wykl_teoria_sprezystosci_11_teoria_plyt_cienkosciennych.pdf

(153 KB) Pobierz
Microsoft Word Viewer 97 - Wyk³ad_11_teoria p³yt cienkoœciennych.doc
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
T EORIA PŁYT CINKOŚCIENNYCH
1
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam Łodygowski,
Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J ERZY R AKOWSKI
Poznań 2002/2003
TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 11
TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH
III. Brzeg swobodny
W wyniku przyjęcia hipotezy prostoliniowego elementu musimy warunki brzego-
we wyrazić w postaci dwóch tylko wielkości statycznych (w przypadku trzech
warunków otrzymalibyśmy sprzeczność – zadanie niewyznaczalne). Dla
wyeliminowania nadliczbowego warunku brzegowego należy trzy wielkości:
moment zginający i skręcający oraz siłę poprzeczną sprowadzić do dwóch:
momentu zginającego i zastępczej siły poprzecznej, która będzie wypadkową
siły poprzecznej i siły od momentu skręcającego. W tym celu zastąpimy
brzegowy moment skręcający parami sił o ramionach dy rozmieszczonymi w
sposób ciągły i dodamy do sił poprzecznych działających w przekroju podporo-
wym.
Rozpatrzmy brzeg płyty prostopadły do osi 0x i podzielmy go na równe odcinki
nieskończenie małe dy. Na każdy taki odcinek działa odpowiedni moment skręca-
jący
M
xy
dy
M
+
M
xy
dy
dy
xy
y
(11.1)
M
M
+
2
xy
dy
dy
xy
y
itd
Który możemy zastąpić parą sił o ramieniu dy i odpowiednich siłach
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
54622919.004.png
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
T EORIA PŁYT CINKOŚCIENNYCH
2
M
xy
M
+
M
xy
dy
xy
y
(11.2)
M
M
+
2
xy
dy
xy
y
itd
Tak jak pokazano na rysunku
M
M xy
dy
M
+
xy
dy
dy
M
xy
y
xy
M
+
M
xy
dy
xy
y
M
+
2
M
xy
dy
xy
y
M
+
2
M
xy
dy
dy
xy
y
Rys. 11.1. Zamiana momentów skręcających na siły poprzeczne
Po zsumowaniu przeciwnie skierowanych sił na granicy dwóch elementarnych
odcinków otrzymamy wypadkową
Q
=
M
xy
dy
(11.3)
xz
y
Sumując otrzymaną siłę z siłą poprzeczną otrzymamy zastępczą siłę poprzeczną
na krawędzi równoległej do osi 0y
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
54622919.005.png
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
T EORIA PŁYT CINKOŚCIENNYCH
3
Q
xz Q
=
Q
+
(11.4)
xz
xz
Wykorzystując znane zależności
( )
2
w
M
=
D
1
xy
x
y
(11.5)
3
w
3
w
Q
=
D
+
xz
x
3
x
y
2
Otrzymamy:
3
w
3
w
( )
3
w
Q
*
=
Q
*
=
D
+
D
1
(11.6)
xz
x
x
3
x
y
2
x
y
2
Ostatecznie otrzymaliśmy dwa warunki brzegowe w postaci:
3
w
( )
3
w
Q
*
=
D
+
2
x
x
3
x
y
2
(11.7)
M
x
=
0
Stosując identyczne rozumowanie dla płaszczyzny „y” otrzymamy wypadkową
Q
=
M
yx
dx
(11.8)
yz
x
Sumując otrzymaną siłę z siłą poprzeczną otrzymamy zastępczą siłę poprzeczną
na krawędzi równoległej do osi 0x
Q
yz Q
=
Q
+
(11.9)
yz
yz
Wykorzystując znane zależności
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
*
*
54622919.006.png 54622919.007.png 54622919.001.png
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
T EORIA PŁYT CINKOŚCIENNYCH
4
( )
2
w
M
=
D
1
yx
y
x
(11.10)
3
w
3
w
Q
=
D
+
yz
y
3
y
x
2
Otrzymamy:
3
w
3
w
( )
3
w
Q
*
=
Q
*
=
D
+
D
1
(11.11)
yz
y
y
3
y
x
2
y
x
2
Ostatecznie otrzymaliśmy dwa warunki brzegowe na płaszczyźnie „y” w
postaci:
3
w
( )
3
w
Q
*
=
D
+
2
y
y
3
y
x
2
(11.11)
M
y
=
0
IV. Styk dwóch brzegów swobodnych
Rys. 11.2. Ilustracja dodatkowej siły
W takim przypadku występuje pewien paradoks, a mianowicie dodatkowa nie-
zrównoważona siła (wynik działania momentu skręcającego) o wartości
P 2
=
M
xy
(11.13)
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
54622919.002.png
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
T EORIA PŁYT CINKOŚCIENNYCH
5
W praktyce siły te powodują np odrywanie się swobodnych końców płyt
leżących na gruncie. Aby temu zapobiec stosuje się w tych miejscach śruby
kotwiące.
Zginanie płyty prostokątnej podpartej przegubowo na czterech kra-
wędziach
Rys. 11.2. Schemat podparcia płyty
Zakładamy dowolne obciążenie płyty q(x,y)
Zapiszmy równanie ugięcia płyty w postaci:
4
w
4
w
4
w
q
() P
D
,
y
L
=
+
2
+
=
=
(11.14)
x
4
x
2
y
2
y
4
Warunki brzegowe na konturze płyty są następujące
w
=
0
=
(11.15)
M
0
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
x
54622919.003.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin