Algebra 1-01 przestrzenie liniowe.pdf

(83 KB) Pobierz
19536663 UNPDF
Wykład1
3 operowali±mywektorami.W
zbiorzetychwektorówwprowadzili±mydwadziałania:
( x,y,z )+( x 1 ,y 1 ,z 1 )=( x + x 1 ,y + y 1 ,z + z 1 ) ,
k ( x,y,z )=( kx,ky,kz )
gdzie k jestdowolnymelementemciałaliczbrzeczywistych.Zauwa»yli±my
równie»,»edziałaniatemaj¡nast¦puj¡cewłasno±ci:
1.(R
3 , 8 k 2 R k ( u + v )= ku + kv ,
3. 8 u 2 R
3 , 8 k,l 2 R( k + l ) u = ku + lv ,
4. 8 u 2 R
3 , 8 k,l 2 R k ( lu )=( kl ) u ,
5. 8 u 2 R
3 1 u = u .
Mo»emyterazuogólni¢powy»sz¡konstrukcj¦.Wprowad¹mywzbiorzeR
n =
{ ( x 1 ,x 2 ,...,x n ); x i 2 R } dwadziałania:
( x 1 ,x 2 ,...,x n )+( y 1 ,y 2 ,...,y n )=( x 1 + y 1 ,x 2 + y 2 ,...,x n + y n ) ,
k ( x 1 ,x 2 ,...,x n )=( kx 1 ,kx 2 ,...,kx n )
gdzie k jestdowolnymelementemciałaR.Mo»nasprawdzi¢,»epodobniejak
poprzedniospełniones¡własno±ci:
1.(R
n , 8 k 2 R k ( u + v )= ku + kv ,
3. 8 u 2 R
n , 8 k,l 2 R( k + l ) u = ku + lv ,
4. 8 u 2 R
n , 8 k,l 2 R k ( lu )=( kl ) u ,
n 1 u = u .
Zauwa»my,»edziałanieliczbyrzeczywistej k naci¡g( x 1 ,x 2 ,...,x n )niejest
działaniemwsensiepodanymnawykładziewpierwszymsemestrze,bonie
działasi¦tuwewn¡trzpewnegozbioru,adziałasi¦liczbamirzeczywistymi
naelementyzezbioruR
n .Takiedziałanieb¦dziemynazywa¢ działaniem
zewn¦trznym .Dokładniejdziałaniemzewn¦trznymzbioru K nazbiór V
nazywamyprzyporz¡dkowanieka»dejparze( k,v ) 2 K × V elementuzbioru
V ,czylidziałaniemzewn¦trznymjestnast¦puj¡cafuncja:
' : K × V ! V
zamiastpisa¢ ' ( k,v )b¦dziemyzwykleu»ywa¢zapisu kv pami¦taj¡c,»e k
jestelementemzbioru K , v jestelementemzbioru V ,awynik kv jestznów
elementemzbioru V .
1
Przestrzenieliniowe
WgeometriianalitycznejwprzestrzeniR
3 , +)jestgrup¡abelow¡,
2. 8 u,v 2 R
n , +)jestgrup¡abelow¡,
2. 8 u,v 2 R
5. 8 u 2 R
Sytuacj¦zpowy»szegoprzykładumo»nauogólni¢.Niech V b¦dziezbiorem,w
którymjestwprowadzonedziałaniebinarne+iniech K b¦dzieciałem.Wtedy
V nazywa¢b¦dziemy przestrzeni¡liniow¡ (lub wektorow¡ )nadciałem
K gdywzbiorze V wprowadzonejestdziałaniezewn¦trzne( k,v ) ! kv i
spełniones¡warunki:
1.( V, +)jestgrup¡abelow¡,
2. 8 u,v 2 V, 8 k 2 Kk ( u + v )= ku + kv ,
3. 8 u 2 V, 8 k,l 2 K ( k + l ) u = ku + lv ,
4. 8 u 2 V, 8 k,l 2 Kk ( lu )=( kl ) u ,
5. 8 u 2 V 1 u = u ,
elementyzbioru V nazywa¢b¦dziemywektorami,aelementyciała K ska-
larami.Działaniezewn¦trznenazywa¢b¦dziemymno»eniemskalarówprzez
wektory.Ponadtoprzyjmujemykonwencj¦,»ewmno»eniutymskalaryzapi-
sujemyzlewejstrony,awektoryzprawej,np.napis a oznacza,»e jest
skalarem,a a jestwektorem.Elementneutralnydodawaniaoznacza¢b¦dzie-
myprzez 0 inazywa¢b¦dziemygowektoremzerowym.
Poznali±myju»napocz¡tkuwykładuprzykładyprzestrzeniliniowych,s¡
toprzestrzenieR
( x 1 ,x 2 ,...,x n )+( y 1 ,y 2 ,...,y n )=( x 1 + y 1 ,x 2 + y 2 ,...,x n + y n ) ,
k ( x 1 ,x 2 ,...,x n )=( kx 1 ,kx 2 ,...,kx n )
Aotoinneprzykłady:
1.ZbiórliczbrzeczywistychRjestprzestrzeni¡liniow¡nadciałemliczbwy-
miernychQ(działaniezewn¦trznejestzwykłymdziałaniemmno»enialiczby
wymiernejprzezrzeczywist¡).
2.NiechR N oznaczazbiórwszystkichniesko«czonychci¡gówowyrazachrze-
czywistych.Elementytegozbioruzapisywa¢b¦dziemywpostaci:( x 0 ,x 1 ,x 2 ,... )
lub( x n ) n 2 N .Wzbiorzetymwprowadzamydziałania:
( x 1 ,x 2 ,x 3 ,... )+( y 1 ,y 2 ,y 3 ,... )=( x 1 + y 1 ,x 2 + y 2 ,x 3 + y 3 ,... ) ,
k ( x 1 ,x 2 ,x 3 ,... )=( kx 1 ,kx 2 ,kx 3 ,... )
WtedyR N ztakokre±lonymidziałaniamijestprzestrzeni¡wektorow¡nad
ciałemliczbrzeczywistych.
3.Niech K b¦dziedowolnymciałeminiech K [ x ]oznaczazbiórwielomianów
owspółczynnikachzciała K .Wtedy K [ x ]jestjestprzestrzeni¡liniow¡nad
ciałem K ,gdziedziałaniamis¡zwykłedziałaniadodawaniawielomianówi
mno»eniawielomianuprzezliczb¦.
2
n nadciałemR.Ogólniejje±li K jestdowolnymciałem
to K n jestprzestrzeni¡liniow¡nadciałem K ,gdziedziałaniaokre±lones¡
nast¦puj¡co:
4.Niech C oznaczazbiórfunkcjici¡głychodziedziniewzbiorzeRwtedy
C jestprzestrzeni¡liniow¡nadciałemR,gdziedziałaniamis¡dodawanie
funkcjiimno»eniefunkcjiprzezskalar(np.sum¡funkcjisinicosjestfunkcja
f ( x )=sin x +cos x ).
Poniewa»( V, +)jestgrup¡abelow¡toka»dyelementposiadaelementprze-
ciwny,elementprzeciwnydo v oznacza¢b¦dziemyprzez − v imo»emywpro-
wadzi¢wzbiorze V działaniebinarnegoodejmowania:
u − v := u +( − v )
Twierdzenie1 NiechVb¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałemK.Wtedy:
(i) kv = 0 () k =0 _ v = 0 ,
(ii)( − 1) v = − v.
Dowód
(i)
( ) )Je±li k =0tomamy0 v =(0+0) v =0 v +0 v idodaj¡cstronami
wektor − 0 v otrzymujemy0 v = 0 .Podobniemo»napokaza¢,»e k 0 = 0 .
( ( )Je±li kv = 0 i k 6 =0toistniejeelement k − 1 zatemmo»emynasz¡
równo±¢wymno»y¢stronamiprzez k − 1 iotrzymujemy:
k − 1 ( kv )= k − 1 0 ) ( k − 1 k ) v = 0 ) 1 v = 0 ) v = 0
(ii)Poniewa»( V, +)jestgrup¡toka»dyelementposiadadokładniejeden
elementodwrotny,wi¦cwystarczysprawdzi¢,»e( − 1) v jestelementemod-
wrotnymdo v .Rzeczywi±cie:
v +( − 1) v =1 v +( − 1) v =(1+( − 1)) v =0 v =0 .
Niech V b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałem K .Niepustypodzbiór
W V nazywamy podprzestrzeni¡ przestrzeni V je±lispełniones¡nast¦-
puj¡cewarunki:
1.Je±li u,v 2 W to u + v 2 W ,
2.Je±li k 2 K i u 2 W to ku 2 W
Je±lispełniones¡warunki1.i2.tob¦dziemymówi¢,»ezbiór W jestza-
mkni¦tyzewzgl¦dunadodawanieimno»enieprzezskalary.
Uwaga1 Je±liWjestpodprzestrzeni¡przestrzeniVnadciałemKtojest
równie»przestrzeni¡liniow¡nadK.
Przykładypodprzestrzeni:
1.Zbiórzło»onyzwektorów( x 1 , 0 ,..., 0)jestpodprzestrzeni¡przestrzeni
R
3
n .
2.Zbiórci¡gówzbie»nychjestpodprzestrzeni¡przestrzeniR N ci¡gówowyra-
zachrzeczywistych.Rzeczywi±cieje±li( x n ) n 2 N i( y n ) n 2 N s¡ci¡gamizbie»nymi
toistniej¡liczby x i y ,»elim
n !1 x n = x ,lim
n !1 y n = y iwtedy:
n !1 ( x n + y n )=lim
n !1 x n +lim
n !1 y n = x + y
zatemci¡g( x n ) n 2 N +( y n ) n 2 N jestrównie»zbie»ny.Drugiwaruneksprawdza
si¦analogicznie.
3.Zbiórci¡gówzbie»nychdozerajestpodprzestrzeni¡przestrzenizpunktu
poprzedniego(atak»epodprzestrzeni¡przestrzeniR N ).
4.Zbiór K [ x ] n = { f ( x ) 2 K [ x ];st f ¬ n } wielomianówowspółczynnikachz
ciała K ,którychstopie«nieprzekraczaustalonejliczby n jestpodprzestrze-
ni¡przestrzeni K [ x ].
5.Zbiórfunkcjiró»niczkowalnychjestpodprzestrzeni¡przestrzeni C .
6.Je±li V jestprzestrzeni¡liniow¡nadciałem K i 0 jestwektoremzero-
wymto { 0 } jestpodprzestrzeni¡przestrzeni V .Podprzestrze«t¡nazywamy
podprzestrzeni¡zerow¡.
Je±li W jestpodprzestrzeni¡przestrzeni V tob¦dziemypisa¢ W<V .
Niech U,W<V wtedyprzez U + W oznacza¢b¦dziemyzbiórwszystkich
wektorów u + w ,gdzie u 2 U , w 2 W ,wi¦c:
U + W = { u + w ; u 2 U,w 2 W }
Twierdzenie2 Je±liUiWs¡podprzestrzeniamiprzestrzeniVtoU \ W
iU + Ws¡podprzestrzeniamiprzestrzeniV.
Dowód
1.Sprawdzimynajpierw,»e U \ W jestpodprzestrzeni¡.Wynikatoznast¦-
puj¡cegoci¡guimplikacji:
x,y 2 U \ W ) x,y 2 U ^ x,y 2 W ) x + y 2 U ^ x + yW ) x + y 2 U \ W
oraz
x 2 U \ W ) x 2 U ^ x 2 W ) kx 2 U ^ kxW ) kx 2 U \ W
dlaka»dego k 2 K .
2.Sprawdzimy,»e U + W jestpodprzestrzeni¡.Rzeczywi±cie:
x,y 2 U + W ) x = u + w,y = u 1 + w 1 ) x + y = u + w + u 1 + w 1 =
u + u 1
|{z}
2 W
2 U + W
drugiwarunekpodprzestrzenisprawdzasi¦analogicznie.
4
lim
|{z}
2 U
+ w + w 1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin