fizyka sciaga 2 koło.doc

(280 KB) Pobierz

1. Ruch harmoniczny drgania opisane funkcją harmoniczną (sinusoidalną), jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań.

Ruch harmoniczny jest często spotykanym rodzajem drgań, wiele rodzajów jest w przybliżeniu harmoniczna. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Przekształceniem umożliwiającym rozkład ruchu drgającego na drgania harmoniczne jest transformacja Fouriera.

Ruch harmoniczny prosty

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się tylko pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi (Prawo Hooke'a):

$\vec{F}= -k\vec{x}$ gdzie $\vec{F}$ - siła,

k - współczynnik sprężystości,

$\vec{x}$ - wychylenia z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać jako:

$a = -\frac{k}{m} x$ (Druga Zasada Dynamiki Newtona), w postaci różniczkowej:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\frac{k}{m} x$

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można opisać przez równania:

$x(t)= A \sin(\omega_0 t) +B \cos(\omega_0 t) \,$

$x(t)= C \sin(\omega_0 t+\varphi)$

$x(t)= D \cos(\omega_0 t+\varphi')$

gdzie: $\omega_0 =\sqrt{ \frac k m}$ jest częstością kołową drgań,

$A,B,C,\varphi,D,\varphi'$ stałe zależne od warunków początkowych.

Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

Częstość kołową ω0 wiąże z Okresem drgań T związek:

$T=\frac{2\pi}{\omega_0}$ ,

częstotliwość drgań ν natomiast wynosi

$\nu=\frac{\omega_0}{2\pi}.$

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

Amplituda – nieujemna wartość określająca wielkość przebiegu funkcji okresowej

Amplituda A w przebiegach sinusoidalnych jest maksymalną wartością tego przebiegu:

$y=A \sin(\omega t +\varphi)$ (1)

W przypadku funkcji ze składową stałą, amplituda dotyczy tylko części sinusoidalnej:

$y=A \sin(\omega t +\varphi) +B$ (2)

Okres (w fizyce) to odcinek czasu wyrażony w sekundach. Wiąże się on bezpośrednio z pojęciem zjawisk w których jakaś wielkość powtarza się np. fali i drgań. Jest to najmniejszy czas potrzebny na powtórzenie się wzoru oscylacji. Dla fali oznacza to odcinek czasu pomiędzy kolejnymi szczytami lub dolinami. Z innymi parametrami ruchu okresowego wiążą go następujące zależności:

$T=\frac{1}{f},$ gdzie: f - częstotliwość,

$T=\frac{2\pi}{\omega}$ gdzie: ω- pulsacja(częstość).

$T=\frac{\lambda}{v}$ gdzie:

λ - długość fali,

v - prędkość rozchodzenia się fali.

Pulsacja (częstość kołowa) - wielkość określająca, jak szybko powtarza się zjawisko okresowe. Pulsacja jest powiązana z częstotliwością (f) i okresem (T) poprzez następującą zależność:

$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$

Faza fali – faza drgań punktu ośrodka w którym rozchodzi się fala.

Faza określa w której części okresu fali znajduje się punkt fali.

Fali harmonicznej [edytuj]

Dla fali harmonicznej faza jest wyrażona w radianach.

W najprostszym przypadku fali harmonicznej w jednorodnym i jednowymiarowym ośrodku, położenie punktu jest opisane równaniem:

$y(t,z)=A \sin(\omega t - k z + \phi)\,,$

gdzie:

A – amplituda fali,

ω – częstość fali,

t – czas,

k – wektor fali

z – współrzędna położenia

y – wielkość ulegająca falowaniu

2. Dudnienie drgań harmonicznych

W przypadku złożenia dwóch drgań harmonicznych o jednakowych amplitudach efekt można przedstawić w formie matematycznej.

Dla przypadku dwóch drgań o jednakowych amplitudach i częstościach ω1,ω2 przebieg drgań opisany jest funkcjami:

$\psi_1 = A\sin(\omega_1 t) \,$

$\psi_2 = A\sin(\omega_2 t) \,$

Przyjmuje się oznaczenia:

$\omega_w = \frac{\omega_1 + \omega_2} {2}$ $\omega_m = \frac{\omega_1 - \omega_2} {2}$

$\psi = A\sin(\omega_1 t)+A\sin(\omega_2t)\ = 2A\cos(\omega_m t)\sin(\omega_w t)$

Powstające w wyniku złożenia drganie można traktować jako drganie częstość równej średniej arytmetycznej częstości drgań składowych oraz powoli zmiennej amplitudzie, z częstością równą połowie różnicy częstości drgań składowych. Co można ujać matematycznie:

$\psi = A(t)\sin(\omega_w t) \,$

Drgania prostopadłe

Kiedy drgania punktu materialnego odbywają się równocześnie w dwóch prostopadłych do siebie kierunkach, np. wzdłuż osi x i y prostokątnego układu współrzędnych, to wypadkowy ruch tego punktu na płaszczyźnie można opisać z pomocą równań postaci:

gdzie j jest różnicą faz obu drgań składowych

3. Tłumienie (gaśnięcie) drgań, to stopniowe zmniejszenie się amplitudy drgań swobodnych wraz z upływem czasu, związane ze stratami energii układu drgającego. Tłumienie obserwowane jest zarówno w układach mechanicznych jak elektrycznych. W przypadku fal biegnących tłumienie prowadzi do zmniejszania się amplitudy fali wraz ze wzrostem odległości od źródła, co wynika z rozpraszania energii w otoczeniu falowodu.

