wyklad14.pdf

WykÃlad14

PrzykÃladyizastosowaniaprzeksztaÃlce´nliniowych

PrzykÃlad1.Niech V i W b , ed , aprzestrzeniamiliniowyminadtymsamymciaÃlem K .

W´owczasprzeksztaÃlcenie f : V−!W danewzorem f ( ® )=£dla ®2V jestprzek-

sztaÃlceniemliniowym,bodla ®,¯2V , a2K : f ( ® + ¯ )=£=£+£= f ( ® )+ f ( ¯ )

oraz f ( a±® )=£= a± £= a±f ( ® ).PrzeksztaÃlcenietonazywamy zerowym lub trywialnym .

PrzykÃlad2.Niech V b , edzieprzestrzeni , aliniow , anadciaÃlem K .Niech a2K b , edzie

dowolnymustalonymelementemciaÃla K .WtedyprzeksztaÃlcenie Á a : V−!V danewzorem

Á a ( ® )= a±® dla ®2V ,jestliniowe,gdy˙zdla ®,¯2V , b2K mamy,˙ze Á a ( ® + ¯ )= a± ( ® + ¯ )=

a±® + a±¯ = Á a ( ® )+ Á a ( ¯ )oraz Á a ( b±® )= a± ( b±® )=( ab ) ±® =( ba ) ±® = b± ( a±® )= b±Á a ( ® ).

ToprzeksztaÃlcenienazywamy homoteti , a owsp´oÃlczynniku a . 2

PrzykÃlad3.Niech W b , edziepodprzestrzeni , aprzestrzeniliniowej V nadciaÃlem K .W´owczas

przeksztaÃlcenie f : W−!V danewzorem f ( ® )= ® dla ®2W jestoczywi´scieliniowe.Jestono

ponadtomonomorﬁzmempodprzestrzeni W wprzestrze´n V .Wszczeg´olno´sciprzeksztaÃlcenie

identyczno´sciowe id V : V−!V danewzorem id V ( ® )= ® dla ®2V ,jestprzeksztaÃlceniem

liniowym. 2

PrzykÃlad4.OpiszemywszystkieprzeksztaÃlcenialiniowe f : K n −!K m dlaustalonegociaÃla

K idladowolnychustalonychliczbnaturalnych m , n .Poniewa˙zwektory ² 1 =[1 , 0 , 0 ,..., 0] ,² 2 =

[0 , 1 , 0 ,..., 0] ,...,² n =[0 , 0 , 0 ,..., 1]tworz , abaz , eprzestrzeni K n orazdladowolnych x 1 ,...,x n 2

K jest[ x 1 ,...,x n ]= x 1 ±² 1 + ... + x n ±² n ,wi , ecnamocytwierdzenia3zwykÃladu13wszystkimi

przeksztaÃlceniamiliniowymi f : K n −!K m s , ajedynieprzeksztaÃlcenia f postaci:

f ([ x 1 ,...,x n ])= x 1 ±¯ 1 + ... + x n ±¯ n ,

dladowolnychustalonych ¯ 1 ,...,¯ n 2K m .Aledla j =1 ,...,n istniej , a a ij 2K ( i =1 ,...,m )

takie,˙ze ¯ j =[ a 1 j ,a 2 j ,...,a mj ],wi , ecst , adotrzymujemytzw. wz´oranalityczny nadowolne

przeksztaÃlcenieliniowe f : K n −!K m :

f ([ x 1 ,...,x n ])=[ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n ,...,a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n ] . (1)

Zauwa˙zmyponadto,˙zeje˙zeli a 0 ij 2K dla i =1 ,...,m , j =1 ,...,n s , atakie,˙zeprzeksztaÃlcenie f

danewzorem(1)speÃlniawz´or f ([ x 1 ,...,x n ])=[ a 0 11 x 1 + a 0 12 x 2 + ... + a 0 1 n x n ,...,a 0 m 1 x 1 + a 0 m 2 x 2 +

... + a 0 mn x n ],todla ¯ 0 j =[ a 0 1 j ,a 0 2 j ,...,a 0 mj ], j =1 ,...,n ,b , edziemymieli,˙ze ¯ 0 j = f ( ² j )= ¯ j ,

czyli a 0 ij = a ij dlawszystkich i , j .Wynikast , ad,˙zeprzeksztaÃlcenieliniowe f : K n −!K m

jestjednoznaczniewyznaczoneprzez m×n macierz A =[ a ij ].Ponadtozdeﬁnicjimno˙zenia

macierzymamy,˙zedlaprzeksztaÃlcenia f danegowzorem(1)zachodziwz´or:

f ([ x 1 ,...,x n ])= A·

6 6 6 6 4

x 1

x 2

. . .

x n

7 7 7 7 5

. (2)

Przytychoznaczeniachmamyte˙z,˙ze f ( K n )= lin ( ¯ 1 ,...,¯ n )orazwektory ¯ 1 ,...,¯ n mo˙zemy

traktowa´cjakokolumnymacierzy A ,wi , ecst , addlaprzeksztaÃlcenia f mamywz´or:

dim Im ( f )= r ( A ) . (3)

Zatemztwierdzenia2zwykÃladu13mamy,˙ze n =dim K n =dim Ker ( f )+dim Im ( f ),wi , ec

namocywzoru(3)mamy,˙ze

dim Ker ( f )= n = r ( A ) . (4)

Zauwa˙zmyte˙z,˙ze[ a 1 ,...,a n ] 2Ker ( f )wtedyitylkowtedy,gdy[ a 1 ,...,a n ]jestrozwi , azaniem

ukÃladujednorodnego

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n =0

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n =0

. . . . . . . . . . . .

a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n =0

. (5)

Wynikast , adnast , epuj , ace

Twierdzenie1.Zbi´orrozwi , aza´nukÃladujednorodnego(5)omacierzywsp´oÃlczynnik´ow A

jestpodprzestrzeni , aprzestrzeniliniowej K n wymiaru n−r ( A ). 2

Podamyterazdrugispos´obwyznaczaniajednorodnegoukÃladur´owna´nliniowychozadanej

podprzestrzenirozwi , aza´n.Niech K b , edzieustalonymciaÃleminiech V b , edziedowoln , apod-

przestrzeni , aprzestrzeniliniowej K n .Wyznaczamynajpierwbaz , eiwymiarpodprzestrzeni

V .Niechwektory ® 1 ,...,® s tworz , abaz , epodprzestrzeni V .Wtedydim V = s .Wprak-

tycewyznaczamybaz , e V wtakiejpostaci,abymo˙znabyÃloj , auzupeÃlni´cwprostyspos´ob

dobazyprzestrzeni K n pewnymiwektoramibazykanonicznejprzestrzeni K n .Niechwek-

tory ® 1 ,...,® s ,¯ 1 ,...,¯ n−s tworz , abaz , eprzestrzeni K n .Nanocytwierdzenia3zwykÃladu

13istniejedokÃladniejedenepimorﬁzm f : K n −!K n−s taki,˙ze f ( ® i )=£dlawszystkich

i =1 ,...,s oraz f ( ¯ j )= ² j dla j =1 ,...,n−s .Zokre´slenia f mamy,˙ze VµKer ( f ).

Ponadtodim Im ( f )=dim K n−s = n−s ,wi , ecztwierdzenia2zwykÃladu13mamy,˙ze n =

dim K n =dim Ker ( f )+dim Im ( f ),sk , addim Ker ( f )= s .Aledim V = s oraz VµKer ( f ),

wi , ecst , ad V = Ker ( f ).Pozostajezatemwyznaczy´cwz´oranalitycznynaprzeksztaÃlcenie f iw

tenspos´obuzyskamynatychmiast˙z , adanyukÃladjednorodny.

PrzykÃlad5.ZnajdziemyukÃladjednorodnyr´owna´nliniowychnadciaÃlem R ,kt´oregoprzestrzeni , a

rozwi , aza´njest V = lin ([1 ,− 1 , 1] , [1 , 1 ,− 1]).Najpierwznajdujemybaz , eprzestrzeni V :

1 − 1 1

1 1 − 1

w 2 −w 1

# 1 2 ·w 2

1 − 1 1

0 2 − 2

1 − 1 1

0 1 − 1

.Zatembaz , aprzesrzeni V jest { [1 ,− 1 , 1] , [0 , 1 ,− 1] } .

Nast , epnieuzupeÃlniamyznalezion , abaz , eprzestrzeni V dobazycaÃlejprzestrzeni R 3 przypo-

mocywektora[0 , 0 , 1].IstniejeprzeksztaÃlcenieliniowe f : R 3 −!R takie,˙ze f ([1 ,− 1 , 1])=0,

f ([0 , 1 ,− 1])=0, f ([0 , 0 , 1])=1.Wtedy f ([0 , 1 , 0])= f ([0 , 1 ,− 1])+ f ([0 , 0 , 1])=0+1=1oraz

f ([1 , 0 , 0])= f ([1 ,− 1 , 1]) −f ([0 , 1 ,− 1])=0 − 0=0.Zatemdladowolnych x 1 ,x 2 ,x 3 2R mamy,

˙ze f ([ x 1 ,x 2 ,x 3 ])= x 1 ·f ([1 , 0 , 0])+ x 2 ·f ([0 , 1 , 0])+ x 3 ·f ([0 , 0 , 1])= x 2 + x 3 .Aledim( Imf )=1,

wi , ecdim( Kerf )=3 − 1=2.Ponadto VµKerf orazdim( V )=2,wi , ec V = Kerf .St , ad

szukanymukÃlademr´owna´njest:

x 2 + x 3 =0.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: