kret.pdf

(401 KB) Pobierz
79494116 UNPDF
7.3.1. Definicja krętu i kręt układu materialnego
Krętem k O punktu materialnego o masie m względem punktu O nazywamy
moment pędu
k
O
=
r
×
p
=
r
×
m
. . )
Z powyższej definicji wynika, że kręt − zdefiniowany podobnie jak moment siły
względem punktu − jest wektorem
prostopadłym do płaszczyzny
wyznaczonej przez punkt O i wektor
prędkości v (rys. 7.16).
Kręt punktu będzie równy zeru,
poza przypadkami trywialnymi ( r = 0 i
v = 0), gdy wektory r i v będą
współliniowe.
Jeżeli będziemy mieli układ n
punktów materialnych o masach m k
opisanych wektorami wodzącymi r k i
poruszających się z prędkością v k (rys. 7.17), to kręt tego układu materialnego
względem nieruchomego punktu O będzie równy sumie krętów (sumie momentów
pędów) nieruchomego punktu O będzie równy sumie krętów (sumie momentów
pędów)
m v
k o
m
r
O
Rys. 7.16. Kręt (moment pędu) punktu
materialnego
∑
n
∑
n
k
O
=
r
k
×
p
k
=
r
k
×
m v
k
. . )
k
=
1
k
=
1
p m= tego punktu materialnego względem punktu O:
v
v
k
79494116.003.png
7.3.2. Redukcja krętu do środka masy
Wzór (7.57) opisuje kręt układu materialnego obliczony względem dowolnego
nieruchomego punktu O. Zadajmy sobie pytanie, jaki będzie kręt tego samego
układu materialnego względem środka masy C. W tym celu przyjmijmy w środku
masy C początek ruchomego układu współrzędnych o osiach
równoległych do odpowiednich osi nieruchomego układu współrzędnych x, y, z
(rys. 7.17). W tej sytuacji układ
x,y,z
x,y,z będzie się poruszał ruchem postępowym
względem układu nieruchomego x, y, z z prędkością środka masy v C .
′ ′ ′
z′
m n
v n
z
v k
v C
m 1
m k
v Ck
v C
r Ck
y′
v 1
r k
C
m 2
r C
v 2
O
x′
y
x
Rys. 7.17. Rozkład prędkości układu punktów materialnych
Przy takim założeniu prędkość bezwzględna v k każdego punktu materialnego
względem układu nieruchomego x, y, z będzie sumą prędkości unoszenia równej
prędkości środka masy v C i prędkości względnej v Ck wzgędem układu ruchomego
, nazywanej dalej prędkością względem środka masy:
= . )
Kręt rozpatrywanego układu punktów materialnych względem środka masy wyrazi
wzór:
v +
k
C
v
Ck
∑ =
n
k
C
=
r
Ck
×
m
k
v
k
, . )
k
1
gdzie r Ck jest promieniem wodzącym punkt materialny o masie m k w układzie
. Z rysunku 7.17 wynika, że promień wodzący r
k jest równy sumie
promienia wodzącego środka masy r C i promienia r Ck :
r += .
k
C
r
Ck
′ ′ ′
x , y , z
′ ′ ′
x , y , z
′ ′ ′
79494116.004.png 79494116.005.png
Po wyznaczeniu z tej zależności
r −
Ck
=
r
k
r
C
i podstawieniu do wzoru (7.58) otrzymamy:
∑
n
( )
∑
n
∑
n
k
=
r
−
r
×
m
v
=
r
×
m
v
−
r
×
m
v
. (b)
C
k
C
k
k
k
k
k
C
k
k
k
=
1
k
=
1
k
=
1
Pierwsza suma po prawej stronie tego wzoru, zgodnie ze wzorem (7.57), jest
krętem k O względem nieruchomego punktu O, druga zaś jest pędem omawianego
układu materialnego. Na podstawie wzoru (7.42) możemy zapisać:
= ∑ =
n
p
m
k
v
k =
m
v
C
,
k
1
gdzie m jest masą całego układu. Zatem równanie (b) przyjmie postać:
k
C
=
k
O
−
r
C
×
m v
C
lub
k
O
=
k
C
+
r
C
×
m v
C
. .)
r ×
Wzór (7.58) przedstawia kręt układu materialnego względem środka masy
obliczony dla ruchu bezwzględnego, ponieważ występująca w tym wzorze
prędkość v k jest prędkością względem nieruchomego układu odniesienia.
