ROZDZ10A.DOC

(440 KB) Pobierz

10. Ruch turbulentny cieczy lepkiej

10.1. Stateczność rozwiązań równań Naviera-Stokesa

Istnienie w przyrodzie i zagadnieniach technicznych dwu rodzajów przepływów oznacza, że stacjonarne rozwiązania układu równań rządzących przepływem cieczy lepkiej muszą być traktowane jako pewnego rodzaju abstrakcja. Mogą one realizować się w rzeczywistości - z dokładnością dostępną dla urządzeń pomiarowych - tylko wtedy, gdy są stateczne w odniesieniu do małych przypadkowych zaburzeń. Dlatego też kontrola stateczności tych rozwiązań jest bardzo istotna.

W celu zbadania stateczności rozwiązań układu równań (8.38) założymy, że znamy pewne jego rozwiązanie stacjonarne i Nakładamy na-stępnie na nie dowolne niestacjonarne, ale małe zaburzenia:

Obydwie sumy:

muszą oczywiście spełniać układ (8.38) i zadane warunki brzegowe. Po pominięciu wyrazów małych wyższych rzędów ze względu na i otrzymamy układ równań liniowych względem małych zaburzeń i

(10.1)

które muszą spełniać jednorodne warunki brzegowe, ponieważ warunki brzegowe są już spełnione przez rozwiązanie stacjonarne

Dalsze postępowanie przy badaniu stateczności rozwiązania stacjonarnego polega zazwyczaj na poszukiwaniu rozwiązania układu (10.1) w postaci iloczynu rozwiązań szczególnych, zawierających czynnik gdzie jest zespoloną częstością drgań. Jeżeli w rozwiązaniu występują składniki, w których wtedy zaburzenia i będą się zwiększać z upływem czasu; rozwiązanie stacjonarne jest zatem niestateczne. Innymi słowy, przepływ który się realizuje jest przepływem turbulentnym, a rozwiązanie: ma sens czysto formalny. Jeżeli natomiast będzie wtedy rozwiązanie jest stateczne w odniesieniu do rozpatrywanych małych zaburzeń i istnieje prawdopodobieństwo, że rozwiązanie takie będzie się realizować w naturze (może okazać się, że jest ono niestateczne w odniesieniu do zaburzeń dostatecznie wielkich bądź też zaburzeń innego typu).

Analiza stateczności rozwiązań w ogólnym przypadku trójwymiarowego ruchu cieczy lepkich napotyka na ogromne trudności natury matematycznej. Ograniczymy się więc w dalszym ciągu do badania tylko takich stacjonarnych przepływów płaskich, które mają tę właściwość, że obszar ich istnienia jest ograniczony w kierunku współrzędnej y

(10.2)

od której zależy również jedyna różna od zera składowa prędkości (przykł. 8.1) - jest więc

(10.3)

Wówczas układ równań (10.1) redukuje się do postaci:

(10.4)

Po wprowadzeniu funkcji prądu określonej związkami (6.7):

(10.5)

równanie ciągłości jest spełnione tożsamościowo, a pozostałe równania (10.4) będą następujące:

(10.6a)

(10.6b)

W wyniku zróżniczkowania pierwszego równania (10.6) względem y, drugiego - względem x i następnie dodaniu ich stronami uzyskujemy

(10.7)

Rozwiązania równania (10.7) poszukiwać będziemy w postaci

(10.8)

w której a jest liczbą falową , - stałą zespoloną oraz - zespoloną amplitudą zaburzeń. Po podstawieniu otrzymujemy liniowe równanie różniczkowe zwyczajne czwartego rzędu dla funkcji

(10.9)

która musi spełniać na granicach obszaru (10.2) jednorodne warunki brzegowe

(10.10)

Uzyskane podstawowe równanie badania stateczności przepływów o prostoliniowych i równoległych liniach prądu nosi nazwę równania Orra i Sommerfelda .

Do równania Orra-Sommerfelda można wprowadzić liczbę Reynoldsa (1.22), jeśli zdefiniujemy wymiar charakterystyczny l i przyjmiemy prędkość maksymalną przepływu jako prędkość odniesienia.

Równanie (10.9) jest równaniem czwartego rzędu, posiada więc cztery liniowo niezależne rozwiązania ,, i (są one funkcjami parametrów a, Re i c ), a rozwiązanie ogólne tego równania jest ich kombinacją liniową

(10.11)

gdzie , , i są stałymi.

Stałe , ... , muszą być tak dobrane, aby rozwiązanie (10.11) spełniało jed-norodne warunki brzegowe (10.10). W takim razie muszą one spełniać następujący algebraiczny układ równań jednorodnych:

(10.12)

gdzie którego wyznacznik

= 0 (10.13)

musi znikać, jeśli (10.11) ma być nietrywialnym rozwiązaniem równania Orra i Sommerfelda. Równanie wynikające z warunku znikania wyznacznika (10.13) nazywa się równaniem wiekowym .

Rys. 10.1

Równanie wiekowe będzie mieć w rozpatrywanym przypadku następującą postać

(10.14)

możemy więc zastąpić je układem dwu równań:

(10.15)

Podstawiając = 0 w pierwszym z nich uzyskamy zależność

(10.16)

której odpowiada w płaszczyźnie (a , Re) tzw. krzywa równowagi obojętnej (rys. 10.1). Krzywa ta oddziela obszar stateczności badanego ruchu stacjonarnego

(10.17)

od obszaru niestateczności

(10.18)

Krytycznej liczbie Reynoldsa odpowiada minimum funkcji dla = 0, określa ją więc pionowa styczna do krzywej równowagi obojętnej.

Na podstawie przedstawionych rozważań wnioskujemy, że rozwiązania równań laminarnej warstwy przyściennej mogą opisywać przepływy rzeczywiste tylko w przypadku gdy są stateczne względem małych zaburzeń. Jeśli ponadto utrata stateczności wystąpi przed hipotetycznym oderwaniem laminarnej warstwy przyściennej, to wpłynie to w sposób istotny na charakter przepływu. W szczególnym przypadku punkt utraty stateczności warstwy laminarnej i punkt jej oderwania mogą się pokrywać.

Ruch w płaskiej laminarnej warstwie przyściennej można zaliczyć do klasy ruchów, których statecznością rządzi równanie Orra i Sommerfelda. W przybliżeniu jest bowiem spełnione założenie (10.3), gdyż składowa słabo zależy od x, a składowa jest mała w porównaniu z Pozostaje więc tylko sformułowanie stosownych warunków brzegowych.

Na ściance zaburzenia ruchu znikają, obowiązują więc również w tym przypadku jednorodne warunki brzegowe (10.10). Natomiast na granicy warstwy postuluje się zwykle równość zaburzeń ruchu lepkiego i zaburzeń ruchu nielepkiego, stanowiącego przepływ jednorodny.

Po podstawieniu n = 0 w równaniu (10.9) otrzymamy równanie dla amplitudy j zaburzeń ruchu nielepkiego

(10.19)

którego interesujące nas rozwiązanie (spełniające postulat zanikania zaburzeń wraz ze wzrostem odległości od ścianki) jest następujące

(10.20)

Rozwiązanie zagadnienia, które składa się z funkcji (10.11) i funkcji (10.20), wymaga zatem określenia pięciu stałych całkowania. Mogą one być wyznaczone z następującego algebraicznego układu równań jednorodnych:

(10.21)

10.2. Opis ruchu turbulentnego

Przedstawione w poprzednich rozdziałach równania wynikające z trzech zasad zachowania, tzn. równanie ciągłości (3.18), równanie Naviera-Stokesa (8.13) i równanie energii (8.26), stanowią najogólniejszą formę opisu ruchu płynów, zarówno w przepływie laminarnym, jak i turbulentnym. Dla uzyskania jednak postaci tych równań, które wykazałyby specyficzną odmienność ruchu turbulentnego, przyjmuje się zgodnie z hipotezą Reynoldsa , że chwilowe wartości wszystkich charakteryzujących przepływ wielkości fizycznych mogą być traktowane jako sumy wielkości średnich oraz odpowiednich wielkości fluktuacyjnych. Zakładając zatem, że j jest dowolnym parametrem hydrodynamicznym przepływu turbulentnego - zależnym od współrzędnych i od czasu t - piszemy

(10.22)

Pierwszy składnik jest tzw. uśrednioną wielkością funkcji j, natomiast drugi - tzw. pulsacją; pulsacja jest przy tym wielkością małą i szybkozmienną w porównaniu z , co zostało zilustrowane wykresem na rys. 10.2.