Fizyka statystyczna2.doc

Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej

FIZYKA   STATYSTYCZNA

S. Leble

( zanotowali Aleksandra Chojnacka, Agnieszka Krefta)

Rok 2007

ZASADY TERMODYNAMIKI

1) „0” zasada termodynamiki

Każdy układ dąży do równowagi termicznej. Ruch cieczy- równanie Stokesa- równowagą w każdym punkcie

2) I zasada termodynamiki (zasada zachowania energii)

Ilość ciepła przekazywana do układu w przypadku gazu nad tłokiem wygląda:

   (1)

       (1’)

  (2)            - forma Pfaffa

- parametr wewnętrzny

- parametr zewnętrzny

Gdy =0 to jest to proces adiabatyczny. Ciepło nie jest przekazywane do układu, ale mogące zmienić się na dU i pdV.

dU= -pdV   (3)

pV= RT       - termiczne równanie stanu dla mola gazu doskonałego

-          parametry zewnętrzne – ich wartości są zdefiniowane przez położenie ciał.

-          Np.

-          Każdy parametr zewnętrzny wymaga wprowadzenie parametru wewnętrznego.

-          p – ciśnienie , - indukcja elektryczna

-          Równanie stanu

a)      r-nie termiczne p(V,T)

b)     r-nie kaloryczne U(V,T)              / U – energia wewnętrzna /

3) II zasada termodynamiki. Entropia.

Rozważamy gaz o jednym stopniu swobody

dU=    (1)

Istnieje czynnik całkujący ,taki ze:

    (2)

dU podstawiamy do (2) otrzymujemy:

    (3)

Stwierdzenie:

Dla gazu doskonałego    (4)

   (2’)

dS- kwazi-rownowaga, przechodzi z jednego ciała do drugiego.

W taki sposób wprowadzamy pojęcie temperatury bezwzględnej jako odwrotność czynnika całkującego.

S - jest funkcja stanu (dS jest różniczka zupełna)

-          entropia

Całkując wzór (2’) mając wzór na p i U wyprowadzam wzór na S

Entropia w układzie zamkniętym nie ma wymiany energii z otoczeniem. Energia wzrasta po wymianie ciepła.

1. II zasada wg Klauzjusza

2. II zasada wg Carnot’a (sprawność)

3. Entropia wzrasta dla układów izolowanych

4) III zasada termodynamiki

Podstawą sformułowania równania jest zależność wewnętrznych parametrów od temperatury – równanie stanu.

!!! Wyprowadzić wzór na entropię S dla gazu doskonałego !!!

=

nie ma warunku całkowalności, entropia powstaje dzięki współczynnikowi całkującemu

całkujemy S(V,T) =??

Rozwiązanie :

(1)   S(V,T)= Cv lnT+C(v)

(2)   ,      

S(V,T)=Cv lnT+R lnV + C

Z zastosowaniem III zasady termodynamiki :

!!! Dla równania van der Waalsa wyprowadzić wzór na !!!

Równanie van der Waalsa:

   (*)

z (*)  

zakładamy, że Cv zależy od T

Gaz van der Waalsa jest uogólnieniem gazu doskonałego

Inną metodą na wyznaczenie jest metoda doświadczalna.

!!! Zakładamy, że gaz znajduje się w dwóch komorach. Policzyć entropię S w końcu procesu !!!

  entropia jest funkcją stanu

      n- ilość moli

Entropia początkowa:

ilość moli wyznaczamy ze wzoru:

(&)

Energia wewnętrzna jest stała, gdy układ jest izolowany.

=

Z (&)

Entropia końcowa:

Po uporządkowaniu równań:

POSTULATY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

Przestrzeń fazowa:

-          Każda cząstka ma odpowiedni stan

-          W mechanice kwantowej stan jednej cząstki:

-          Zestaw współrzędnych: jest to wielowymiarowa przestrzeń fazowa. Funkcja charakteryzująca każdy punkt w przestrzeni.

    6N zmiennych

   (1)

jeśli f charakteryzuje wagę punktu to jest to prawdopodobieństwo (distribution function-rozkład prawdopodobieństwa)

REGUŁA FIZYKI STATYSTYCZNEJ

I.  Przestrzeń fazowa jest jednorodna w stanie równowagi

II . Jeżeli przestrzeń fazowa jest jednorodna to wtedy układ jest w stanie równowagi

Wniosek:

Jeżeli wielkość A zdefiniowana na przestrzeni fazowej to wtedy

Np.

Wtedy =U

Celem Fizyki Statystycznej jest wprowadzenie równań stanu

np.

H=T+V

ROZKŁADY GIBBS’A

1)     rozkład mikrokanoniczny – każdy rozkład powstaje na skutek założenia. Układ izolowany termicznie, adiabatycznie (nie ma wymiany ciepła i energii)

                   (1) – określa powierzchnię w przestrzeni fazowej-jednowymiarowej

- funkcja określająca rozkład prawdopodobieństwa, reprezentuje ją delta Diraca

        (2)

ð     w przypadku jednowymiarowym

WARUNEK UNORMOWANIA:

        (3)

(1),(2),(3)-warunki unormowania

w teorii gazu doskonałego:

objętość naczynia, w którym znajduje się gaz :   

ROZKŁAD MIKROKANONICZNY:

w teorii gazu doskonałego:

H =

2)     rozkład kanoniczny – układ znajduje się w równowadze z otoczeniem

Stosunki między układem i podukładem. Podukład nie zależy od układu. Wydarzenia są niezależne miedzy 1. i 2. Prawdopodobieństwem tych wydarzeń jest iloczyn 1. i 2.

1/   - Hamiltonian definiuje stan termodynamiczny

Podukład 1.=>

                2.=>

Efektem jest gęstość prawdopodobieństwa.

1.+2.= --  Hamiltonian jest sumą jeśli nie ma oddziaływania

                  (4)

             można rozwiązać :

                       (5)   -- postać jawna

      (*)         -- całka statystyczna lub suma statystyczna

ROZKŁAD KANONICZNY:

W przypadku gazu doskonałego całka statystyczna jest jednowymiarowa.

dla wielu cząstek:

POTENCJAŁY TERMODYNAMICZNE. ENERGIA SWOBODNA

Entropia :

     (1)

      (2)

  (3) – energia swobodna

       (4)

       (5)

stwierdzenie:

        (6)

   (7)

   (7’)

ze wzoru nr 7 można wyliczyć F oraz (4)i (5), korzystając ze wzoru (*)

II równanie stanu U(T,V)

Rozkłady jednocząstkowe

H- funkcja współrzędnych, uwzględnia oddziaływanie cząstek

GAZ DOSKONAŁY W POLU ZEWNĘTRZNYM

       (8)

  (9)

gdzie:

Można wprowadzić funkcję opisującą rozkład prawdopodobieństwa, przez podstawienie rozkładu Gibbs’a do rozk...