Matematyka w fizyce.pdf

(285 KB) Pobierz
380884601 UNPDF
MMF 1
Metody Matematyczne Fizyki I – 2005/6
dr hab. Jan Iwaniszewski
Wykład (dla studentów I roku Fizyki, Fizyki Technicznej, Astronomii oraz Automatyki i Robotyki) wprowadza podsta-
wowe poj¦cia, operacje i metody matematyczne stosowane w fizyce i technice. Główny nacisk poło»ony jest na intuicyjne
zrozumienie istoty poszczególnych operacji, a przede wszystkim na zdobycie biegło±ci rachunkowej. Do wykładu prowadzone
s¡ ¢wiczenia rachunkowe. Zaliczenie przedmiotu nast¦puje po zaliczeniu ¢wicze« i zdaniu egzaminu ko«cowego.
Tre±¢ wykładu
1. Liczby, podstawowe działania.
2. Funkcja jednej i wielu zmiennych: podstawowe poj¦cia, funkcje elementarne, granica i ci¡gło±¢ funkcji.
3. Ró»niczkowanie funkcji: pochodna i ró»niczka funkcji jednej zmiennej, pochodna cz¡stkowa, ró»niczka zupełna, pochod-
ne wy»szych rz¦dów, szereg Taylora.
4. Całkowanie funkcji: całka nieoznaczona i oznaczona funkcji jednej zmiennej, podstawowe metody całkowania, całki
wielokrotne.
5. Równania ró»niczkowe zwyczajne: równania I rz¦du o rozdzielonych zmiennych, równania liniowe I i II rz¦du.
6. Współrz¦dne: układ współrz¦dnych kartezja«skich, biegunowych, cylindrycznych i sferycznych.
7. Algebra wektorów: dodawanie i mno»enie przez skalar, rozkład na składowe, zale»no±¢ liniowa, przestrze« wektorowa,
iloczyn skalarny i wektorowy.
8. Analiza wektorowa: pole skalarne i wektorowe, ró»niczkowanie i całkowanie wektorów, gradient, dywergencja, rotacja.
9. Metody przybli»one: szacowanie rz¦du wielko±ci, rozwini¦cie w szereg.
10. Rachunek prawdopodobie«stwa: podstawowe poj¦cia, warto±¢ ±rednia i wariancja, rozkład jednorodny i normalny.
11. Analiza pomiarów fizycznych: bł¦dy i niepewno±ci, pomiary bezpo±rednie i po±rednie, prezentacja wyników, regresja
liniowa.
Zalecana literatura
1. F. W. Byron, R. W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, T. I (PWN, Warszawa, 1973)
2. G. M. Fichtenholz, Rachunek ró»niczkowy i całkowy, T. 1-3I (PWN, Warszawa, 1999)
3. E. Kara±kiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów (PWN, Warszawa, 1971).
4. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, T. I-II (PWN, Warszawa, 1999)
5. W. Korczak, M. Trajdos, Wektory, pochodne, całki ((PWN, Warszawa, 1997)
6. W. Leksi«ski, I. Nabiałek, W. akowski, Matematyka dla studiów eksperymentalnych (WNT, Warszawa, 1977)
7. K. Szałajko, Matematyka T.1 (PWN, Warszawa, 1984)
8. S. Romanowski, W. Wrona, Matematyka wy¹sza dla studiów technicznych (PWN, Warszawa, 1962)
9. B. Gdowski, E. Pluci«ski, Zbiór zada« z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej (Oficyna Wydawnicza Poli-
techniki Warszawskiej, 2000)
10. G. A. Korn, T. M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i technicznych, cz. 1 i 2 (PWN, Warszawa, 1983)
11. red. I Dziubi«ski, T. wi¡tkowski, Poradnik Matematyczny, cz.1 i 2 (PWN, Warszawa, 1985)
12. I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Matematyka, poradnik encyklopedyczny (PWN, Warszawa, 1968)
13. B. Piłat, M. J. Wasilewski, Tablice całek (WNT, Warszawa, 1983)
14. A. Bielski, R.Ciuryło, Podstawy metod opracowania pomiarów (Wyd. UMK, Toru«, 2001)
15. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna (PWN, Warszawa, 1999)
MMF 2
Przedrostki liczbowe
wielokrotno±ci
powielokrotno±ci
10 3
kilo
k
10 − 3
mili
m
10 6
mega M
10 − 6
mikro µ
10 9
giga G
10 − 9
nano
n
10 12
tera T
10 − 12
piko
p
10 15
peta P
10 − 15
femto f
10 18
eksa E
10 − 18
atto
a
10 1
deka da
10 − 1
decy
d
10 2
hekto ha
10 − 2
centy c
Silnia
n ! = 1 · 2 · 3 · ... · ( n − 1) · n, 0 ¬ n, 0! = 1
Symbol Newtona
n
k
=
n !
k !( n − k )! , k ¬ n
X
n
k
( a + b ) n =
a k b n − k
Dwumian Newtona
k =0
Zadania I
Symbol Newtona
Wykaza¢, »e:
n
k
n
n − k
n
1
n
2
n
n
1.
=
,
3. 1 +
+
+ ... +
= 2 n ,
n
k
n
k − 1
n + 1
k
n
1
n
2
n
n
2.
+
=
,
4. 1 −
+
− ... + ( − 1) n
= 0,
Szacowanie rz¦du wielko±ci
1. Promie« Wszech±wiata szacuje si¦ na 10 26 m , a liczb¦ nukleonów we Wszech±wiecie na 10 80 . Oszacowa¢ mas¦ Wszech-
±wiata, ±redni¡ g¦sto±¢ materii i ±redni¡ ilo±¢ nukleonów w 1 m 3 .
2. (Feynman T I cz.1 s.365) Dawno temu, w erze paleozoicznej kropla popołudniowej ulewy upadła na błotnist¡ równin¦,
pozostawiaj¡c trwały ±lad. Slad ten w postaci skamieliny odkopał pewnego upalnego dnia w wiele lat pó¹niej student
geologii. Wys¡czywszy do dna wod¦ ze swojej manierki student ten bezskutecznie si¦ zastanawiał, ile cz¡steczek wody
z tej staro»ytnej kropli mogło znajdowa¢ si¦ w manierce, któr¡ przed chwil¡ opró»nił. Spróbuj Ty oceni¢ t¦ liczb¦.
3. Oszacowa¢ jaki rezultat osi¡gn¡łby skoczek wzwy» na Ksi¦»ycu, je»eli przyspieszenie grawitacyjne jest tam 6-krotnie
mniejsze ni» na Ziemi.
4. Ciekły hel ma g¦sto±¢ = 0 . 13 g/cm 3 . Oszacowa¢ warto±¢ promienia atomu He zakładaj¡c, »e atomy s¡ upakowane w
najg¦stszej mo»liwej konfiguracji, która wypełnia 74% przestrzeni.
5. Jaki wpływ na wyniki konkurencji biegowych miało ustawienie strzelaj¡cego z pistoletu startera na murawie stadionu?
Dlaczego obecnie zawodnicy maj¡ gło±niki wmontowane w bloki startowe? Jak to pogodzi¢ z faktem, »e na mecie
fotokomórka ustawiona jest w dalszym ci¡gu z boku bie»ni?
6. Cegła wa»y kilogram i pół cegły. Ile elektronów zawiera jedna cegła? (Głównym składnikiem glinek ceramicznych jest
kaolinit Al 2 Si 2 O 9 H 4 .)
MMF 3
Funkcje elementarne
x a , a x , log a ( x ), sin( x ), cos( x ), tan( x ), cot( x ), arcsin( x ), arccos( x ), arctan( x ), arccot( x )
Zadania II
Funkcje
1. Okre±li¢ dziedzin¦ i przeciwdziedzin¦ wszystkich funkcji elementarnych (w przypadku funkcji wykładniczej i logaryt-
micznej uwzgl¦dni¢ wszystkie mo»liwe warto±ci parametru a ).
2. Narysowa¢ na jednym wykresie przebieg nast¦puj¡cych funkcji:
(a) y = x w dla ró»nych warto±ci rzeczywistego wykładnika w (uwzgl¦dni¢ wszystkie mo»liwe typy krzywych), okre±li¢
wzajemne relacje miedzy nimi,
(b) a x i log a ( x ) dla ró»nych warto±ci podstawy a , w tym dla a = 10 i a = e ,
(c) funkcje trygonometryczne i funkcje do nich odwrotne (cyklometrycznych),
3. Korzystaj¡c z wzorów na sin( a + b ), cos( a + b ) i jedynki trygonometrycznej:
(a) znale¹¢ wzór na tg( a + b ) i ctg( a + b ),
(b) przedstawi¢ sin( a ) ± sin( b ) oraz cos( a ) ± cos( b ) w postaci iloczynu funkcji sin i cos,
(c) przedstawi¢ ka»d¡ funkcj¦ trygonometryczn¡ przez ka»d¡ inn¡ funkcj¦ (wzi¡¢ pod uwag¦ warto±ci x w ró»nych
¢wiartkach układu współrz¦dnych)
(d) przedstawi¢ wszystkie funkcje trygonometryczne od argumentu połówkowego a/ 2 (np. sin( a/ 2)) przy pomocy
funkcji od argumentu a i odwrotnie.
4. Upro±ci¢ wyra»enia
(a)
( a 2 − b 2 ) ( a + b ) 2 − ab
b 3 − a 3
·
a − a 2
a − b
b ( a + 2 b )
b − a
b 2
a − b
+
(b)
1 2+3
−
2 3
+
3 2
− a −
8
9 a + 6
+
18
128 a + 48
1
1
1
1 −
2 −
3 −
1
a
1
a
1
a
1 +
2 +
3 +
(c)
(1 − e − 2 x ) 2 + 2(1 + e − x ) − 4
e x − e − x
b x + y · log b
a x − y − log b
a y − x · log a
b y + x
(d) log a
1 − tan( x ) 2
1 + tan( x ) 2
(e)
sin x ± sin y
cos x ± cos y
(e) arcsin
(f)
sin x + sin y
sin x − sin y
(f) arccos
p 2
cos( x ) + cos( x −
2 )
(g)
cos x − cos y
cos x + cos y
(g) arctan
1
tan x + cot y −
1
cot x + tan y
(h)
tan a + tan b
tan a − tan b +
cot a + cot b
cot a − cot b
" p
#
1 − sin(2 x ) 2
− sin(2 x )
(h) arccot
tan a + tan b
cot a + cot b + 1
tan a − tan b
cot a − cot b − 1
h p 2 cos
i
(i)
(i) arcsin
x + arcsin
− p 2
− cos x
"
1
(cos (arctan x )) 2 − 2 cos
−
3
#
(j) ln
(j) cos(4 arccos( x ))
(k) sin(2 arctan( x ))
380884601.001.png 380884601.002.png
MMF 4
Wektory
Kombinacja liniowa wektorów
a + b + c = d
Wektory a , b i c s¡ liniowo niezale»ne wtedy i tylko wtedy gdy a + b + c = 0 jedynie dla = = = 0.
Iloczyn skalarny
a · b = b · a = | a || b | cos
< )( a,b )
= a x b x + a y b y + a z b z
Iloczyn wektorowy
a × b = − b × a = | a || b | sin
< )( a,b )
e ? =
e x e y e z
a x a y a z
b x b y b z
,
gdzie e ? ? a i e ? ? b oraz wektory a , b i e ? tworz¡ układ prawoskr¦tny.
Iloczyn mieszany
[ a,b,c ] a · ( b × c ) = b · ( c × a ) = c · ( a × b ) = − a · ( c × b ) = − c · ( b × a ) = − b · ( a × c ) =
a x a y a z
b x b y b z
c x c y c z
Podwójny iloczyn wektorowy
a × ( b × c ) = ( a · c ) b − ( a · b ) c
Zadania III
1. Rozło»y¢ wektor w na składowe wzdłu» wektorów a i b (geometrycznie i algebraicznie) oraz na składowe wzdłu» wek-
torów a , b i c (algebraicznie):
w a b
(5 , 5) (2 , 1) (1 , 3)
(5 , − 3) (1 , 3) ( − 1 , 3)
(0 , 5) ( − 2 , − 1) (2 , − 4)
(1 , 2)
w a b c
(0 , 2 , 6) (1 , 1 , 1) (1 , − 1 , 1) ( − 1 , 1 , 1)
(2 , − 3 , 1) ( − 1 , 1 , − 1) ( − 1 , − 1 , − 1) (1 , − 1 , 1)
( − 1 , − 3 , 2)
(1 , 0 , 0)
(0 , 1 , 0)
(0 , 0 , 1)
( − 3 , 1) ( − 2 , − 4)
( − 1 , − 3 , 2)
(1 , 0 , 0)
(0 , 1 , 0)
(1 , 1 , 1)
(3 , 3)
( − 1 , 2)
(2 , − 4)
(2 , 5 , − 2)
(3 , 1 , − 2)
(2 , − 3 , − 3) (0 , − 3 , − 4)
(3 , 2 , − 7)
(3 , − 2 , 1)
(1 , − 2 , 3)
(4 , 0 , − 1)
(7 , − 3 , 0)
(2 , 3 , − 3)
(1 , 4 , − 5)
(1 , − 1 , 2)
2. Dla jakich warto±ci parametru p wektory a , b i c s¡ liniowo niezale»ne?
a b c
(2 , − 3 , 4) (0 , − 1 , 2) ( − 2 , 2 ,p )
( − 3 , 2 , − 2) (1 ,p, 1) (3 , − 2 , 3)
(3 , − 2 , − 1) ( − 2 , 3 , 4) ( p, − 2 , − 3)
(2 , − 1 , 1) (3 ,p, − 3) ( − 4 , 2 , 2)
3. W dowolnym pi¦ciok¡cie poprowadzono 5 wektorów ze ±rodka ka»dego boku do przeciwległego wierzchołka. Wykaza¢,
»e suma tych wektorów jest równa zeru. Jaki ogólny wniosek mo»na wysnu¢ z tego zadania?
MMF 5
4. Wektory a , b i c tworz¡ boki trójk¡ta ABC . Wykaza¢, »e je»eli punkty D , E i F dziel¡ odpowiednio boki BC , CA i
AB w stosunku m : n , to z wektorów −− AD , −− BE i −− CF mo»na zbudowa¢ trójk¡t.
5. Wykaza¢, »e je»eli wektory A , B , C i D maj¡ wspólny pocz¡tek, a ich ko«ce le»¡ na jednej płaszczy¹nie to D =
A + B + C , gdzie + + = 1.
6. Rozłozy¢ wektor p na składowe prostopadł¡ i równoległ¡ do wektora q , oraz odwrotnie - wektor q wzgl¦dem wektora
p , dla:
p q
(1 , 8) (2 , − 3)
( − 5 , 2) (0 , − 4)
( − 1 , 4) (2 , − 8)
(5 , − 1) (3 , − 1)
p q
(1 , 1 , 1) (1 , − 1 , 1)
(2 , − 1 , 3) (0 , 1 , 1)
( − 2 , − 3 , 6) (4 , 0 , − 1)
( − 3 , − 1 , 1) (2 , − 1 , 5)
7. Wyznaczy¢ wektor jednostkowy prostopadły do wektorów a = (1 , − 1 , 0) i b = (1 , 1 , 1).
8. Wektor A = (2 , 1) ma pocz¡tek w punkcie (0 , 0). Znale¹¢ wektor prostopadły do niego o pocz¡tku w punkcie (2 , − 1) i
ko«cu le»¡cym na wektorze A .
9. Udowodni¢, »e przek¡tne rombu przecinaj¡ si¦ pod k¡tem prostym.
10. Znale¹¢ składowe wektora −−−!
P 1 P 2 równoległ¡ i prostopadł¡ do wektora −−−!
P 1 P 3 dla punktów P 1 (1 , 2 , − 1), P 2 (0 , 4 , − 3) i
P 3 ( − 1 , − 2 , 3).
11. Znale¹¢ odległo±¢ punktu A (2 , 3 , 1) od prostej zadanej parametrycznie r = p + µq dla p = (2 , − 1 , 3) i q = (1 , 1 , − 2).
12. Je»eli wektor a le»y na płaszczy¹nie, to jego cosinusy kierunkowe spełniaj¡ relacj¦ cos 2 ( ' x ) + cos 2 ( ' y ) = 1, gdy»
cos( ' y ) = sin( ' x ). Znale¹¢ relacj¦ wi¡»¡c¡ cosinusy kierunkowe wektora w przestrzeni trójwymiarowej.
13. Wektor a tworzy z osi¡ OX k¡t 60 o , a z osi¡ OZ k¡t 135 o . Jaki jest k¡t pomi¦dzy wektorem a i osi¡ OY ?
14. Pewien wektor tworzy z osiami układu kartezja«skiego k¡ty , 2 i 3 . Wyznaczy¢ wszystkie mo»liwe warto±ci k¡ta .
15. Obliczy¢ obj¦to±¢ czworo±cianu o wierzchołkach w punktach L 1 (0 , 0 , 1), L 2 (0 , 1 , 0), L 3 ( − 1 , 0 , 1) i L 4 (1 , − 1 , 0).
16. W punktach A ( − 2 , − 1 , 0) i B ( − 3 , 2 , 1) zaczepione s¡ dwa wektory: − AC = (2 , − 4 , 1) i −− BD = (0 , − 4 , 3). Je»eli wektory
te nie le»¡ w jednej płaszczy¹nie to mo»na na nich zbudowa¢ równoległo±cian (Jak? Czy w sposób jednoznaczny?).
Obliczy¢ jego obj¦to±¢.
17. Wektory −− AB = (0 , − 4 , 0), − AC = (0 , 0 , − 4) i −− AD = (4 , 0 , 0) tworz¡ kraw¦dzie pewnego czworo±cianu. Obliczy¢ pole
powierzchni tego czworo±cianu.
18. Wyrazi¢ w prostszej formie (tzn. w postaci wymagaj¡cej prostszych oblicze«) nast¦puj¡ce iloczyny:
(a) ( a × b ) · ( c × d )
(b) ( a × b ) × ( c × d )
(c) a × ( b × c ) + b × ( c × a ) + c × ( a × b )
(d) ( a × b ) · ( c × d ) + ( b × c ) · ( a × d ) + ( c × a ) · ( b × d )
19. Wykaza¢ słuszno±¢ nast¦puj¡cych relacji:
h
i
(a) ( a × b ) ·
( b × c ) × ( c × a )
= [ a,b,c ] 2
(b) ( a × b ) 2 ( a × c ) 2 −
h
( a × b ) · ( a × c )
i 2
= a 2 [ a,b,c ] 2
20. Wykaza¢, »e je»eli a , b i c nie le»¡ na jednej płaszczy¹nie, to dla dowolnego d zachodzi relacja
[ a,b,c ] d = [ b,c, d ] a + [ a, d,c ] b + [ a,b, d ] c
21. Z wersorów ~ i , j , k zbudowa¢ potrójny iloczyn wektorowy typu ( a × b ) × ( c × d ) o najwi¦kszej warto±ci.
22. Dane s¡ wektory a i b . Znale¹¢ wektor c spełniaj¡cy relacje: c × a = b i c · a = 0.
23. Dane s¡ niezerowe wektory a , b i c oraz parametry liczbowe i . Wyznaczy¢ wektory x i y spełniaj¡ce układ równa«:
x + y × c = a oraz y + x × c = b . Poda¢ wzór ogólny oraz rozwi¡zanie dla a = (5 , − 3 , 0), b = (6 , 1 , − 5), c = (1 , − 1 , − 1),
= 2 i = − 1.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin