Jeśli Twój ojciec i dziadek nie mieli dzieci, to Ty prawdopodobnie też nie będziesz ich miał.

Prawdopodobieństwo

Niewiele jest pojęć matematycznych tak fałszywie pojmowanych i tak źle uczonych w szkole jak prawdopodobieństwo. Dlaczego tak jest? Zastanówmy się nad tym rachunkiem szans, tak ważnym dla banków, towarzystw ubezpieczeniowych i firm prowadzących gry liczbowe, jak ważny jest rachunek całkowy dla inżyniera. Chociaż probabilistyka była stosowana od 200 lat z okładem, uzyskała solidne matematyczne podstawy dopiero w latach trzydziestych XX wieku. W rachunku prawdopodobieństwa często używamy bowiem tak niejasnych i nieostrych terminów jak prawie na pewno czy około i jeżeli chcemy zaliczyć go do matematyki, musimy nawet i takim pojęciom nadać precyzyjne i jednoznaczne (czyli matematyczne) znaczenie. Może właśnie dlatego matematyczne podstawy teorii prawdopodobieństwa są trudne. Co to jest przypadek? Co to jest szansa? Jak bardzo prawdopodobne jest jakieś zdarzenie? Takie pytania mogą przychodzić do głowy codziennie, ale na ogół nie zaprzątamy nimi sobie zanadto głowy, bo każdy intuicyjnie wyczuwa, o co chodzi.

O tym, która drużyna zaczyna mecz piłkarski, decyduje los. Rzucona przez sędziego moneta może upaść na reszkę albo na orła i wynik rzutu wskazuje, komu przypadnie piłka. To jest sprawiedliwe losowanie, bo moneta "równie często" pada reszką, jak i orłem do góry. Co to jednak znaczy "równie często"? Jeżeli na sto rzutów monetą otrzymamy 51 reszek i 49 orłów, nie uznamy tego za coś podejrzanego. "Mieści się w granicach normy" - powiemy. Ale odchylenie 70:30 uznamy już - słusznie - za niezwykłe, choć niesłychanie rzadko może się to zdarzyć i przy uczciwym rzucaniu. Odwrotnie, jeżeli przy dziesięciu tysiącach rzutów wypadło by 5000 reszek i 5000 orłów, podejrzewalibyśmy, że taka precyzja jest wynikiem jakiejś manipulacji.

Nie potrzeba się uczyć matematyki, żeby wiedzieć, że prawdopodobieństwo wyrzucenia orła przy rzucie monetą jest równe 1/2, czyli 50%, fifty-fifty. Kostka do gry może pokazać jedną z liczb od 1 do 6 i mamy jednakowe szanse na każdą z nich. Losowo wyciągnięta karta z talii do brydża może być asem - z prawdopodobieństwem 1/13, a to dlatego, że wszystkich kart jest 52, wśród nich 4 asy, no a 52:4 = 13. Możemy się spodziewać, że jeżeli automat będzie tasował karty i wyciągał losowo jedną, zapisywał jaka ona jest, wkładał z powrotem do talii, tasował, wyciągał następną i tak dalej, to po bardzo długiej serii takich doświadczeń "prawie na pewno" około 1/13 to będą asy. Ujmuje to ściśle prawo wielkich liczb, które możemy sformułować mniej więcej tak: rzeczywisty rozkład wyników serii doświadczeń losowych jest tym bliższy idealnemu, teoretycznemu, im dłuższa jest seria. Dlatego właściciele sieci kasyn, Totolotka i wszelkich innych gier losowych mogą spać spokojnie. Matematyka zapewnia im stały przypływ gotówki. Bywają gorsze dni: ktoś gdzieś trafi w numer, wybierze wygrywającą szóstkę liczb, może nawet rozbije bank w jakimś małym kasynie i nie znaczy to, że następnego dnia wszystkim będzie źle iść, żeby się straty wyrównały, tylko, że... jakoś to będzie. Prędzej czy później dobra passa grających się skończy... prawie na pewno: z taką samą pewnością, jak to, że nie zginiemy jutro od upadku meteorytu. Prawo wielkich liczb należy do matematyki tak, jak i twierdzenie Pitagorasa.

Jeżeli rzucamy monetą 10 razy, to prawdopodobieństwo, że liczba orłów będzie 4, 5 lub 6 jest w przybliżeniu równe 0,66. Dla 100 rzutów prawdopodobieństwo, że otrzymamy nie mniej niż 40, a nie więcej niż 60 rzutów jest już 0,9648, a gdybyśmy rzucili milion razy i wypadło mniej niż 400000 albo więcej niż 600000 orłów, bylibyśmy świadkami zjawiska, którego teoretyczne szanse są poniżej jednego do miliarda. Im więcej prób, tym dokładniejszy jest rachunek - wyjaśnia właśnie prawo wielkich liczb.

Rachunek prawdopodobieństwa wyjaśnia, kiedy mamy prawo podejrzewać - ale tylko podejrzewać - że coś jest nie tak, że tych zbiegów okoliczności jest za dużo. Szansa, że na 10000 rzutów moneta padnie na reszkę dokładnie 5000 razy wynosi tylko osiem promil, czyli 1 do 125, a że na 100 rzutów liczba reszek będzie mniejsza niż trzydzieści jest równa około 0,000016, szesnaście do miliona. Rzucanie monetą bardzo dobrze ilustruje nieubłagalność prawa wielkich liczb: choć nie sposób przewidzieć wyniku pojedynczego rzutu, to nie ma ucieczki od żelaznych reguł rządzących prawdopodobieństwem. Prawo wielkich liczb działa tylko w dużej masie, statystycznie. Wyobraźmy sobie, że ktoś prosi nas o radę, jakie liczby skreślić na kuponie Totolotka (6 z 49). W pierwszym odruchu powiemy może: a to przecież wszystko jedno, każdy układ jest jednakowo prawdopodobny. Zawahamy się jednak, gdy znajomy upewni się: to znaczy 1, 2, 3, 4, 5, 6 jest równie dobry, co na przykład 7, 19, 23, 26, 39, 48? Otóż to właśnie. Prawdopodobieństwo, że w najbliższym losowaniu padną właśnie 1, 2, 3, 4, 5 i 6 jest dokładnie takie samo, co każdego innego układu: również tego, który trafił się w zeszłym tygodniu. Możemy tę zasadę wykorzystać do obliczenia, jaką to my właściwie mamy szansę na wzbogacenie się za pomocą systematycznej gry w Totka. Przecież kiedyś musi paść na moje, niechby i za dziesięć lat. Porachujmy. Maszyna losująca wybiera ponumerowane kulki po kolei, sześć z czterdziestu dziewięciu. Jaką szansę mamy na to, że pierwsza wylosowana kulka ma jeden z numerów, który obstawiliśmy? Oczywiście 6 do 49, czyli 6/49. Druga kulka losowana jest z 48 i tylko 5 nas zadowoli, 5 do 48. Za trzecim razem będzie to 4 do 47, potem 3 do 46, 2 do 45 i wreszcie 1 do 44. Szansa na szóstkę wyniesie zatem mniej niż jeden do czternastu milionów. Niezbyt dużo, ale i nie tak mało: prawie co tydzień ktoś w końcu tę szóstkę trafia. Wypełnijmy czternaście milionów kuponów, każdy inaczej. Wtedy wygramy. Nie inaczej. Szkoda czasu i pieniędzy na "sprawdzone systemy"... jeżeli nie mamy szczęścia.

"Co trzeci los wygrywa" wołają afisze. Ulegając, kupujemy los. Mamy pecha, los jest pusty. Kupujemy drugi. Znów nic. Trzeci też pusty. Jeszcze wszystko w porządku. "Co trzeci" nie znaczy "na trzy losy jeden musi wygrać", tylko, że na - powiedzmy - 100 losów, pustych jest 67 czy 66. Kupujemy zatem czwarty los. Pusty. "Coś chyba nie tak z tą loterią". "Powinniśmy chyba już coś wygrać". Opanowuje nas żyłka hazardu. Przy piątym pustym losie zaczynamy podejrzewać, że afisz kłamał: wygrywających losów jest mniej niż 1/3. Przypuszczenie to umacnia się, jeżeli nie wygramy za szóstym, siódmym i ósmym razem. Ale od którego momentu możemy "tak naprawdę" twierdzić, że loteria jest nieuczciwa? Że afisz kłamie? Stuprocentową pewność osiągniemy dopiero po wykupieniu 2/3 losów. Ale badanie uczciwości loterii poprzez wykupienie wszystkich losów przypomina nieco metodę odróżniania banknotów fałszywych od prawdziwych na podstawie ich popiołu. Musimy wobec tego zadowolić się przekonaniem, opartym na statystyce i rachunku szans.

Załóżmy, że losów jest kilkaset, tak, że ubytek kilku tylko w bardzo niewielkim stopniu zmienia stosunek pustych do pełnych. Pierwszy los daje nam s1 = 1/3 szans wygranej. Przy dwóch losach szansa dwukrotnej przegranej wynosi s2 = (2/3)2 = 4/9, a trzy kolejne losy są puste tylko w (2/3)3 części przypadków, ale dopiero s12 = 0,992 przekracza 99%. Gdybyśmy grali jednocześnie albo raz za razem na 1000 podobnych loteriach, najprawdopodobniej około 8 razy wyciągnęlibyśmy 12 kolejnych losów pustych.

Możemy powiedzieć tak: jeżeli 12 kolejnych losów loterii (w której podobno co trzeci los wygrywa) okaże się pustych, to albo mamy okropnego pecha, albo organizatorzy kłamią - przy czym ta druga ewentualność jest znacznie bardziej prawdopodobna. Mamy prawo mówić do znajomych: nie kupujcie losów tej loterii, bo jest nieuczciwa.

Zastosowaliśmy tutaj "weryfikację hipotezy". Postawiliśmy hipotezę: "loteria jest nieuczciwa" i okazało się, po wyciągnięciu 12 kolejnych losów pustych, że jest to niemal nieprawdopodobne, można by powiedzieć: praktycznie niemożliwe. Gdyby zależało nam na "bardziej wiarygodnym dowodzie" należałoby, rzecz jasna, przebadać więcej losów. Wiele procesów przypadkowych opisuje krzywa Gaussa. Według tej krzywej układają się odchylenia wzrostu ludzi od przeciętnej, długości ich stóp, rzeczywiste wagi "kilogramowych" toreb cukru, rzeczywiste rozmiary "takich samych" detali w zautomatyzowanym procesie produkcyjnym.

W pułapki rachunku prawdopodobieństwa wpadamy najczęściej wtedy, gdy stosujemy jego matematyczne prawa w niewłaściwy sposób. Z dobrą dokładnością możemy przyjąć, że mężczyzn jest tyle samo, co kobiet i wtedy prawdopodobieństwo, że dziesięć pierwszych osób, jakie spotkamy po wyjściu z domu to mężczyźni, jest równe 1/1024. Ale jeżeli oficer idzie przez dziedziniec jednostki wojskowej, to te szanse... są znacznie większe.

Drugi przykład jest jeszcze bardziej pouczający. Pewien młodzieniec nie mógł się zdecydować, u której z dziewczyn bywać częściej. Do Małgosi jechało się autobusem nr 1, do Zosi dwójką. Zdarzyło się jednak tak, że mama naszego niezdecydowanego wolała Małgosię jako synową. Postanowiła dyskretnie pokierować sprawą. "Zdaj się na los, synku" zaproponowała. "Wychodź z domu o przypadkowej porze i wsiadaj w ten autobus, który przyjedzie pierwszy". Jeżeli stwierdzisz, że u Małgosi bywasz częściej, żeń się z Małgosią, a jeśli u Zosi - to z Zosią. Każdy z nich kursuje co 20 minut i szanse są równe." Młodzieniec posłuchał matczynej rady. Po dłuższym czasie zorientował się, że u Małgosi bywa trzy razy częściej. "Los zdecydował" rozstrzygnął młodzieniec i ożenił się z nią, a mamusia powiedziała wtedy "Wiedziałam" i nagle młodzieniec zrozumiał cały podstęp: "jedynka" jeździła o 16:00, 16:20, 16:40, 17:00 i tak dalej co 20 minut, a "dwójka" o 16:05, 16:25, 16:55, 17:05 i tak dalej. Ale Małgosia była dobrą żoną, więc wszystko skończyło się szczęśliwie.

Bardziej wyrafinowany przykład stanowi gra telewizyjna. Za jedną z trzech bramek A, B, C stoi samochód, dwie pozostałe są puste. "Którą bramkę Pan wybiera?" pyta prowadzący. Gracz wskazuje na, powiedzmy, A. Prowadzący otwiera wtedy B i pokazuje, że jest ona pusta. "Może Pan zmienić wybór" proponuje. Jak powinien postąpić grający, by mieć większe szanse na wygranie samochodu? Wydaje się, że obie możliwości są jednakowo prawdopodobne. Samochód może być przecież za A albo za C, fifty-fifty. A jednak nie: szanse za tym, że jest w C, są dwa razy większe, niż że jest w A! Można to ściśle wyliczyć, ale można zrozumieć i bez rachunków: jeżeli samochód jest w A, prowadzący grę może otworzyć zarówno B jak i C, ale jeżeli samochód jest w B albo w C, to prowadzący nie ma wyboru: musi otworzyć tę, za którą nic nie ma. Dlatego należy zmienić pierwotny wybór. Nie gwarantuje to auta, a tylko zwiększa prawdopodobieństwo. To bardzo subtelna różnica.

- Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że na pokładzie samolotu jest bomba? - zapytał mnie kolega niematematyk.
- Jeden do dziesięciu tysięcy - odpowiedziałem ostrożnie.
- A że dwie bomby -?
- Kwadrat tego, czyli jeden do stu milionów.
- Aha - powiedział.
W kilka dni później dostałem wezwanie do sądu. Mój przyjaciel chciał przemycić bombę na pokład, twierdząc, że zwiększa w ten sposób bezpieczeństwo lotu, bo on przecież nie porwie samolotu. Mam być świadkiem na rozprawie...

Prawdopodobieństwo jest pojęciem, którego nie można stosować do zjawisk niepowtarzalnych, jednostkowych. Jakie było prawdopodobieństwo, że na Ziemi powstanie życie? To pytanie nie ma sensu. Musielibyśmy mieć "materiał statystyczny": kilkanaście lub kilkadziesiąt takich samych jak nasz Układów Słonecznych. Policzylibyśmy, na ilu z nich powstało życie i podzielili przez liczbę tych układów. Nonsens takiego podejścia jest widoczny od razu.

Bardzo trudne pojęciowo jest pojęcie przypadkowości. Ciąg cyfr

6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628

może wydawać się nam przypadkowy, dopóki nie odkryjemy reguły nim rządzącej: to po prostu kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego "złotej liczby" . Jesteśmy przekonani, że żadna z cyfr nie występuje w nim więcej razy niż powinna (przeciętnie raz na dziesięć), ale "na pewno" niczego nie wiemy. Już Simplicjusz w III wieku p.n.e (w dziele Physica) przytacza anegdotę1 o łysym staruszku, który szedł przez pole i nagle spadł na niego żółw i rozbił mu czaszkę. Zdarzenie to uchodziło za przejaw przypadkowości, ale Simplicjusz komentował je z punktu widzenia filozofii Demokryta: nic w przyrodzie nie dzieje się bez przyczyny. Otóż żółwia niósł w szponach orzeł i wypuścił go dlatego, że widząc pod sobą czaszkę łysego człowieka wziął ją za kamień. Orły posiadają następujący nawyk: unoszą żółwia i rzucają go na kamień, aby rozbić pancerz i dostać się do mięsa.

Czy można obliczyć prawdopodobieństwo takiego zdarzenia? Musielibyśmy znać liczbę łysych staruszków, ich współczynnik mobilności (ilu z nich wychodzi na spacery), liczbę kamieni, żółwi i orłów... a i tak wszystkie rachunki nie miałyby żadnego realnego sensu. A jednak towarzystwa ubezpieczeniowe muszą od czasu do czasu rozwiązywać podobne problemy: jaką stawkę zaproponować za ubezpieczenie się na życie wskutek spadku żółwia na głowę, a bardziej realnie: wskutek upadku meteorytu?

Spośród wszystkich liczb najważniejsze są te, którymi mogę opisać przyszłość. Czy w ogóle są takie liczby? Czy przyszłość jest przewidywalna? Czy wygram w Totka? Czy tej zimy nie złamię nogi na mojej ukochanej Goryczkowej? Czy moje nowe dziecko będzie chłopcem czy dziewczynką? Czy w Ziemię trafi kometa, niszcząc wszelkie życie?

Na tak sformułowane pytania nie potrafi sobie odpowiedzieć żaden człowiek, bo tego rodzaju wydarzeniami rządzi przypadek: przy Totku "czysty", przy zagadnieniu determinacji płci - nie całkiem. Ale rachunek prawdopodobieństwa wyjaśnia, że choć nie wiadomo, czy pan Kowalski trafi w najbliższych zakładach szóstkę, to w ciągu roku szóstek będzie w przybliżeniu tyle a tyle... Totalizator Sportowy ma prawo zakładać, że zarobi na czysto tyle a tyle złotych. Nie wiadomo, czy państwo Kowalscy będą mieli synka, czy córeczkę, ale w ciągu roku w Polsce urodzi się trochę więcej chłopców niż dziewczynek. Fabryka pieluszek Pampers-Boy i Pampers-Girl może produkować stale trochę więcej pieluszek dla chłopców, a trochę mniej dla dziewczynek. Nie wiem, czy akurat ja będę chodził w gipsie, ale w Zakopanem wiedzą, ile gipsu potrzeba na sezon. Przypadkowe, powtarzalne zdarzenia podlegają bardzo ścisłym prawom i my wszyscy planujemy naszą przyszłość stosując intuicyjnie rachunek szans, matematycznie nazywany rachunkiem prawdopodobieństwa, albo probabilistyką. Profesjonalnie stosują ten rachunek towarzystwa ubezpieczeniowe. Gdy ubezpieczam się na życie, proponują mi składkę zależną na ogół od bardzo wielu czynników: rachują moje szanse na przeżycie.

Matematyka przypadku jest bezlitosna. Z jednej strony powiada: śpij spokojnie, dyrektorze kasyna: na 99,99 procent to się nie zdarzy. Zrelaksuj się, trenerze - tytuł już wasz: prowadzicie w karnych już 4:0 - przecież oni by musieli strzelić pięć a wy żadnego! Nie licz, Zosiu, że życie nam się odmieni, gdy tylko wypełnimy ten kupon Totka. Premierze: nie musisz się liczyć z tym, że woda przekroczy stan alarmowy o 8 metrów.

Ale z drugiej strony rachunek szans ostrzega: nie można wykluczyć, że ktoś w kasynie trafi numer nawet 100 razy pod rząd. Jeśli szansa zdobycia bramki z karnego jest nawet 10 do 1, to i tak jeszcze oni mogą wygrać. W 1997 roku zdarzyło się przecież, że mistrzostwo Polski zdobyła drużyna przegrywająca do 87 minuty 0:2. Ktoś przecież wygrywa w Totka ... więc może w tym tygodniu my ... Panie premierze, gdyby te wały były przewidziane nie tylko na powódź stulecia, ale tysiąclecia ...

Przyzwyczailiśmy się już do tego, że przed każdymi wyborami instytuty badania opinii prognozują wyniki i, że czasami zdarzają się wpadki, jak chociażby ta z wyborów parlamentarnych we wrześniu 1998, kiedy już dwa dni po wyborach OBOP szacował frekwencję na 59 procent, a faktyczna wyniosła 48. Najtrudniej jest w takich przewidywaniach utrafić w reprezentatywną próbkę: wybrać np. 1000 osób tak, żeby było w nich odpowiednia liczba rolników, przedsiębiorców, robotników - ale także młodzieży i starszych, mieszkańców małych i dużych miast i tak dalej, i tak dalej. Wybór złej próbki fałszuje prognozy. Wszyscy wiemy, jak skomplikowane jest przewidywanie pogody: zależy ona od splotu wielu czynników, tak wielu, że nie sposób wszystkie ująć liczbami i czasem lepsze wyniki daje nasza intuicja. Stan atmosfery ziemskiej wydaje się znanym matematyce stanem chaosu. Chociaż od kilkunastu lat matematycy potrafią również porządkować chaos, do ścisłego przewidywania pogody droga wciąż bardzo daleka: mówi się, że przelot motyla w Tokio może zmienić pogodę w tydzień później w Londynie.

Fizycy twierdzą, że cząstki elementarne żyją w świecie, w którym rządzi statystyka. Pojedyncza cząstka "nie wie", czy zastosuje się do makroskopowych praw fizyki. Nie wie nawet, "gdzie jest". Jest falą, która jest "bardziej tu, a mniej tam", ale nigdzie na pewno. Nie jest łatwo to zrozumieć, a przeciwko takiej fizyce protestował i sam Albert Einstein. "Bóg nie gra w kości" mawiał i szukał teorii fizycznej, która nie musiałaby przyjmować takich karkołomnych założeń.

Pojęcia prawdopodobieństwa nadużywają też teoretycy literatury, posługując się nim w sposób intuicyjny (co jeszcze jest dozwolone), wyciągając pewne wnioski i twierdząc, że coś udowodnili matematycznie. Podobnie nie mają matematycznego sensu próby stworzenia klasyfikacji powieści na przykład ze względu na stopień prawdopodobieństwa opisywanych tam wydarzeń. Jak to bowiem mierzyć? Pamiętamy być może ze szkoły tajemniczy zbiór omega, zbiór zdarzeń elementarnych. Wszelkie obliczenia prawdopodobieństwa muszą się opierać na:
a. ustaleniu zbioru zdarzeń elementarnych - sytuacji, względem których będziemy porównywać wszystkie inne. Jeżeli popularnego malucha nie zaliczymy do samochodów (bo taki prymitywny), to prawdopodobieństwo spotkania Mercedesa na drodze będzie większe, niż gdyby Fiat 126 dostał zaszczytne miano samochodu.
b. przyjęciu, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne lub
c. ustaleniu miary wskazującej odchyłki od tej zasady.
d. wyliczeniu, które ze zdarzeń są sprzyjające: spełniają warunki narzucone w zadaniu (np. wyciągnięta karta ma być królem, dwie monety z czterech mają upaść orłem do góry, indagowany przez ankietera przechodzień głosował na post-komunistów itd.).

Probabilistyka (czyli teoria prawdopodobieństwa) jest dlatego trudna, że działa na granicy najbardziej teoretycznej z nauk a życiem, które jest, jakie jest i nie ogląda się na aksjomaty.

Michał Szurek

Kilka lat temu prasa doniosła o "autentycznym" wypadku zatopienia statku japońskiego przez krowę spadłą z nieba. "Okazało się", że mafia rosyjska ukradła pod Władywostokiem stado krów. Załadowali je do samolotu, by wywieźć w głąb Rosji. Wpadli jednak w burzę i uciekając przed nią wlecieli nad wody międzynarodowe. W międzyczasie krowy wpadły w panikę i zaczęły się miotać po samolocie. W trosce o swoje bezpieczeństwo mafiosi otworzyli luk bagażowy i krowy spadły do morza - a jedna z nich na kuter japoński. Historyjka ładna, ale, jak widzieliśmy, ma już 2300 lat.