Karta wzorów matematycznych.pdf

(110 KB) Pobierz
443675792 UNPDF
Wzorymatematyczne
Napodstawie:D.Halliday,R.Resnick,J.Walker,
PodstawyFizyki,tom1,dodatekE,PWN,Warszawa2003
Opracowałmgrin».KarolTarnowski
Symbolematematyczne
= równa si¦
równa si¦ w przybli»eniu
jest tego samego rz¦du wielko±ci
6 = nie jest równe
jest równe to»samo±ciowo, jest zdefiniowane jako
> jest wi¦ksze ni» ( jest du»o wi¦ksze ni»)
< jest mniejsze ni» ( jest du»o mniejsze ni»)
­ jest wi¦ksze lub równe (czyli nie mniejsze ni»)
¬ jest mniejsze lub równe (czyli nie wi¦ksze ni»)
± plus albo minus
/ jest proporcjonalne do
suma
x ±r warto±¢ ±rednia x
Niech b¦dzie mniejszym z k¡tów mi¦dzy wektorami
a i b . Zachodz¡ zwi¡zki:
a · b = b · a = a x b x + a y b y + a z b z = ab cos ,
a × b = − b × a =
i j k
a x a y a z
b x b y b z
− j
+ k
= i
a y a z
b y b z
a x a z
b x b z
a x a y
b x b y
= ( a y b z − b y a z ) i + ( a z b x − b z a x ) j+
+ ( a x b y − b x a y )k ,
Geometria
Koło o promieniu r : obwód = 2 r ; pole powierzchni
= r 2 .
Kula o promieniu r : pole powierzchni = 4 r 2 , obj¦-
to±¢ = 4 3 r 3 .
Walec obrotowy o promieniu podstawy r i wysoko±ci
h : pole powierzchni = 2 r 2 + 2 rh ; obj¦to±¢ = r 2 h .
Trójk¡t o podstawie a i wysoko±ci h : pole powierzchni
= 1 2 ah .
a × b
= ab sin ,
a · ( b × c ) = b · ( c × a ) = c · ( a × b ) ,
a × ( b × c ) = ( a · c ) b − ( a · b ) c.
WzoryCramera
Układ równa« z dwiema niewiadomymi x i y
Iloczynywektorów
Niech i, j i k b¦d¡ wektorami jednostkowymi kierun-
ków x , y i z . Zachodz¡ zwi¡zki:
a 1 x + b 1 y = c 1 oraz a 2 x + b 2 y = c 2
ma rozwi¡zanie
i · i = j · j = k · k = 1 ,
i · j = j · k = k · i = 0 ,
c 1 b 1
c 2 b 2
i × i = j × j = k × k = 0 ,
i × j = k , j × k = i , k × i = j .
x =
= c 1 b 2 − c 2 b 1
a 1 b 2 − a 2 b 1
a 1 b 1
a 2 b 2
Dowolny wektor a o składowych wzdłu» osi x , y i z
równych a x , a y i a z mo»na przedstawi¢ w postaci
oraz
a 1 c 1
a 2 c 2
a = a x i + a y j + a z k .
y =
= a 1 c 2 − a 2 c 1
a 1 b 1
a 2 b 2
Niech a , b i c b¦d¡ dowolnymi wektorami o długo-
±ciach (modułach) a , b i c . Zachodz¡ zwi¡zki:
a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) ,
Równaniekwadratoweijegor ozwi¡za nie
Je±li ax 2 + bx + c = 0, to x = − b ± p b 2 − 4 ac
2 a
( sa ) × b = a × ( sb ) = s ( a × b )
( s — skalar) .
.
1
a 1 b 2 − a 2 b 1 .
443675792.017.png
Funkcjetrygonometrycznek¡ta
cos + cos = 2 cos +
2
cos −
2
sin = y
r
cos = x
r
o± y
cos − cos = − 2 sin +
2
sin −
2
6
tg = y
x
ctg = x
y
r
y
Pochodne
W poni»szych wzorach u i v s¡ dowolnymi funkcjami
zmiennej x , a a i m s¡ stałymi.
sec = r
x
cosec = r
y
0
x
- o± x
TwierdzeniePitagorasa
Pochodne:
W trójk¡cie prostok¡tnym
a 2 + b 2 = c 2 .
c
a
1.
d x
d x = 1
b
2.
d x ( au ) = a d u
d x
Trójk¡ty
K¡ty: A , B , C .
Boki im przeciwległe: a , b , c .
A + B + C = .
sin A
a
3.
d
d x ( u + v ) =
d u
d x +
d v
d x
4.
d x = mx m − 1
sin B
b
sin C
c
=
=
.
d
d x ln x =
1
x
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos C.
K¡t zewn¦trzny D = A + C.
5.
d x ( uv ) = u d v
d x + v d u
6.
d x
J
C
J
J
7.
d x e x = e x
b
a
J
J
d
d x sin x = cos x
J
8.
J
A
B
D
J
c
9.
d
d x cos x = − sin x
To»samo±citrygonometryczne
sin( / 2 − ) = cos
cos( / 2 − ) = sin
sin / cos = tg
sin 2 + cos 2 = 1
sec 2 − tg 2 = 1
cosec 2 − ctg 2 = 1
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos 2 − sin 2 = 2 cos 2 − 1 = 1 − 2 sin 2
10.
d x tg x = sec 2 x
11.
d x ctg x = − cosec 2 x
12.
d
d x sec x = tg x sec x
13.
d
d x cosec x = − ctg x cosec x
d x e u = e u d u
14.
sin( ± ) = sin cos ± cos sin
d x
cos( ± ) = cos cos sin sin
tg( ± ) = tg ± tg
1 tg tg
sin ± sin = 2 sin ±
2
15.
d x sin u = cos u d u
d x
cos
2
16.
d x cos u = − sin u d u
d x
2
d
d x m
d
d
d
d
d
d
d
443675792.018.png 443675792.019.png 443675792.020.png 443675792.001.png 443675792.002.png 443675792.003.png 443675792.004.png 443675792.005.png 443675792.006.png
Rozwini¦ciafunkcjiwszeregipot¦gowe
(1 + x ) n = 1 + nx
1!
16.
Z 1
0 x 2 n e − ax 2 d x =
1 · 3 · 5 · ... · (2 n − 1)
2 n +1 a n
r
a
+ n ( n − 1) x 2
2!
+ ... ( x 2 < 1)
Z
d x
x + p x 2 + a 2
17.
p
x 2 + a 2 = ln
e x = 1 + x + x 2
2!
+ x 3
3!
+ ...
Z
x d x
( x 2 + a 2 ) 3 / 2 = −
1
( x 2 + a 2 ) 1 / 2
18.
ln(1 + x ) = x − 1
2 x 2 +
3 x 3 − ... ( | x | < 1)
Z
d x
( x 2 + a 2 ) 3 / 2 =
x
a 2 ( x 2 + a 2 ) 1 / 2
19.
sin = − 3
3!
+ 5
5! − ... ( w radianach)
Z 1
0 x 2 n +1 e − ax 2 d x =
n !
2 a n +1 ( a > 0)
cos = 1 − 2
2!
+ 4
4! − ... ( w radianach)
20.
Z
x d x
x + a = x − a ln( x + a )
tg = + 3
3
2 5
15
+
+ ... ( w radianach)
21.
Całki
W poni»szych wzorach u i v s¡ dowolnymi funkcjami
zmiennej x , a a i m s¡ stałymi. Do ka»dej z całek nie-
oznaczonych nale»y doda¢ dowoln¡ stał¡ całkowania.
Z
Uwagi
Obszerniejsze tablice dost¦pne na stronach:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Tablicacałek ,
http://www.math.com/tables/integrals/tableof.htm
a tak»e w literaturze:
1.
d x = x
1. Matematyka. Poradnik encyklopedyczny I. N.
Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew
Z
Z
2.
au d x = a
u d x
2. Inegrały i riady specjalnyje funkcii, A. P. Prudnikow,
Ju. A. Bryczkow, O, I. Mariczew
Z
Z
Z
3. Handbook of Mathematical Functions, Abramowitz,
Stegun
3.
( u + v )d x =
u d x +
v d x
Z
x m d x = x m +1
m + 1
4. Mathematical Handbook for Scientists and Engine-
ers: Definitions, Theorems, and Formulas for Refe-
rence and Review, G. Korn, T. Korn
4.
( m 6 = − 1)
Z d x
x = ln | x |
5.
5. Tables of Integrals and Other Mathematical Data: H.
Dwight
Z
Z
u d v
v d u
6.
d x d x = uv −
d x d x
Generator całek online:
http://integrals.wolfram.com/
Z
7.
e x d x = e x
Wrocław, 12.10.2009
Z
8.
sin x d x = − cos x
Z
9.
cos x d x = sin x
Z
10.
tg x d x = ln | sec x |
Z
2 x − 1
11.
sin 2 x d x =
4 sin 2 x
Z
e − ax d x = − 1
12.
a e − ax
Z
x e − ax d x = − 1
13.
a 2 ( ax + 1)e − ax
Z
x 2 e − ax d x = − 1
14.
a 3 ( a 2 x 2 + 2 ax + 2)e − ax
Z 1
x n e − ax d x =
n !
a n +1
15.
0
3
1
1
443675792.007.png 443675792.008.png 443675792.009.png 443675792.010.png 443675792.011.png 443675792.012.png 443675792.013.png 443675792.014.png 443675792.015.png 443675792.016.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin