Algebra 1-03 wymiar i baza przestrzeni liniowej.pdf

Wykład3

Twierdzenie1(Steinitz) Je±liukładv 1 ,v 2 ,...,v n jestbaz¡przestrzenili-

niowejVnadciałemKiukładwektorówu 1 ,u 2 ,...,u m jestukłademwekto-

rówliniowoniezale»nychwVto:

(i) m ¬ n,

(ii) je±lim = ntou 1 ,u 2 ,...,u m jestbaz¡przestrzeniV,

(iii) je±lim<ntoistniejedokładnien − mwektorów,którewrazzwektorami

u 1 ,u 2 ,...,u m tworz¡baz¦przestrzeniV.

Wniosek1 Ka»dyukładwektorówliniowoniezale»nychmo»nauzupełni¢do

bazyprzestrzeniliniowej.

Wniosek2 Je±liprzestzre«Vposiadabaz¦zło»on¡znwektorówtoka»dy

układliniowoniezale»nychwektorówprzestrzeniV,składaj¡cysi¦znwek-

torówjestbaz¡przestrzeniV.

Twierdzenie2 Ka»daniezerowaprzestrze«liniowaposiadabaz¦.

Twierdzenie3 Je±liprzestrze«liniowaVnadciałemKposiadabaz¦,która

madokładnienwektorówtoka»dainnabazate»składasi¦znwektorów.

Wymiarprzestrzeniliniowej

3 =3,

2.ogólniedim K n = n ,

3.dim R [ x ]=+ 1

Nieformalniemówi¡cwymiaremprzestrzeniliniowejjestilo±¢parametrów

potrzebnadoopisudowolnegowektoradanejprzestrzeni.Naprzekładmówi-

my,»enaszaprzestrze«jesttrójwymiarowa,bo»ebyopisa¢dowolnypunkt

musimypoda¢trzyparametry(długo±¢,wysoko±¢,szeroko±¢).

Innymprzykłademniechb¦dzieprzestrze« M n,m ( K )macierzyo n × m o

współczynnikachzciała K .Jesttoprzestrze«,wktórejdodawaniemjest

zwykłedodawaniemacierzy,amno»eniemskalarówzciała K przezwektory

zwykłemno»eniestałejprzezmacierz.Nietrudnojestzauwa»y¢,»eabyzdeﬁ-

niowa¢macierztrzebaokre±li¢ m · n waro±ci,atooznacza,»edim M n,m ( K )=

m · n .

Wymiarem przestrzeniliniowej V nadciałem K nazywamyilo±¢elemen-

tówdowolnejbazytejprzestrzeni.Wymiarprzestrzeni V oznacza¢b¦dziemy

przezdim V .Je±liwymiarjestsko«czonytob¦dziemymówi¢oprzestrze-

nisko«czeniewymiarowej.Przyjmujemy,»ewymiarprzestrzenizerowejjest

równy0.

Przykłady

1.dim R

Twierdzenie4 Je±liU,Ws¡podprzestrzeniamisko«czeniewymiarowejprze-

strzeniVto:

(i) je±liU Wto dim U ¬ dim W,

(ii) U Wi dim U =dim WwtedyitylkowtedygdyU = W.

Wniosek3 Podprzestrze«przestrzenisko«czeniewymiarowejjestprzestrze-

ni¡sko«czeniewymiarow¡.