że ciąg w wyrazie ogólnym jest ciągiem rosnącym. !
5.
Ciąg rosnący
6.
7.
8. Zbadaj monotoniczność ciągu () o wyrazie ogólnym .1. dla - ciąg jest niemalejący.2. dla - ciąg jest nierosnący.
Granice ciągu.
Granica ciągu nieskończonego , przy n dążącym do nieskończoności jest liczba „g”, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej dodatniej liczby „” istnieje takie „”, że dla „n” większego od „” wartość bezwzględna różnicy n-tego wyrazu ciągu i granicy „g” jest mniejsza od „”.
TWIERDZENIA!
1. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.Ciąg jest ograniczony z dołu .Ciąg jest ograniczony z góry .Ciąg jest ograniczony .
2. Jeżeli ciąg jest zbieżny to jest ograniczony.
Ciągi i mają granice właściwe odpowiednio „a” i „b”.
WZORY:
4.
8.
9.
Podstawa logarytmu podstawowego.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Symbole nieoznaczone.
0
Przykłady:
1
5. Oblicz granicę ciągu.
20.
21.
Twierdzenie o 3 ciągach.
Jeżeli i jeżeli istnieje liczba „” taka, że dla każdej liczby naturalnej , spełniona jest nierówność to .
Oblicz .
Ponieważ , to na podstawie twierdzenia o 3 ciągach to wyjściowa granica .
Ciąg arytmetyczny.
Ciąg nazywamy ciągiem arytmetycznym
Monotoniczność ciągu zależy od różnicy ciągu „r”:
1. ciąg rosnący
2. ciąg malejący
3. ciąg stały
Ciąg geometryczny.
Ciągiem geometrycznym nazywamy dany ciąg .
dla
Zadanie 1.
sprzeczne
Dostali książki po: ilość elementów ciągu.
1 syn – n-lat
2 syn – n + 3 lat
3 syn – n + 6 lat
4 syn – n + 9 lat
5 syn – n + 12 lat
Ojciec miał 5 synów, którzy przychodzili na świat w 3 lata, począwszy od ich 5 roku życia ojciec dawał każdemu z synów na urodziny tyle książek ile każdy miał lat. Ile lat miał każdy z synów, gdy łącznie otrzymali od ojca 450 książek.
lukkar84