wyklad_8.pdf

Wykład 8

Definicja

Półgrup Ģ nazywamy zbiór R z jednym działaniem binarnym •, gdy

działanie • jest ł Ģ czne.

Monoidem nazywamy półgrup ħ M w której istnieje element neutralny, ij.

istnieje element eÎM taki a•e = e•a=a dla "aÎM.

Grup Ģ nazywamy monoid G w którym ka Ň dy element jest odwracalny, ij.

dla ka Ň dego g ÎG istnieje element g -1 ÎG taki g•g -1 = g -1 •g=e.

Przykłady

1. (Z + , +) jest półgrup Ģ , ale nie jest monoidem.

2. (N, +) oraz (N, ×) s Ģ monoidami

(Z, +) oraz (Z, ×) s Ģ monoidami

Zbiór przekształce ı dowolnego zbioru jest monoidem.

Pier Ļ cienie

ƞ Definicja

Pier Ļ cieniem nazywamy zbiór R z dwoma działaniami: dodawaniem + i

mno Ň eniem •, gdy s Ģ spełnione nast ħ puj Ģ ce warunki:

1) zbiór R z działaniem + jest grup Ģ przemienn Ģ ;

2) działanie • jest ł Ģ czne;

3) działanie • jest rozdzielne wzgl ħ dem dodawania:

a•(b+c)=a•b+a•c

(a+b) •c=a•c+b•c

Pier Ļ cie ı P z działaniem mno Ň enia • jest przemienny , je Ļ li działanie mno Ň enia

• jest przemienne.

Pier Ļ cie ı P nazywamy pier Ļ cieniem z jedynk Ģ , je Ļ li P ¹{0} oraz istnieje

element neutralny wzgl ħ dem mno Ň enia 1 ÎP, taki Ň e a•1=1•a=a dla "a ÎP.

Przykłady.

1. ( Z , +, •) - pier Ļ cie ı przemienny.

2. ( W , +, •); ( Q, +, •) - pier Ļ cienie przemienne

3. (2 Z , +, • ) - pier Ļ cie ı przemienny bez jedynki

4. Zbiór wszystkich funkcji okre Ļ lonych na pewnym przedziale wzgl ħ dem

zwykłych działa ı jest pier Ļ cieniem przemiennym z jedynk Ģ - funkcj Ģ stał Ģ ,

równej 1 na tym przedziale.

5. ( Q [x], +, •) - pier Ļ cie ı przemienny

6. (M n (R), +, •) - pier Ļ cie ı nieprzemienny

7. Algebra Boole’a (Ã(X), È, Ç) – nie jest pier Ļ cieniem

8. (Ã(X), Å, Ç) - pier Ļ cie ı przemienny, gdzie X – dowolny zbiór, Å - ró Ň nica

symetryczna

9. ( Z n , +, •) - pier Ļ cie ı przemienny [x]+[y]= [x+y], [x] • [y]=[xy]

Dziedziny całkowito Ļ ci i ciała

Definicje

0 ¹ a Î P nazywamy lewym dzielnikiem zero , je Ļ li $ x Î P, x ¹ 0, taki, Ň e ax =0.

0 ¹ a Î P nazywamy prawym dzielnikiem zero , je Ļ li $ y Î P, y ¹ 0, taki, Ň e ya =0.

Je Ň eli 0 ¹ a Î P jest lewym i prawym dzielnikiem zero, to a nazywamy

dzielnikiem zero .

Pier Ļ cieniem bez dzielników zero nazywamy pier Ļ cie ı , którego Ň aden element

nie jest dzielnikiem zero. Pier Ļ cie ı przemienny, z jedynk Ģ i bez dzielników zero

nazywamy dziedzina całkowito Ļ ci lub pier Ļ cieniem całkowitym.

Przykłady

Zbiór liczb całkowitych Z jest pier Ļ cieniem całkowitym.

Zbiór reszt modulo Z 5 jest pier Ļ cieniem całkowitym.

Zbiór reszt modulo Z 6 nie jest pier Ļ cieniem całkowitym.

(Ã(X), Å, Ç) nie jest pier Ļ cieniem całkowitym.

(M n (R), +, •) nie jest pier Ļ cieniem całkowitym.

Twierdzenie (własno Ļę skracania)

Je Ļ li x jest niezerowym elementem dziedziny całkowito Ļ ci (R, +, •) i xa=xb, to

a=b.

Dowód.

Je Ļ li xa=xb, to x(a – b) =xa – xb =0. Poniewa Ň R nie ma dzielników zera, to a-

b=0, st Ģ d a=b.

Definicje

P - pier Ļ cie ı z 1.

a Î P nazywamy lewym dzielnikiem jedynki , je Ļ li $ x Î P taki, Ň e ax =1.

a Î P nazywamy prawym dzielnikiem jedynki , je Ļ li $ y Î P taki, Ň e ya =1.

Je Ļ li a Î P jest prawym i lewym dzielnikiem jedynki, to a nazywamy

dzielnikiem jedynki , lub elementom odwracalnym .

ƞ Definicja

Pier Ļ cie ı całkowity (K, +, •), który ma przynajmniej 2 elementy, nazywamy

ciałem , gdy ka Ň dy niezerowy element xÎK jest odwracalny wzgl ħ dem

mno Ň enia.

Przykłady.

1. ( W , +, •); ( Q, +, •) – s Ģ ciałami.

2. ( Q (x), +, • ) – ciało.

3. ( Z , +, •) nie jest ciałem.

Twierdzenie

Ka Ň de ciało F jest dziedzin Ģ całkowito Ļ ci.

Dowód.

Niech ab=0 w F. Je Ļ li a¹0, to istnieje element a -1 ÎF i wtedy

b = (a -1 a)b= a -1 (ab)=0. Tak wi ħ c a=0 lub b=0, co dowodzi Ň e F jest dziedzin Ģ

całkowito Ļ ci.

Twierdzenie

Ka Ň da sko ı czona dziedzina całkowito Ļ ci jest ciałem.

Dowód.

Niech D={x 0 , x 1 , …, x n } jest dziedzina całkowito Ļ ci z elementem zerowym

x 0 =0 i jedynk Ģ x 1 =1. Je Ļ li x i ¹0, to x i D = D. Istotnie, je Ļ li x i x j = x i x k , to z

własno Ļ ci skracania x j =x k .

Zatem w x i D istnieje element x k taki, Ň e x i x k =1. Takim czynem, D jest ciałem.

Twierdzenie

( Z n , +, •) jest ciałem Û n jest liczba pierwsza.

Dowód.

Je Ļ li n=p jest liczba pierwsz Ģ , to Z n * jest grup Ģ , sk Ģ d wynika, Ň e ( Z n , +, •) jest

ciałem.

Je Ļ li n nie jest liczb Ģ pierwsz Ģ , to istniej Ģ liczby całkowite 1<k<n, 1<s<n takie

Ň e n=ks. Wtedy [k][s]=[0], co oznacza, Ň e ( Z n , +, •) ma dzielniki zero i dlatego

nie jest ciałem.

Ciało kwaternionów

William Roman Hamilton (1805-1865)

H = { a 1 e + a 2 i + a 3 j + a 4 k }, gdzie a r Î R dla r = 1, 2, 3, 4.

Dla dowolnych elementów

x = a 1 e + a 2 i + a 3 j + a 4 k Î H i y = b 1 e + b 2 i + b 3 j + b 4 k Î H .

x + y = ( a 1 e + a 2 i + a 3 j + a 4 k ) + ( b 1 e + b 2 i + b 3 j + b 4 k ) = ( a 1 + b 1 ) e + ( a 2 + b 2 ) i +

( a 3 + b 3 ) j + ( a 4 + b 4 ) k

Mno Ň enie w H okre Ļ limy najpierw dla elementów e , i , j , k za pomoc Ģ

nast ħ puj Ģ cej tabeli:

e i j k

e e i j k

i i − e k − j

j j − k − e i

k k j − i -e

Mno Ň enie te mo Ň emy rozpowszechni ę na wszystkie elementy, korzystaj Ģ c z

prawa ł Ģ czno Ļ ci mno Ň enia, wtedy otrzymujemy:

x × y = ( a 1 e + a 2 i + a 3 j + a 4 k )×( b 1 e + b 2 i + b 3 j + b 4 k )

= ( a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 ) e

+ ( a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 4 − a 4 b 3 ) i

+ ( a 1 b 3 − a 2 b 4 + a 3 b 1 + a 4 b 1 ) j

+ ( a 1 b 4 + a 2 b 3 − a 3 b 2 + a 4 b 1 ) k

1× e + 0× i + 0× j + 0× k - jedynka w H

0× e + 0× i + 0× j + 0× k – element zerowy w H.

Własno Ļ ci działa ı w H:

Dla dowolnych elementów z, z 1 , z 2 , z 3 Î H:

1. z 1 + z 2 = z 2 + z 1

2. (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 )

3. (z 1 × z 2 ) × z 3 = z 1 × (z 2 × z 3 )

4. (z 1 + z 2 ) × z 3 = z 1 × z 2 + z 1 ×z 3

5. z 1 × ( z 2 + z 3 ) = z 1 ×z 2 +z 1 ×z 3

6. z +0 = 0 + z

7. z× 1 = 1× z = z

Natomiast w ogólnym przypadku

z 1 × z 2 ¹ z 2 × z 1

poniewa Ň i × j ¹ j × i.

Je Ň eli x = a 1 e + a 2 i + a 3 j + a 4 k Î H , to okre Ļ limy x = a 1 e − a 2 i − a 3 j − a 4 k.

N( x ) = x × x = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 Î R .

Je Ļ li x ¹ 0, to element x × x jest równie Ň ró Ň ny od zera. Element odwrotny do

elementu x ma posta ę :

x -1 = ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ) -1 × x Î H .

A wi ħ c H jest ciałem nieprzemiennym. Zbiór H nazywamy ciałem

kwaternionów .

Podpier Ļ cienie i morfismy pier Ļ cieni

ƞ Definicja.

Niepusty podzbiór B pier Ļ cienia A =( P , +, ×) nazywa si ħ podpier Ļ cieniem A ,

je Ļ li B jest pier Ļ cieniem wzgl ħ dem działa ı + i ×, inaczej mówi Ģ c B jest

podpier Ļ cieniem A , je Ļ li spełnione s Ģ nast ħ puj Ģ ce warunki:

je Ň eli a , b Î B , to a × b Î B ;

je Ň eli a , b Î B , to a+b Î B ;

je Ň eli a Î B , to - a Î B ;

0 Î B .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: