a drugie zapiszemy następująco
uprzednio określając przyrost w postaci (rozdz. 3.4)
i stosując twierdzenie o wartości średniej
Po wykorzystaniu uzyskanych rezultatów i twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego (12.32) ostatecznie otrzymamy
(12.68)
Równanie ciągłości . Masa płynu zawarta w obszarze płynnym t wynosi
po zastosowaniu wzoru (12.64) możemy więc zasadę zachowania masy wyrazić następująco
(12.69)
Obszar t został wybrany całkowicie dowolnie, musi więc znikać funkcja podcałkowa - stąd otrzymamy równanie ciągłości w postaci różniczkowej (3.17).
Po wykorzystaniu wzorów (12.22), (12.64) i (12.65) możemy wyznaczyć tzw. pochodną hydrodynamiczną
(12.70)
Równania ruchu ośrodka ciągłego. Ich wyprowadzenie polega na zastosowaniu zasady zachowania pędu. Obliczając więc pęd
oraz siły masowe
i siły powierzchniowe
gdzie jest tensorem naprężenia lepkiego (8.1) ¸ (8.3), zapisujemy zasadę zachowania pędu w postaci
(12.71)
i następnie po wykorzystaniu wzorów (12.66) oraz (12.32) ostatecznie mamy
(12.72)
Równanie ruchu dla płynu lepkiego Newtona uzyskamy przyjmując następujący związek konstytutywny
(12.73)
gdzie jest tensorem kulistym (o składowych - tensorem prędkości de-formacji (12.59), zawierającym wielkości (3.25).
Równanie zachowania energii wynika z pierwszej zasady termodynamiki (8.18)
(12.74)
po uwzględnieniu zmiany energii w obszarze t, mocy sił mechanicznych (masowych i powierzchniowych), mocy źródeł ciepła i mocy dostarczonej przez przewodnictwo cieplne. Dokonując takich samych przekształceń jak w równaniu (12.71) ostatecznie uzyskujemy
(12.75)
12.5. Współrzędne krzywoliniowe ortogonalne
W niektórych zastosowaniach wygodnie jest posługiwać się odpowiednio dobranymi układami współrzędnych, najczęściej są to układy ortogonalne.
Współrzędne krzywoliniowe określa się zadając układ trzech funkcji różniczkowalnych
(12.76)
których jakobian jest różny od zera i nieskończoności lub zadając układ funkcji odwrotnych
(12.77)
Punkty w przestrzeni wyznaczone są zatem przez podanie wartości parametrów linie współrzędnych są natomiast krzywymi będącymi przecięciem się dwu, spośród trzech nierównoległych powierzchni
Pochodne wektora-promienia względem współrzędnych krzywoliniowych
(12.78)
są wektorami stycznymi do linii współrzędnych Bazowe wektory jednostkowe są więc określone zależnościami
(12.79)
zawierającymi współczynniki
(12.80)
noszące nazwę współczynników Lamego .
W układzie wektorów bazowych (12.79) wektor można zapisać w postaci
(12.81)
w której wielkości są składowymi fizycznymi wektora Wynika stąd, że nieskończenie małe przyrosty wzdłuż linii współrzędnych są określone następująco
(12.82)
a kwadrat odległości dwu nieskończenie bliskich punktów jest równy
(12.83)
gdzie
(12.84)
gdyż
na podstawie wzoru o zamianie zmiennych w wyrażeniach różniczkowych.
W układzie ortogonalnym pochodne wektora-promienia spełniają relacje
(12.85)
Różniczkujemy każdą z tych relacji względem współrzędnej, która nie występuje w niej explicite:
Po dodaniu dwóch kolejnych uzyskanych zależności i wykorzystaniu pozostałej otrzymamy:
zatem jest
i następnie na mocy równości
mamy
(12.86)
Różniczkując z kolei ilorazy wektorowe bazowych wektorów jednostkowych:
uzyskujemy związki
(12.87)
*
Składowa gradientu j w kierunku i-tej współrzędnej jest definiowana jako przyrost pola skalarnego j na jednostkę długości w tym kierunku, a zatem
i następnie
(12.88)
Rys. 12.11
W celu obliczenia diwergencji rozważymy nieskończenie mały prostopadłościan krzywoliniowy (rys. 12.11), którego trzy krawędzie leżą na liniach współrzędnych i mają długości objętość prostopadłościanu wynosi zatem
(12.89)
Postępując tak samo jak w rozdziale 12.2, obliczamy zmianę strumienia pola wektorowego w kierunku 2
a następnie uwzględniając łączny wypływ przez ścianki rozważanego prostopadłościanu, gdy średnica jego objętości dąży do zera, otrzymujemy
(12.90)
Dla wyznaczenia składowej obliczamy cyrkulację wektora w płaszczyźnie
oraz jego cyrkulację w pozostałych płaszczyznach przez przestawienie cykliczne. Ostateczny wynik można przedstawić za pomocą wyznacznika
(12.91)
Korzystając z tożsamości (12.25) oraz wzorów (12.84) i (12.89) otrzymamy wyrażenie na laplasjan pola skalarnego
(12.92)
Na podstawie wzoru (12.88) można łatwo zauważyć, że operator jest zdefiniowany we współrzędnych krzywoliniowych ortogonalnych następująco
(12.93)
Przy jego wykorzystaniu można przez bezpośrednie różniczkowanie obliczyć diwegencję i rotację wektora w postaci (12.81):
oraz pochodną konwekcyjną występującą we wzorze na przyspieszenie elementu płynu (3.11). Biorąc pod uwagę zależności (12.86) i (12.87) dla pochodnych wektorów jednostkowych względem współrzędnych krzywoliniowych otrzymamy
(12.94)
Powyższą zależność można również uzyskać za pomocą tożsamości udowodnionej w przykładzie 4.1.
W podobny sposób można obliczyć gradient wektora (12.81)
(12.95)
oraz diwergencję tensora
(12.96)
Po wykonaniu wszystkich operacji różniczkowania oraz wykorzystaniu związków (12.86) i (12.87) otrzymamy:
(12.97)
...
lukasz938