Wyklad_17.pdf

(481 KB) Pobierz
(Microsoft PowerPoint - wyk\263ad_17_Bryla_sztywna.ppt)
Druga zasada dynamiki dla bryły sztywnej:
C
d
C
d
( )
ˆ
ω
C
d
ω
C
ˆ
ˆ
M
=
=
=
I
=
I
ε
dt
dt
dt
Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryły sztywnej dookoła
stałej osi w analogii z ruchem prostoliniowym:
prędkość kątowa
ω
=
d
ϕ
v
=
dx
dt
dt
d
ω
dv
przyspieszenie kątowe
ε
=
a
=
dt
dt
dL
dp
moment siły
M
=
I
ε
=
F
=
ma
=
dt
dt
moment pędu
L
=
I
ω
p
=
mv
energia kinetyczna
E
=
1
I
ω
2
E
=
1
mv
2
K
K
2
2
I
C
47712520.006.png 47712520.007.png 47712520.008.png
Moment pędu bryły:
L
=
∫
r
×
d
C
=
∫
r
C
×
( )
ω
C
×
r
C
dm
=
∫
[
r
2
ω
C
−
( )
ω
C
⋅
r
r
]
dm
C
p
m
m
L
=
∫
[
(
x
2
+
y
2
+
z
2
) (
−
ω
x
+
ω
y
+
ω
z
)
x
]
dm
x
x
x
y
z
=
ω
∫
( )
y
2
+
z
2
dm
−
ω
∫
xy
dm
−
ω
∫
xz
dm
x
y
z
L
x
=
I
xx
ω
x
+
I
xy
ω
y
+
I
xz
ω
z
L
x
I
xx
I
xy
I
xz
ω
x
L
y
=
I
yx
ω
x
+
I
yy
ω
y
+
I
yz
ω
z
L
y
=
I
yx
I
yy
I
yz
ω
y
L
z
=
I
zx
ω
x
+
I
zy
ω
y
+
I
zz
ω
z
L
z
I
zx
I
zy
I
zz
ω
z
W zapisie tensorowym moment bezwładności moŜna krótko napisać:
C
L
C
=
I
ˆ
Wektory momentu pędu i prędkości kątowej mają ten sam kierunek tylko w
przypadku obrotu dookoła jednej z głównych osi.
Energia kinetyczna:
E
=
1
ω
C
⋅
L
C
=
1
ω
C
T
ˆ
ω
C
K
2
2
C
C
C
C
ω
I
47712520.009.png
Główne osie bezwładności
Główne osie bezwładności są osiami, dla których momenty
bezwładności przyjmują wartości ekstremalne i nazywają się
głównymi momentami bezwładności.
E
=
1
∫
v
2
dm
=
1
∫
( )
ω
C
×
C
2
ρ
dV
=
1
ω
C
∫
r
C
×
v
dm
=
1
ω
C
⋅
L
C
K
2
2
2
2
m
V
m
( ) ( ) ( )
C
×
r
2
=
ω
C
×
r
C
⋅
ω
C
×
r
C
=
ω
C
⋅
[
r
×
( )
ω
C
×
r
]
C
C
C
C
C
C
C
=
ω
⋅
[
r
2
ω
−
( )
r
⋅
ω
r
]
=
ω
2
r
2
−
( )
ω
⋅
r
2
=
ω
2
+
ω
2
+
ω
2
)(
x
2
+
y
2
+
z
2
) (
−
ω
x
+
ω
y
+
ω
z
)
x
y
z
x
y
z
=
ω
2
( ) ( ) ( )
y
2
+
z
2
+
ω
2
x
2
+
z
2
+
ω
2
x
2
+
y
2
x
y
z
−
2
ω
x
y
xy
−
2
ω
x
z
xz
−
2
ω
y
z
yz
r
C
ω
C
C
C
(
2
47712520.001.png
E
=
1
ω
2
∫
( )
2
+
z
2
ρ
dV
+
1
ω
2
∫
( )
x
2
+
z
2
ρ
dV
+
1
ω
2
∫
( )
x
2
+
y
2
ρ
dV
K
x
y
z
2
2
2
−
ω
x
y
∫
xy
ρ
dV
−
ω
x
z
∫
xz
ρ
dV
−
ω
y
z
∫
yz
ρ
dV
=
1
(
I
ω
2
+
I
ω
2
+
I
ω
2
+
2
I
ω
+
2
I
ω
+
2
I
ω
)
2
xx
x
yy
y
zz
z
xy
x
y
xz
x
z
yz
y
z
Momenty bezwładności względem osi układu:
I
=
∫
( )
y
2
+
z
2
ρ
dV
I
=
∫
( )
x
2
+
z
2
ρ
dV
I
=
∫
( )
x
2
+
y
2
ρ
dV
xx
yy
zz
Momenty zboczenia:
I
xy
=
−
∫
xy
ρ
dV
I
xz
=
−
∫
xz
ρ
dV
I
yz
=
−
∫
yz
ρ
dV
Jeśli jako osie układu przyjmiemy główne osie bezwładności, to momenty
względem osi będą głównymi momentami bezwładności: I 1 , I 2
, I 3 , a
E K
=
1
(
I
ω
2
1
+
I
ω
2
2
+
I
ω
2
3
)
2
1
2
3
y
charakteryzujące asymetrię momenty zboczenia znikną:
47712520.002.png 47712520.003.png 47712520.004.png
Bezwładność w ruchu obrotowym
I
I
I
I
xy
=
I
yx
xx
xy
xz
I ˆ
=
I
yx
I
yy
I
yz
I
xz
=
I
zx
I
zx
I
zy
I
zz
I
yz
=
I
zy
ρ (r) – lokalna gęstość w punkcie, którego połoŜenie określone jest wektorem r
I
+
I
+
I
=
2
∑
m
r
2
=
2
∫
ρ
r
r
2
dV
xx
yy
zz
i
i
i
V
Suma wyrazów przekątnych jest izotropowa – niezaleŜna od orientacji ciała
względem osi układu.
)
47712520.005.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin