mp_3.pdf

(502 KB) Pobierz
Microsoft Word - 3_Równ_Bern_dosk.doc
3. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów doskonałych
Równanie Bernoulliego wyraża zasadę, że w ruchu ustalonym nieściśliwego płynu idealnego
odbywającym się w polu sił ciężkości, całkowita energia płynu składająca się z energii kinetycznej,
energii potencjalnej ciśnienia i energii położenia jest stała wzdłuż danej linii prądu.
Najczęściej spotykana, algebraiczna postać równania Bernoulliego, wyrażająca zasadę zachowania
energii mechanicznej przedstawia się następująco:
U
2
p
+ ρ
+
z
=
const
2
g
⋅
g
gdzie:
U
2
2
g
- wysokość prędkości
p
ρ
g
- wysokość ciśnienia
z - wysokość położenia (wzniesienie)
Niewiadomymi w równaniu są prędkość U i ciśnienie p , gęstość ρ jest znana i niezmienna,
podobnie jak przyspieszenie ziemskie g .
Jeżeli uwzględnimy równanie ciągłości dla przepływu płynów nieściśliwych i przyjmiemy, że
równanie Bernoulliego ważne jest dla średniej linii prądu, otrzymamy:
S 1 U 1 = S 2 U 2 = ... = Q = idem
U
2
p
U
2
p
1
1
2
2
+
+
z
=
+
+
z
=
...
=
const
1
2
2
g
ρ
g
2
g
ρ
⋅
g
Rozwiązanie powyższych równań pozwoli nam uzyskać wartości prędkości średniej i ciśnienia
panującego w każdym z przekrojów.
Szczególnym przypadkiem prawa zachowania energii, jest prawo Torricellego , określające
prędkość wypływu cieczy ze zbiornika przez mały otwór w ścianie:
42
⋅
742011180.008.png 742011180.009.png
U
2
p
a
U
2
p
a
1
2
+
+
h
=
+
2
g
γ
2
g
γ
gdzie:
γ - ciężar właściwy w N/m 3
Z równania ciągłości dla obu przekrojów mamy:
⋅
g
S
U
1
⋅
S
=
U
2
⋅
S
2
⇒
U
2
=
1
U
1
S
2
Jeżeli pole przekroju zbiornika jest znacznie większe od pola przekroju wylotu otworu wtedy
możemy pominąć U 1 i określić prędkość wypływu U 2 jako:
U
2 =
2
gh
Powyższa zależność została wyznaczona dla przypadku, w którym na powierzchni zbiornika jak i w
przestrzeni do której odbywał się wypływ, panowało ciśnienie atmosferyczne. Prawo Torricellego
można również odnieść do przypadku przepływu cieczy ze zbiornika A do B, w których występują
różne ciśnienia.
U
=
2
g
p
A
−
p
B
+
h
2
γ
= α
w którym α jest współczynnikiem prędkości , wartość którego zawiera się w granicach α = 0.96 ÷
0.99.
Bezwładność poruszających się elementów płynu powoduje, że w niewielkiej odległości za
otworem występuje przewężenie strumienia. Zjawisko to nazywane jest kontrakcją strumienia, a
ilościowo określa je bezwymiarowy współczynnik kontrakcji β, będący ilorazem najmniejszego
przekroju strumienia f 0 do przekroju otworu f :
U
rz
⋅
β .
f 0
f
43
= ρ
1
Wartości prędkości wypływu np. wody i oleju obliczone z prawa Torricellego są takie same,
ponieważ prawo dotyczy przepływu płynu doskonałego i nie uwzględnia strat przepływu
występujących między przekrojami kontrolnymi, spowodowanych lepkością płynu. W przypadku
płynów lepkich prędkość wypływu jest mniejsza od teoretycznej, a związek pomiędzy prędkością
rzeczywistą U rz a teoretyczną przyjęto wyrażać w formie iloczynu:
U
742011180.010.png 742011180.011.png
 
Wartość współczynnika kontrakcji uzależniona jest głównie od ostrości krawędzi otworu, a także
od kształtu i usytuowania otworu. Dla otworów kołowych o ostrych krawędziach współczynnik
kontrakcji zawiera się w granicach β = 0.60 ÷ 0.64.
Mniejsze wartości rzeczywistej prędkości wypływu U rz i pola przekroju strumienia f 0 powodują, że
i rzeczywisty strumień objętości cieczy wypływającej przez mały otwór jest mniejszy od
teoretycznego. Iloraz rzeczywistego strumienia objętości do strumienia teoretycznego nazywamy
współczynnikiem przepływu :
&
µ .
V r &
V
W prosty sposób można udowodnić, że:
µ ⋅= .
Wartość współczynnika przepływu przy wypływie z otworu o ostrych krawędziach zależy głównie
od wartości współczynnika kontrakcji i mieści się w granicach µ = 0.60 ÷ 0.62.
β
PRZYKŁADOWE ZADANIA
Zadanie 3.1 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.1, str. 47)
Obliczyć, z jaką prędkością U 1 będzie przepływać woda przez
mały otwór znajdujący się w ściance zbiornika. Nad zwierciadłem
wody w zbiorniku i na wylocie z otworu panuje ciśnienie
atmosferyczne. Otwór znajduje się ma wysokości h = 5 m. Poziom
wody w zbiorniku jest stały.
Dane: yznaczyć:
p 0 = p 1 = p a U 1
h = 5 m
Rozwiązanie:
Obierzmy dwa przekroje: 0-0 na powierzchni cieczy oraz 1-1 na wylocie ze zbiornika. Dla tych
dwóch przekrojów ułożymy równanie Bernoulliego. Jako poziom odniesienia przyjmijmy oś
otworu:
U
2
p
U
2
p
0
+
0
+
z
=
1
+
1
+
z
0
1
2
g
ρ
g
2
g
ρ
g
gdzie p 0 = p 1 = p a , z 0 = h , z 1 = 0. W przypadku h = const prędkość U 0 = const . Po uwzględnieniu
tych warunków równanie przybierze postać
0
p
a
U
1
2
p
a
+
+
h
=
+
+
0
2
g
ρ
g
2
g
ρ
g
skąd
U
2
m
1
=
h
,
U
1
=
2
gh
=
2
⋅
9
81
⋅
5
=
9
2
g
s
44
742011180.001.png 742011180.002.png 742011180.003.png
Zadanie 3.2 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.2, str. 48)
Z dużego otwartego zbiornika wypływa woda przez
przewód składający się z dwóch odcinków o średnicach
d 1 = 30 mm, d 2 = 20 mm. Oś przewodu znajduje się w
odległości h = 4 m od zwierciadła wody w zbiorniku.
Obliczyć prędkości U 1 , U 2 oraz ciśnienia p 1 i p 2 panujące
w określonych odcinkach przewodu. Ciśnienie
atmosferyczne p a = 100 kN/m 2 .
Dane:
Wyznaczyć:
d 1 = 30 mm
U 1 , U 2 , p 1 , p 2
d 2 = 20 mm
h = 4 m
p a =100 kN/m 2 =100000 Pa
Rozwiązanie:
Obieramy dwa przekroje: 0-0 na powierzchni wody w zbiorniku i 2-2 na wylocie. Układamy dla
nich równanie Bernoulliego:
U
0
2
p
a
U
2
2
p
a
+
+
h
=
+
+
0
2
g
ρ
⋅
g
2
g
ρ
⋅
g
W równaniu tym mamy dwie niewiadome prędkości: U 0 i U 2 . W przypadku dużego zbiornika
można przyjąć U 0 = 0. Przy tym założeniu znajdziemy:
U
=
2
gh
=
2
⋅
9
81
⋅
4
=
8
85
m
2
s
Prędkość U 1 obliczamy z równania ciągłości:
Q =
gdzie Q 1 =(πd 1 2 /4)U 1 – strumień objętości w przewodzie o średnicy d 1 , Q 2 =(πd 2 2 /4)U 2 - strumień
objętości w przewodzie o średnicy d 2 , a więc:
1 Q
2
π
d π
2
1
U
=
d
2
2
U
,
4
1
4
2
skąd
d
2
0
02
2
m
U
=
U
2
=
8
85
=
3
94
1
2
d
0
03
s
1
Aby obliczyć ciśnienie p 1 w przewodzie o średnicy d 1 , obieramy dodatkowy przekrój 1-1 i
układamy równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 oraz 1-1:
U
0
2
p
a
U
1
2
p
1
+
+
h
=
+
+
0
2
g
ρ
⋅
g
2
g
ρ
⋅
g
Z równania tego, przyjmując U 0 = 0, znajdziemy p 1 :
p
1
=
h
+
p
a
−
U
1
ρ
⋅
g
ρ
⋅
g
2
g
ρ
U
1
1000
⋅
3
94
2
p
1
=
ρ
⋅
g
⋅
h
+
p
a
−
=
1000
⋅
9
81
⋅
4
+
100000
−
=
2
2
=
132
.
kN
(ciśnienie absolutne)
2
m
45
742011180.004.png 742011180.005.png
lub p 1n = 32100 N/m 2 (nadciśnienie).
W analogiczny sposób obliczamy ciśnienie p 2 :
ρ
2
1000
⋅
8
85
2
kN
p
2
=
ρ
g
⋅
h
+
p
a
−
=
1000
⋅
9
81
⋅
4
+
100000
−
=
100
2
2
2
m
lub p 2n = 0 (nadciśnienie).
Zadanie 3.3 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.3, str. 48)
Tunel aerodynamiczny z otwartą częścią pomiarową ma wylot o
średnicy d = 500 mm. Do szerokiej części tunelu o średnicy D =
1200 mm podłączono wodny manometr U-rurkowy. Znaleźć
prędkość powietrza U w części pomiarowej tunelu, jeśli wskazanie
manometru wynosi H = 200 mm. Gęstość powietrza ρ p = 1.29
kg/m 3 . Pominąć straty tarcia.
Dane:
Wyznaczyć:
d = 500 mm
U
D = 1200 mm
H = 200 mm
ρ p = 1.29 kg/m 3
Rozwiązanie:
Obieramy dwa przekroje kontrolne: 1-1 w miejscu podłączenia manometru do szerokiej części
tunelu oraz 2-2 w przestrzeni pomiarowej. Dla tych dwóch przekrojów układamy równanie
Bernoulliego:
U
1
+
p
1
=
U
2
+
p
a
2
g
ρ 2
⋅
g
g
ρ
⋅
g
p
p
W równaniu tym pominięto wysokość położenia z , gdyż obrana struga jest pozioma.
Niewiadomymi wielkościami są U 1 , U 2 i p 1 .
Z równania ciągłości:
Q =
1 Q
2
π
D π
2
d
2
U
=
U
1
2
4
4
otrzymujemy:
d
2
U
=
U
1
2
D
Podstawiając wyrażenie na U 1 do równania Bernoulliego znajdziemy:
U
=
U
=
2
( )
p
1
−
p
a
2
4
d
1
−
ρ
p
D
Różnica ciśnień:
p
−
p
a
=
H
⋅
ρ
w
⋅
g
.
46
U
⋅
1
742011180.006.png 742011180.007.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin