Algebra 0-11 macierze.pdf

(79 KB) Pobierz
19538063 UNPDF
Wykład11
Macierzecd.
Je±limacierzmatylesamowierszycokolumntomacierztak¡nazywa-
my macierz¡kwadratow¡ .Mówimy,»e A jestmacierz¡stopnia n je±lima
wymiar n × n .Zbiórwszystkichmacierzykwadratowychstopnia n owspół-
czynnikachzciała K oznacza¢b¦dziemyprzez M n ( K ).Je±li A 2 M n ( K )
to:
2
a 11 a 12 ...a 1 n
a 21 a 22 ...a 2 n
... ... ......
a n 1 a n 2 ...a nn
3
A =
6 6 6 4
7 7 7 5
elementy a 11 ,a 22 ,...,a nn nazywamy główn¡przek¡tn¡ macierzy A .Ma-
cierzkwadratow¡nazywamymacierz¡ trójk¡tn¡górn¡ je±lipodgłówn¡
przek¡tn¡wyst¦puj¡samezera.Analogiczniemo»namówi¢omacierzytrój-
k¡tnejdolnej.Macierznazywamymacierz¡ diagonaln¡ je±lijestzarazem
macierz¡trójk¡tn¡górn¡imacierz¡trójk¡tn¡doln¡.Toznaczymacierzkwa-
dratowa A =[ a ij ]jestdiagonalnaje±li a ij =0dla i 6 = j .
Je±li A,B s¡macierzamikwadratowymistopnia n toistniejeiloczyn A · B
ijestonrównie»macierz¡kwadratow¡stopnia n .Zatemmno»eniemacierzy
jestdobrzeokre±lonymdziałaniemwzbiorze M n ( K ).
Twierdzenie1 Struktura ( M n ( K ) , + , · ) jestpier±cieniemzjedno±ci¡.Po-
nadtoje±lin> 1 topier±cie«tenjestnieprzemienny.
Dowód
1.Udowodnili±mynapoprzednimwykładzie,»estruktura( M n ( K ) , +)jest
grup¡abelow¡.
2.Działanie · jestł¡czne.Niech A,B,C 2 M n ( K ),wtedy:
A =[ a ij ] n × n ,B =[ b ij ] n × n ,C =[ c ij ] n × n .
Niech D = A · B oraz E = B · C ,iniech D =[ d ij ] ,E =[ e ij ]imamy:
d ij =
n X
a ik b kj ,e ij =
n X
b ik c kj .
k =1
k =1
Oznaczmyprzez F =( AB ) C = DC =[ f ij ],aprzez G = A ( BC )= AE =
[ g ij ].Wtedymamy:
f ij =
n P
d il c lj =
n P
n P
a ik b kl
c lj =
n P
n P
( a ik b kl c lj )=
l =1
l =1
k =1
n P
l =1
k =1
n P
n P
n P
n P
( a ik b kl c lj )=
a ik
b kl c lj
=
a ik e kj = g ij
k =1
l =1
k =1
l =1
k =1
1
St¡d F = G ,wi¦c( AB ) C = A ( BC ),czylimno»eniejestł¡czne.
3.Działanie · jestrozdzielnewzgl¦dem+,zatemdla A,B,C 2 M n ( K )mamy:
A ( B + C )= AB + AC.
Dowodzisi¦topodobniejakpunkt2.
4.Jedno±ci¡pier±cienia(czylielementemneutralnymmno»eniamacierzy)
jestmacierz I ,któranagłównejprzek¡tnejmajedynki,awpozostałych
miejscach0,czyli I =[ ij ],gdzie:
(
1gdy i = j
0gdy i 6 = j
ij =
Funkcja ij nazywanajest delt¡Kroneckera .Mo»emyzapisa¢macierz I
wprost:
2
10 ... 0
01 ... 0
............
00 ... 1
3
I =
6 6 6 4
7 7 7 5
Przykład Pier±cie« M 2 ( Z 2 )składasi¦z16macierzy2 × 2owspółczynnikach
zciała Z 2 .
Mo»nawprowadzi¢te»mno»eniemacierzyprzezelementyciała.Niech
A =[ a ij ] 2 M m,n iniech k 2 K ,wtedy:
kA =[ ka ij ] .
Przykład
2
6 4
3
7 5 =
2
6 4
3
7 5
3 4
− 1 2
0 − 2
1216
− 4 8
0 − 8
4 ·
Niech f ( x )= a n x n + a n − 1 x n − 1 + ··· + a 1 x + a 0 b¦dziewielomianemo
współczynnikachzciała K iniech A 2 M n ( K ),wtedy:
f ( A )= a n A n + a n − 1 A n − 1 + ··· + a 1 A + a 0 I.
Zadanie Wyznaczy¢ f ( A ),gdzie f ( x )= x 3 − 2 x 2 +1,
2
210
020
111
3
A =
6 4
7 5
2
Niech A =[ a ij ] m × n b¦dziemacierz¡ m × n ,owspółczynnikachzciała
K .Przez A T oznaczymymacierzowymiarze n × m ,powstał¡zmacierzy A
przezzamian¦wierszynakolumny.
Przykład
1.
2
1
2
3
4
3
[1 , 2 , 3 , 4] T =
6 6 6 4
7 7 7 5
2.
2
3
3 4
− 1 2
0 − 2
"
#
3 − 1 0
4 2 − 2
6 4
7 5
=
Operacj¦ T nazywamytransponowaniemmacierzy,amacierz A T macierz¡
transponowan¡.
Własno±citransponowania
1.( A + B ) T = A T + B T ,
2.( kA ) T = kA T ,
3.( AB ) T = B T A T .
4.( A T ) T = A .
Dowód Udowodnimypunkt3.Je±li A =[ a ij ] m × n to A T =[ a T ij ] n × m ,gdzie
a T ij = a ji ,podobnieje±li B =[ b ij ] n × k to B T =[ b T ij ] k × n ,gdzie b T ij = b ji .Niech
C = AB wtedywymiar C jestrówny m × k ije±li C =[ c ij ] m × k tomamy:
c ij =
n X
a il b lj ,
l =1
st¡d
n X
n X
n X
c T ij = c ji =
a jl b li =
a T lj b T il =
b T il a T lj ,
l =1
l =1
l =1
tonamdajerówno±¢( AB ) T = B T A T .
Mówimy,»emacierzstopnia n jest symetryczna je±lijestsymetryczna
wzgl¦demgłównejprzek¡tnej.
Przykład Macierz: 2
1223
2415
2108
3587
3
6 6 6 4
7 7 7 5
jestsymetryczna.
3
T
Stwierdzenie1 MacierzAjestsymetrycznawtedyitylkowtedygdyA T = A.
Zwłasno±citransponowaniawynika,»eje±limacierze A i B s¡symetrycz-
neto A + B te»jestmacierz¡symetryczn¡orazdladowolnego k 2 K macierz
kA jestsymetryczna(oile A jestsymetryczna).
Macierzstopnia n nazywamy antysymetryczn¡ je±li A T = − A .
Zadanie Udowodni¢,»eje±limacierzjestantysymetrycznatonagłównej
przek¡tnejmasamezera.
Zadanie Udowodni¢,»eje±li A i B s¡macierzamiantysymetrycznymito
A + B jestrównie»antysymetryczna.
Macierzekwadratowe,któreposiadaj¡macierzeodwrotnenazywa¢b¦-
dziemymacierzamiodwracalnymi.Zbiórmacierzyodwracalnychstopnia n o
współczynnikachzciała K oznacza¢b¦dziemyprzezGL n ( K ).
Uwaga1 Wcze±niejudowodnili±my,»ezbiórelementówodracalnychpier-
±cieniastanowigrup¦.Toznaczy,»estruktura (Gl n ( K ) , · ) jestgrup¡.
Poznamypó¹niejefektywnemetodywyznaczaniamacierzyodwrotneji
kryterium,którepozwaladosy¢łatworozstrzyga¢,czymacierzjestodwra-
calna.Potrzebnedotegonamb¦d¡pewnewiadomo±cinatematpermutacji.
4

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin