9. PŁaska laminarna warstwa przyścienna
9.1. Koncepcja warstwy przyściennej
Obserwacja szybkich przepływów płynu rzeczywistego o małej lepkości w sąsiedztwie ciał stałych (przy dużych liczbach Reynoldsa) wykazała, że cały obszar przepływu można umownie podzielić na dwa podobszary (rys. 9.1):
I. Cienką warstwę, bliską ciału, w której prędkość płynu względem nieruchomego ciała zmienia się od zera na powierzchni ciała, do prędkości strumienia płynu nielepkiego na granicy warstwy; w warstwie tej, zwanej warstwą przyścienną, zachodzą wszystkie zjawiska wywołane lepkością, a siły jednostkowe pochodzące od lepkości płynu są tego samego rzędu wielkości, co siły jednostkowe pochodzące od ciśnienia i bezwładności,
II. Podobszar zewnętrzny względem warstwy przyściennej, w którym płyn może być traktowany jako płyn nielepki, podlegający wszystkim równaniom hydrodynamiki klasycznej.
Rys. 9.1
Przy opływie ciał można jeszcze wyróżnić trzeci podobszar, nazywany śladem warstwy przyściennej , zawierający spływającą warstwę przyścienną. Jest on zatem podobny do warstwy przyściennej pod względem rzędu wielkości naprężeń lepkich, różni się natomiast od warstwy przyściennej rodzajem ograniczenia, gdyż nie stanowi go już ścianka ciała stałego.
Jedno z zasadniczych założeń teorii warstwy przyściennej dotyczy grubości warstwy (rys. 9.1), która nie może być określona w sposób jednoznaczny wobec faktu asymptotycznego zanikania wypadkowej sił stycznych działających na element płynu w miarę oddalania się od ścianki. Wynika więc stąd, że definicje grubości warstwy przyściennej mogą być w ogóle różne. Zwykle przyjmuje się za grubość warstwy przyściennej odległość takiego punktu od ścianki, w którym rzeczywista prędkość przepływu różni się o 1% od prędkości przepływu potencjalnego, jaka ustaliłaby się w tym punkcie przy opływie ciała cieczą nielepką.
Ze względu na małą grubość warstwy przyściennej w zakresie dostatecznie dużych liczb Reynoldsa, można opisać ruch płynu lepkiego za pomocą uproszczonych równań Naviera-Stokesa. Zakładając ponadto, że ścianka jest bardzo mało zakrzywiona można również lokalne współrzędne krzywoliniowe zastąpić współrzędnymi prostokątnymi x, y - mierzonymi odpowiednio wzdłuż ścianki i w kierunku normalnym do niej.
Teoria warstwy przyściennej umożliwia łatwe i dokładne obliczanie opływu ciał, a zwłaszcza oporów tarcia. Odegrała ona niezmiernie doniosłą rolę w dziedzinie zastosowań dynamiki cieczy lepkiej, szczególnie w rozwoju lotnictwa.
9.2. Warstwa przyścienna w cieczy lepkiej
Wyprowadzimy równania warstwy przyściennej dla płaskiego ruchu ustalonego opisywanego układem równań:
(9.1)
Przyjmując, że grubość warstwy przyściennej d, stanowiąca odcinek zasadniczych zmian składowej stycznej prędkości, jest niewielka w porównaniu z wymiarami ciała
(9.2)
oszacujemy poszczególne składniki równań Naviera-Stokesa. Zakresem zmienności współrzędnej y w warstwie jest przedział [ 0, d ], zakresem zmienności współrzędnej x - przedział [ 0, l ]. Składowa prędkości w warstwie zmienia się od wartości zero na ściance, do wielkości rzędu prędkości przepływu niezakłóconego na granicy warstwy; można zatem napisać
i następnie mamy:
Na podstawie równania ciągłości wnioskujemy, że
skąd obliczamy:
Ostatnie niezbędne oszacowania są więc następujące:
Porównując poszczególne wyrazy w równaniach (9.1) w oparciu o otrzymane oceny stwierdzamy, że wyrazy oraz są mniejsze od pozostałych i można je odrzucić. Odrzucamy również wszystkie wyrazy równania (9.1c), zawierające składowe prędkości, gdyż są one rzędu wyższego od odpowiednich wyrazów równania (9.1b).W wyniku tych uproszczeń otrzymujemy ostatecznie:
(9.3)
skąd wynika bardzo istotny wniosek, że - co oznacza niezmienność ciśnienia w przekroju warstwy przyściennej.
Ponieważ poza warstwą przyścienną znaczenie lepkości zanika - można uważać więc, że obowiązuje tam równanie Bernoulliego
które jest spełnione również na ściance ciała opływanego cieczą doskonałą. Możemy zatem, przy założeniu (9.2), traktować U jako prędkość na ściance i zapisać układ (9.3) w nieco innej postaci:
(9.4)
Jest to układ równań różniczkowych cząstkowych typu parabolicznego; stanowiące go równania nazywane są równaniami Prandtla .
Warunki brzegowe jakie nakładamy na składowe prędkości wyrażają znikanie i na ściance
(9.5)
oraz zgodność składowej stycznej z prędkością na granicy warstwy
(9.6)
Ze względu na fakt, że układ (9.4) jest układem typu parabolicznego trzeba jeszcze oprócz warunków brzegowych (9.5) ¸ (9.6) postawić warunek początkowy
(9.7)
określający rozkład prędkości na pewnej linii łączącej ściankę z granicą warstwy; rozwiązanie równań (9.4) wyznacza więc zmianę tego rozkładu wzdłuż ścianki op-ływanego ciała.
Zbadamy jeszcze grubość warstwy przyściennej, wynikającą z założenia (9.2) oraz uzyskanych uprzednio oszacowań. Możemy napisać
skąd wypada ostatecznie
(9.8)
Otrzymaliśmy bardzo istotny wynik, zezwalający na oszacowanie grubości warstwy przyściennej, jako odwrotnie proporcjonalnej do pierwiastka kwadratowego z liczby Reynoldsa.
*
Układ (9.4) można zapisać również w postaci bezwymiarowej:
(9.9)
jeśli wprowadzimy następujące zmienne i funkcje bezwymiarowe:
(9.10)
gdzie l jest skalą długości, - prędkością w nieskończoności.
Wykorzystanie funkcji prądu, określonej wzorami (6.7), zezwala ponadto na zredukowanie układu (9.9) do jednego równania trzeciego rzędu
(9.11)
Po pominięciu kresek nad wielkościami bezwymiarowymi i zdefiniowaniu nowych zmiennych niezależnych:
(9.12)
obliczamy:
i transformujemy pierwsze równanie układu (9.9)
Przyjmując następnie nową funkcję niewiadomą w postaci
(9.13)
otrzymujemy
i ostatecznie tzw. równanie Prandtla-Misesa
(9.14)
Warunki brzegowe (9.5) ¸ (9.6) zapisują się w przypadku równania Prandtla-Misesa następująco:
(9.15)
9.3. Oderwanie warstwy przyściennej
Z równań warstwy przyściennej (9.3) i warunków brzegowych (9.5) wynika, że rozkład prędkości w warstwie przyściennej zależy w decydujący sposób od gradientu ciśnienia w przepływie nielepkim, gdyż jest
(9.16)
Zakładając więc odpowiedni znak gradientu ciśnienia i biorąc pod uwagę warunek brzegowy (9.6) na zewnątrz warstwy przyściennej, możemy z łatwością naszkicować dopuszczalne rozkłady prędkości wzdłuż normalnej do ścianki (rys. 9.2).
Rys. 9.2
Podstawowa różnica między naszkicowanymi na rys. 9.2 rozkładami ciśnienia dla i dla polega na tym, że w drugim przypadku krzywa ma zawsze punkty przegięcia. Oznacza to występowanie przepływu wstecznego w warstwie przyściennej (rys. 9.3) - rozpoczynającego się w punkcie S, w którym wystąpi zatem również w tym punkcie znika pochodna
(9.17)
Zjawisko to nazywane jest oderwaniem warstwy przyściennej .
Rys. 9.3
Stacjonarne oderwanie się strumienia od powierzchni ciała stałego jest rezultatem wzajemnego oddziaływania trzech czynników: bezwładności strumienia, hamującego wpływu powierzchni ciała stałego oraz gradientu ciśnienia. Przyczyną występowania oporu jest lepkość, gdyż w ramach hydrodynamiki klasycznej opór jest równy zeru (paradoks d’Alemberta). Natomiast rozkłady ciśnień na powierzchniach opływanych ciał (rys. 6.15 i 6.18) są takie, że w części przedniej gradient ciśnienia jest ujemny, natomiast w części tylnej dodatni. Ciśnienie jest więc w części tylnej również czynnikiem hamującym przepływ, gdyż płyn przepływa z obszaru mniejszego ciśnienia do obszaru większego ciśnienia; w rezultacie w obszarze tym elementy płynu tracą swą energię kinetyczną i na koniec odrywają się od ścianki.
9.4. Metody ścisłe rozwiązywania równań Prandtla
W zagadnieniach, w których nie można wyróżnić długości charakterystycznej poszukiwane są rozwiązania „samopodobne”, będące funkcjami odpowiedniej kombinacji zmiennych x i y. Są więc one właściwie funkcjami tylko jednej zmiennej niezależnej, gdyż nie zależą od każdej zmiennej x i y z osobna.
Postulat „samopodobieństwa” zastosowany do stacjonarnej warstwy przyściennej oznacza, że składowe prędkości zależą od zmiennej x w pewien szczgólny sposób - mianowicie taki, że dla dwóch różnych wartości zmiennej x zachodzi równość
. (9.18)
Symbol g (x) oznacza tu pewną funkcję x, którą trzeba odpowiednio dobrać, w zależności od zagadnienia.
Rozwiązanie „samopodobne” równań Prandtla istnieje, jeśli prędkość przepływu niezakłóconego zależy potęgowo od zmiennej x, będącej długością łuku opływanej ścianki
(9.19)
gdzie A i r są stałymi.
W wyniku wprowadzenia do równań Prandtla (9.4) funkcji prądu
...
lukasz938