Swobodne drgania tłumione

Równanie różniczkowe opisujące swobodne drgania tłumione:

$m\frac{d^2x(t)}{dt^2}+b\frac{dx(t)}{dt}+kx(t) = 0$

rozwiązaniem tego równania jest:

$x(t) = A_0 e^{-\gamma t + i \omega_T t}$ lub

x(t) = A0e − γtsin(ωTt + φ0)

gdzie:

$\gamma = \frac{b}{2m}$ - współczynnik tłumienia

$\omega_T = \sqrt{\omega^2 - \gamma^2}$ - częstość drgań tłumionych

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ - częstość drgań układu bez tłumienia

φ0 - faza początkowa, parametr drgań.

Rozwiązanie to można przedstawić jako: $x(t) = A(t) e^{i \omega_T t}$ , co pokazuje, że swobodne drgania tłumione, o niezbyt dużym tłumieniu, są drganiami o częstości ωt z amplitudą zależną od czasu: A(t) = A0e − γt

Równanie różniczkowe drgań tłumionych

Rozwiązanie równania różniczkowego - równanie ruchu drgań tłumionych

Amplituda drgań tłumionych:

Gdzie:
ω - częstość kołowa drgań bez tłumienia

częstość kołowa drgań tłumionych:

współczynnik tłumienia:

Logarytmiczny dekrement tłumienia

Logarytm z ilorazu „amplitudy” (chwilowej) w stosunku do „amplitudy” po czasie równym okresowi drgań.

Słuszne, gdy ω > β (ω1 - istnieje jako liczba rzeczywista)

4. Drgania wymuszone zachodzą pod wpływem zewnętrznej siły, będącej źródłem energii podtrzymującej drgania.

Siła wymuszająca FW ma zwykle charakter siły o wartości okresowo zmiennej:

FW = FW0sinωt

gdzie: FW0 – amplituda siły wymuszającej.
Amplituda drgań wymuszonych nie jest stała i zależy od częstości siły wymuszającej ω.
Amplituda drgań wymuszonych wyraża się wzorem:

Rezonans - zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiajace się pochłanianiem energii poprzez wykonywanie drgań o dużej amplitudzie przez układ drgający dla określonych częstotliwości drgań.

5. Fala poprzeczna jest to fala, w której kierunek drgań cząstek ośrodka jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali.

Fale elektromagnetyczne są falami poprzecznymi.

Fala podłużna to fala, której drgania odbywają się w kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia się. Przykładem fali podłużnej jest fala dźwiękowa.

Fala płaska - jest to fala o stałej częstotliwości, której powierzchnie falowe (powierzchnei o jednakowej fazie) tworzą równoległe do siebie linie proste gdy fala rozchodzi się po powierzchni lub płaszczyzny, gdy rozchodzi się w przestrzeni.

Matematycznie fala płaska jest rozwiązaniem równania falowego o następującej postaci:

$u(\vec{x},t) = a e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega t)}$

gdzie i jest jednostką urojoną, k wektorem falowym, ω częstością kołową a a amplitudą.

Fala kulista - fala, której powierzchnie falowe mają kształt współśrodkowych powierzchni kulistych. Środek tych powierzchni nazywamy środkiem fali. Tego typu fale wzbudzane są w jednorodnym ośrodku izotropowym przez pojedyncze źródło punktowe. Funkcja opisująca drgania dla skalarnej fali kulistej jest postaci:

$F(x,y,z,t) = F(r,t)\,$

Oznacza to, że na danej sferze o środku w punkcie, z którego fala się rozchodzi jest stała faza

Fala monochromatyczna płaska to fala harmoniczna o postaci:

gdzie: - częstość kołowa fali; - amplituda zespolona; - liczba falowa

Długość fali to odległość pomiędzy powtarzającym się fragmentem fali. Tradycyjne oznacza się ją grecką literą λ. Dla fali sinusoidalnej długość to odległość między dwoma szczytami.

Zależności, wiążące długość fali z innymi parametrami:

$\lambda=v\cdot T$ $\lambda=\frac{v}{f}$ $\lambda=\frac{2\pi\cdot v}{\omega}$

gdzie:

v - prędkość fali

T - okres fali

f - częstotliwość

ω - pulsacja(częstość kołowa).

Wektor falowy - wektor oznaczany K, wskazujący kierunek rozchodzenia się fali i opisujący oscylacje fali w przestrzeni. Jego długość k = 2π / λ, gdzie λ to długość fali. Fala opisuje oscylacje w przestrzeni i czasie

$\psi \left(t , {\mathbf r} \right) = A \cos \left(\phi + {\mathbf k} \cdot {\mathbf r} + \omega t\right)$

Wektor falowy jest uogólnieniem liczby falowej opisującej falę w ośrodku jednowymiarowym:

$\psi \left(t , z\right) = A \cos \left(\phi + k z + \omega t\right)$

6. Interferencja to zjawisko nakładania się fal prowadzące do zwiększania lub zmniejszania amplitudy fali wypadkowej. Interferencja zachodzi dla wszystkich rodzajów fal, we wszystkich ośrodkach, w których mogą rozchodzić się dane fale. W ośrodkach nieliniowych oprócz interferencji zachodzą też inne zjawiska wywołane nakładaniem się fal, w ośrodkach liniowych fale o jednakowej częstotliwości ulegając interferencji spełniają zasadę superpozycji.

Dyfrakcja to zjawisko fizyczne zmiany kierunku rozchodzenia się fali na krawędziach przeszkód oraz w ich pobliżu. Zjawisko zachodzi dla wszystkich wielkości przeszkód ale wyraźnie jest obserwowane dla przeszkód o rozmiarach porównywalnych z długością fali.

Zasada Huygensa mówi, iż każdy punkt ośrodka, do którego dotarło czoło ...

Plik z chomika:

Krzysiekw610i

fizyka sciaga 2 koło.doc

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: