Zasada zachowania momentu pędu. Dynamika punktu materialnego i bryły sztywnej. Ruch obrotowy i postępowy.
Większość ciał w przyrodzie to nie punkty materialne ale rozciągłe ciała sztywne tj. obiekty, w których odległości wzajemne punktów są stałe.
Zasady dynamiki dla ruchu postępowego: (ciało sztywne)
1. Ciało sztywne, na które nie działa moment siły pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem obrotowym jednostajnym.
2. Wypadkowy moment siły działający na punkt materialny jest równy prędkości zmian momentu pędu.
3. Jeżeli dwa ciała oddziałują wzajemnie, to moment siła z jakim działa ciało drugie na ciało pierwsze jest równy i przeciwnie skierowany do momentu siły, z jakim ciało pierwsze działa na drugie.
Kinematyka ruchu obrotowego
Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej
Kąt φ określa położenie (kątowe) punktu P względem układu odniesienia.
Zakł: Punkt P obracającego się ciała zatacza łuk o długości s
Miara łukowa kąta φ: φ = s/R gdzie s- drogą liniową, φ -przesunięcie kątowe
W ruchu obrotowym wielkością analogiczną chwilowej prędkości liniowej v jest chwilowa prędkość kątowa ω
W ruchu obrotowym podobnie jak w ruchu po okręgu ω jest też nazywana częstością kątową i jest związana z częstotliwością f relacją.
Podobnie jak chwilowe przyspieszenie liniowe a zostało zdefiniowane chwilowe przyspieszenie kątowe α
Prędkość kątowa jak i przyspieszenie kątowe są wektorami.
Punkt P porusza się ruchem przyspieszonym po okręgu.
Ruch punktu P obracającego się ciała sztywnego opisują wektory:
prędkości liniowej v,
prędkości kątowej ω,
przyspieszenia stycznego as,
przyspieszenia normalnego an
i przyspieszenia kątowego α
Rys. 11.2. Kierunki wektorów v, ω, as, an i α punktu P poruszającego się po okręgu wokół pionowej zależności w postaci wektorowej mają postać
Z powyższych rozważań wynika, że jeżeli kąt φ jest mierzony w radianach (rad) to jednostką prędkości kątowej ω jest radian na sekundę (rad/s), a przyspieszenia kątowego α radian na sekundę do kwadratu (rad/s2).
Moment siły:
Dla ruchu obrotowego wielkością, która odgrywa rolę analogiczną do siły w ruchu postępowym jest moment siły (tzw. moment obrotowy) τ. Jeżeli siła F jest przyłożona w pewnym punkcie to moment siły τ względem tego punktu jest definiowany jako
wartość bezwzgledna wynosi:
r- ramię siły, wektor r - położenie punktu względem wybranego inercjalnego układu odniesienia.
Moment pędu:
Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do pędu. Wielkość L nazywamy momentem pędu i definiujemy jako
gdzie p jest pędem punktu materialnego, wektor r - położenie punktu względem wybranego inercjalnego układu odniesienia.
Wartość L wynosi
Zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu:
(różniczkując obie strony równania )otrzymujemy:
Ponieważ wektory v oraz p są równoległe to ich iloczyn wektorowy jest równy zeru. Natomiast drugi składnik równania jest zgodnie z wypadkowym momentem siły. Otrzymujemy więc:
Zachowanie momentu pędu
Dla układu n cząstek możemy zsumować momenty sił działające na poszczególne punkty materialne
gdzie L oznacza teraz całkowity moment pędu układu.
Jeżeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub wypadkowy moment sił zewnętrznych jest równy zeru) to całkowity moment pędu układu pozostaje stały.
Przykład:
Rozpatrzmy teraz następujący przykład. Rower jedzie ze stałą prędkością gdy siła działająca pomiędzy nawierzchnią i kołem F2. Z jaką siłą F1 łańcuch ciągnie zębatkę jeżeli stosunek R=10 r?
Ponieważ prędkość kątowa jest stała więc dL/dt = 0 i wypadkowy moment sił jest równy zeru
czyli skąd
Ruch bryły sztywnej obracającej się ze stałą prędkością kątową ω wokół stałej osi obrotu w układzie środka masy.
Większość ciał w przyrodzie to nie punkty materialne ale rozciągłe ciała sztywne.
Zauważmy, że chociaż wszystkie punkty mają te samą prędkość kątową ω to punkty znajdujące się w różnych odległościach od osi obrotu mają różną prędkość liniową v
Prędkość i -tego punktu o masie Δmi wynosi vi = riω gdzie ri jest odległością od osi obrotu
Dwa punkty obracającej się bryły mają tę samą prędkość kątową, a różne prędkości liniowe ze względu na różne odległości od osi obrotu r1 i r2
Obliczamy teraz wartość momentu pędu L tego ciała
Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności I, który definiujemy jako
dla ciągłego rozkładu masy
Moment bezwładności I zależy od osi obrotu.
Możemy teraz wyrazić moment pędu poprzez moment bezwładności a ponieważ
więc gdzie α jest przyspieszeniem kątowym.
Obliczmy teraz energię kinetyczną obracającego się ciała
więc
Analogia między wielkościami obliczonymi dla ruchu obrotowego z ich odpowiednikami dla ruchu postępowego.
moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do masy m w ruchu postępowym.
Jednak w przeciwieństwie do masy moment bezwładności zależy od osi, wokół której obraca się ciało.
Momenty bezwładności niektórych ciał sztywnych:
Obliczanie momentu bezwładności - przykład
Obliczmy moment bezwładności pręta o masie M i długości d pokazanego na rysunku poniżej. Oś obrotu przechodzi przez środek pręta i jest do niego prostopadła (linia przerywana).
Rys. 1. Pręt o masie M i długości d obracający się względem osi przechodzącej przez środek pręta (linia przerywana)
Najpierw, pręt dzielimy umownie na "nieskończenie małe" elementy o masie dm i długości dx, które możemy traktować jak punkty materialne (patrz rysunek). Moment bezwładności takiego elementu wynosi x2dm, a moment bezwładności całego pręta jest, zgodnie z definicją (11.14), sumą (całką) momentów bezwładności poszczególnych elementów
gdzie całkowanie przebiega po całej długości pręta tj. w granicach od -d/2 do d/2.
Zakładając, że pręt ma stałą gęstość to masę dm możemy wyrazić z prostej proporcji jako
Podstawiając tę zależność do wzoru na moment bezwładności i wykonując całkowanie otrzymujemy
Do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdzeniem Steinera.
Zależność pomiędzy momentem bezwładności I ciała względem danej osi, a momentem bezwładności Iśr.m. tego ciała względem osi przechodzącej przez jego środek masy i równoległej do danej wyraża się zależnością:
gdzie a jest odległością między osiami, a M jest masą ciała.
Innymi słowy: Moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi obrotu, równoległej do osi przechodzącej przez środek masy, jest sumą momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez CM i iloczynu masy ciała przez kwadrat odległości między osiami obrotu.
oblicz moment bezwładności pręta o masie M i długości d względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jeden z jego końców korzystając z powyższego twierdzenia i z danych w tabeli
Dane: M, d, oś obrotu jest prostopadła do pręta i przechodzi przez jeden z jego końców tak jak na rysunku poniżej.
Rys. 1. Dwie osie obrotu pręta: 1) przechodząca przez środek masy - linia niebieska,
2) przechodząca przez koniec pręta -linia czerwona
Moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek pręta (zarazem jego środek masy) wynosi (patrz tabela 11.3)
Natomiast moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez koniec pręta obliczamy z twierdzenia Steinera
Ruch obrotowo-postępowy
Ciało toczące się bez poślizgu
W przeciwieństwie do ruch obrotowego względem nieruchomej osi obrotu w przypadku toczenia występuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy.
Spróbujemy opisać toczenie jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego.
Prześledźmy ruch walca o promieniu R:
Ruch postępowy + Ruch obrotowy = Toczenie
Toczenie (c) jako złożenie ruchu postępowego (a) i obrotowego (b)
W ruchu postępowym,
rysunek (a), ruch postępowy: wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi prędkościami,
rysunek (b): ruch obrotowy wokół środka masy S, przeciwległe punkty poruszają się z przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy.
Rysunek (c) toczenie: wynik złożenia (sumowania) odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b).
Podstawa walca (punkt A styczności z podłożem) w każdej chwili spoczywa (prędkość chwilowa vA = 0).
Natomiast prędkość liniowa punktów S i B jest proporcjonalna do ich odległości od punktu A (punkt B w odległości 2R ma prędkość dwukrotnie większą niż punkt S w odległości R).
Jeszcze pełniej widać to na rysunku gdzie narysowane są prędkości chwilowe kilku punktów na obwodzie toczącego się walca.
Toczenie się walca jako obrót wokół punktu A
Widać, że prędkość każdego z tych punktów jest prostopadła do linii łączącej ten punkt z podstawą A i proporcjonalna do odległości tego punktu od A.
Takie zachowanie jest charakterystyczne dla ciała wykonującego ruch obrotowy względem nieruchomej osi.
Oznacza to, że opisywany walec obraca się wokół punktu A, a co za tym idzie, że możemy toczenie opisywać również wyłącznie jako ruch obrotowy ale względem osi przechodzącej przez punkt A styczności z powierzchnią, po której toczy się ciało.
Obliczmy teraz energię kinetyczną walca o masie m toczącego się z prędkością v.
Najpierw potraktujemy toczenie jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego względem środka masy. Energię kinetyczną obliczamy jako sumę energii ruchu postępowego i obrotowego
Podstawiając wartość momentu bezwładności walca odczytaną z (podanej wcześniej) oraz uwzględniając, że dla ciała toczącego się bez poślizgu ω = v/R otrzymujemy
Powtórzymy nasze obliczenia ale potraktujemy toczenie wyłącznie jako obrót względem osi obrotu w punkcie A zetknięcia walca z powierzchnią. Energia kinetyczną obliczamy więc jako
Moment bezwładności walca IA ,względem osi A, obliczamy z twierdzenia Steinera
Po podstawieniu tej wartości i uwzględniając, że ω = v/R otrzymujemy
W obu przypadkach otrzymaliśmy ten sam rezultat.
Widzimy, że Ruch ciała będący złożeniem ruchu postępowego środka masy i obrotowego względem osi przechodzącej przez środek masy jest równoważny ruchowi obrotowemu wokół osi przechodzącej przez punkt styczności ciała z powierzchnią, po której się ono toczy.
Inny przykładem ruchu obrotowego, w którym oś obrotu nie jest nieruchomą w inercjalnym układzie odniesienia jest bąk wirujący dookoła pewnej osi symetrii.
Ruch precesyjny (bąk)
Oś wirującego bąka porusza się dookoła osi pionowej, zakreślając powierzchnię stożka. Taki ruch nazywamy precesją.
W sytuacji przedstawionej na rysunku poniżej bąk ma prędkość kątową ω dookoła swej osi. Ma również moment pędu L względem tej osi, która tworzy kąt θ z osią pionową. Punkt podparcia bąka znajduje się w początku inercjalnego układu odniesienia.
Siła działająca na bąk w punkcie podparcia ma zerowy moment względem punktu podparcia ponieważ ramię siły jest równe zeru. Natomiast ciężar mg wytwarza względem punktu podparcia moment siły
gdzie r określa położenie środka masy. Z iloczynu wektorowego wynika, że τ jest prostopadłe do r i do mg. Zauważmy, że wektory τ , L i r wirują dokoła osi pionowej z częstością precesji ωp. Z rysunku wynika, że
Ponieważ ΔL << L, to możemy napisać
Z drugiej zasadę dynamiki ruchu obrotowego
Więc
Ostatecznie otrzymujemy
Zgodnie z rysunkiem 1 moment siły jest równy
więc ostatecznie
Zwróćmy uwagę, że prędkość precesji nie zależy od kąta θ i jest odwrotnie proporcjonalna do wartości momentu pędu.
Spróbujmy teraz podać ogólne wektorowe równanie opisujące precesję.
Widać, że prawa strona równania jest równa wartości iloczynu wektorowego ωp x L. Tak więc ostatecznie wyrażenie wiążące prędkość kątową precesji z momentem siły i momentem pędu ma postać
Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstawą różnych technik doświadczalnych jak np. magnetyczny rezonans jądrowy (MRJ), które znalazły szerokie zastosowanie w badaniach naukowych, technice i medycynie.
bear1991