Wzory Analiza II.doc

Pochodne funkcji elementarnych

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

Całki funkcji elementarnych

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

8.  

9.  

10.

11.

12.

Całka oznaczona

1.   Pole powierzchni pod wykresem

2.   Długość łuku krzywej

3.   Masa rozłożona na krzywej

4.   Moment bezwładności krzywej

5.   Objętość bryły obrotowej

6.   Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej

7.   Obliczanie ekstremów i punktów przegięcia

Całka niewłaściwa

Kryterium całkowe zbieżności szeregów

Szeregi funkcyjne i potęgowe

- środek

- promień zbieżności

- przedział zbieżności

przedział zb. + ew. końce przedziału – obszar zbieżności

Szeregi Taylora i Maclarina

Szeregi Fouriera

1)   parzysta (symetryczna względem osi OY)

2)   nieparzysta (symetryczna względem punktu 00)

3)   funkcję określoną namożemy rozwijać zarówna w szeregi sinusów jak i cosinusów

Funkcje wielu zmiennych

1)   dziedzina

2)   granica

3)   pochodne cząstkowe

dla

- pochodne pierwszego rzędu

- pochodne drugiego rzędu

twierdzenie Schwarza

jeżelito są one ciągłe

4)   pochodne funkcji złożonej wielu zmiennych

5)   gradient funkcji

6)   pochodna kierunkowa

dla funkcjiw kierunku prostej l, o wektorze kierunkowymw punkcie

gdzie:

7)   obliczanie wartości przybliżonych

8)   ekstrem funkcji wielu zmiennych

warunek konieczny

→ punkty stacjonarne (P0)

warunek dostateczny

1.   - w P0 jest minimum

2.   - w P0 jest maksimum

3.   - w P0 nie mam ekstremum

4.   - przypadek nie rozstrzygnięty (badać z definicji)

ogólnie dla formy kwadratowej

istotnie dodatnio określona – w Pn jest min (wszystkie w1, w2, w3…>0)

istotnie ujemnie określona – w Pn jest max (w1<0, w2>0, w3<0…)

nieokreślona – brak ekstremum

Całka podwójna

to- obszar normalny względem osi OX

to- obszar normalny względem osi OY

Całka podwójna we współrzędnych biegunowych

Uogólnione współrzędne biegunowe

D – elipsa:

Zastosowania całek podwójnych

1.   pole obszaru płaskiego

2.   masa

3.   moment bezwładności względem osi OX

4.   środek ciężkości

5.   moment bezwładności względem osi (0,0)

6.   masa rozłożona na powierzchni o równaniu z = f(x,y) i gęstości ρ(x,y,z)

7.   pole powierzchni

Całka potrójna

Całka potrójna we współrzędnych walcowych

φ

Całka potrójna we współrzędnych sferycznych

φ

Zastosowania całek potrójnych

1.   objętość