Zastanówmy się, czemu będzie równy kręt tego układu materialnego względem
środka masy wyznaczony dla ruchu względnego. W tym celu podstawmy do wzoru
(7.58) zależność (a).
C
m v
C
masy całkowitej skupionej w środku masy.
∑
n
∑
n
( )
∑
n
∑
n
k
=
r
×
m
v
=
r
×
m
v
+
v
=
r
×
m
v
+
r
×
m
v
=
C
Ck
k
k
Ck
k
C
Ck
Ck
k
C
Ck
k
Ck
k
=
1
k
=
1
k
=
1
k
=
1
⎛
∑
n
⎞
∑
n
∑
n
∑
n
=
⎜
⎝
r
m
⎟
⎠
×
v
+
r
×
m
v
=
−
v
×
r
m
+
r
×
m
v
.
Ck
k
C
Ck
k
Ck
C
Ck
k
Ck
k
Ck
k
=
1
k
=
1
k
=
1
k
=
1
Ale suma
∑ =
n
r
Ck
m
k
=
0
,
k
1
Kręt k O układu punktów materialnych względem dowolnego nieruchomego
punktu O jest równy krętowi k C tego układu względem środka masy
powiększonemu o kręt
ponieważ moment statyczny układu względem środka masy jest równy zeru.
Ostatecznie mamy:
∑
n
∑
n
k
C
=
r
Ck
×
m
k
v
k
=
r
Ck
×
m
k
v
Ck
. (7.60)
k
=
1
k
=
1
Z otrzymanej zależności wynika stwierdzenie:
Kręt układu punktów materialnych względem środka masy wyznaczony dla
ruchu bezwzględnego jest równy krętowi względem środka masy wyznaczonemu
dla ruchu względnego.
79494116.006.png
7.3.3. Kręt bryły
Wyznaczmy kręt bryły o masie m poruszającej się ruchem dowolnym, a więc
bryły swobodnej. Podobnie jak w kinematyce bryły (p. 5.3.2) przyjmiemy dwa
układy współrzędnych − jeden nieruchomy o początku w nieruchomym punkcie
O i osiach x, y, z, a drugi ruchomy, sztywno związany z bryłą o osiach
x,y,z
′ ′ ′
O , lecz w środku masy C. W
bryle wydzielmy myślowo element masy dm o wektorze wodzącym
′
r
=
r
C
+
r
′
, )
gdzie
r
C
=
x
C
i
+
y
C
j
+
z
C
k
,
r
′
=
x
′
i
′
+
y
′
j
′
+
z
′
k
′
.
Znając prędkość v C środka masy C i prędkość kątową ω, możemy obliczyć
prędkość v dowolnego punktu bryły (wzór 5.32). Zatem prędkość elementarnej
masy dm
v
=
v
C
+
ω
×
r
′
. )
Zgodnie z definicją kręt elementu
masy dm względem nieruchomego
punktu O
z
z′
y′
d
O krv
= ×
dm
.
C
r ′
dm
r C
v
Kręt bryły będzie równy całce z
powyższej zależności rozciągniętej
na całą masę m bryły:
r
O
k
=
∫ ×
r
v
dm
.
y
O
x′
m
x
Po podstawieniu do tego wzoru
zależności (c) i (d) otrzymamy:
Rys. 7.18. Opis położenia dowolnego elementu
bryły sztywnej
k
O
=
∫
( ) ( )
C
+
r
′
×
v
C
+
ω
×
r
′
dm
=
∫
r
C
×
v
C
dm
+
∫
r
C
×
( )
×
r
′
dm
+
m
m
m
+
∫
r
′
v
C
dm
+
∫
r
′
( ) .
ω
×
r
′
dm
m
m
(rys. 7.18) i początku nie w dowolnym punkcie
r
ω
79494116.001.png 79494116.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin