Algebra 0-15 układy równań liniowych.pdf

(110 KB) Pobierz
19538069 UNPDF
Wykład15
Układyrówna«liniowych
Niech K b¦dzieciałeminiech 1 , 2 ,..., n , 2 K .Równanie:
1 x 1 + 2 x 2 + ··· + n x n =
zniewiadomymi x 1 ,x 2 ,...,x n nazywamy równaniemliniowym .
Układ: 8 > > > <
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
.................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = b m
(1)
> > > :
nazywamyukładem m równa«liniowychz n niewiadomymi.Rozwi¡zaniem
układunazywamyka»dyci¡gelementów( a 1 ,a 2 ,...,a n ) 2 K n ,którepodsta-
wionezazmienne x 1 ,x 2 ,...,x n spełniaj¡ka»dezrówna«.Układ(1)mo»emy
zapisa¢winnej,macierzowej,postaci:
2
6 6 6 4
a 11 a 12 ...a 1 n
a 21 a 22 ...a 2 n
... ... ... ...
a m 1 a m 2 ...a mn
3
7 7 7 5 ·
2
6 6 6 4
x 1
x 2
...
x m
3
7 7 7 5 =
2
6 6 6 4
b 1
b 2
...
b m
3
7 7 7 5
wtedymacierz:
2
6 6 6 4
3
7 7 7 5
A =
a 11 a 12 ...a 1 n
a 21 a 22 ...a 2 n
... ... ... ...
a m 1 a m 2 ...a mn
nazywamymacierz¡współczynnikówukładu,jejelementynazywamywspół-
czynnikami,amacierz:
2
b 1
b 2
...
b m
3
B =
6 6 6 4
7 7 7 5
kolumn¡wyrazówwolnych.Przyjmuj¡c:
2
x 1
x 2
...
x m
3
X =
6 6 6 4
7 7 7 5
naszukładzapiszemy,wpostaci:
A · X = B
1
Zajmiemysi¦najpierwprzypadkiem,gdyukładmatylesamozmiennychco
niewiadomych,toznaczygdymacierzwspółczynników A jestkwadratowa.
Układ n równa«z n niewiadomymi:
8
> > > <
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
.................................
a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = b n
(2)
> > > :
nazywamy układemCramera 1 wtedyitylkowtedygdydet A 6 =0,gdzie
A =[ a ij ] n × n jestmacierz¡współczynnikówtegoukładu.
Je±li A =[ A 1 ,...,A i ,...,A n ]jestmacierz¡współczynnikówukładu,a B
jestkolumn¡wyrazówwolnychtoprzez A ( i ) oznacza¢b¦dziemymacierz
[ A 1 ,...,B,...,A n ],czyli A ( i ) oznaczamacierz,którapowstałazmacierzy
A przezzast¡pienie i -tejkolumny,kolumn¡wyrazówwolnych.
Twierdzenie1 UkładCrameramadokładniejednorozwi¡zanie
( x 1 ,x 2 ,...,x n )
det A
Dowód Je±lizapiszemyukład(2)wpostacimacierzowej:
A · X = B
to,poniewa»det A 6 =0,tomo»emyrównaniewymno»y¢lewostronnieprzez
A − 1 .Wtedyotrzymujemy:
det A ,x 2 = det A (2)
det A ,...,x n = det A ( n )
X = A − 1 · B
cooznacza,»erozwi¡zanieistniejeijestjednoznaczne.Poniewa»:
A − 1 = 1
det A ( A D ) T
i A D =[ c ij ],gdzie c ij =( − 1) i + j det A ij ,tomamy:
x i = 1
det A ( c i 1 b 1 + c i 2 b 2 + ... + c in b n )=
det A (( − 1) i +1 det A i 1 b 1 +( − 1) i +2 det A i 2 b 2 + ... +( − 1) i + n det A in b n ) (!) =
1
a 11 a 12 ...b 1 ...a 1 n
a 21 a 22 ...b 2 ...a 2 n
... ... ......... ...
a n 1 a n 2 ...b n ...a nn
1
det A
= 1
det A det A ( i )
1 G.Cramer(1704-1752)-matematykszwajcarski,zajmowałsi¦układamirówna«linio-
wychiteori¡wyznaczników.
2
danewzorami:
x 1 = det A (1)
19538069.001.png
równo±¢(!)jestprost¡konsekwencj¡TwierdzeniaLaplace’a(jesttorozwi-
ni¦ciewyznacznikamacierzy A ( i ) wzgl¦dem i -tejkolumny).
Wzorywyst¦puj¡cewpowy»szymrównaniunosz¡nazw¦ wzorówCra-
mera .
Przykład Rozwi¡»emymetod¡Crameraukład:
8 > > > <
2 x 1 +2 x 2 − x 3 + x 4 =7
x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = − 2
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =10
4 x 1 +3 x 2 − 2 x 3 − x 4 =0
> > > :
jesttoukładCramera,poniewa»:
det A =
2 2 − 1 1
1 − 1 1 − 1
1 1 1 1
4 3 − 2 − 1
=
2 2 − 11
3 1 00
− 1 − 1 20
6 5 − 30
= −
3 1 0
− 1 − 1 2
6 5 − 3
=12
Układjednorodny
Układrówna«nazywamy jednorodnym je±lika»dywyrazwolnyjest
równyzero(czyli B =0).Ka»dyukładjednorodnyposiadaconajmniej
jednorozwi¡zanie x 1 =0 ,x 2 =0 ,...,x n =0.WzoryCrameramówi¡,»e
je±limacierzwspółczynnikówukładujestkwadratowaiodwracalnatoukład
jednorodnymadokładniejednorozwi¡zaniezerowe.Oznaczmyprzez S zbiór
wszystkichrozwi¡za«układujednorodnego AX =0,czyli:
8
> > > <
2
6 6 6 4
x 1
x 2
...
x n
3
7 7 7 5 ; A · X =0
9
> > > =
S =
X =
> > > :
> > > ;
Stwierdzenie1 Zbiór S zdziałaniem + jestgrup¡abelow¡.
Dowód Niech X,Y b¦d¡rozwi¡zaniamiukładu AX =0,tzn. AX =0i
AY =0,wtedy A ( X + Y )= AX + AY =0+0=0.Podobnie A ( − X )=
− AX =0i A 0=0.
Niech
AX = B
b¦dziepewnymukładem m równa«z n niewiadomymiiniech a 1 ,a 2 ,...,a m
b¦dziejakimkolwiekrozwi¡zaniemtegoukładu.Oznaczmyprzez C macierz
3
2
a 1
a 2
...
a m
3
kolumnow¡
6 6 6 4
7 7 7 5 .Oznaczamyprzez C + S zbiórelementówpostaci C + X ,
takich»e X 2 S :
C + S = { C + X ; X 2 S }
Stwierdzenie2 NiechAX = Bb¦dziepewnymukłademrówna«,niech
C =[ a 1 ,a 2 ,...,a n ] T b¦dziedowolnymrozwi¡zanietegoukładuiniech S b¦-
dziezbioremrozwi¡za«układujednorodnegoAX =0 wtedyzbiórrozwi¡za«
układuAX = Bjestpostaci:
C + S = { C + X ; X 2 S }
Dowód Niech D b¦dziedowolnymrozwi¡zaniemukładu AX = B wtedy
mamy AD = B oraz AC = B odejmuj¡cterówno±cistronamiotrzymujemy:
A ( D − C )=0,zatem D − C 2 S .Tooznacza,»e D 2 C + S .Je±li D 2 C + S
todlapewnego X 2 S mamy: AD = A ( C + X )= AC + AX = B +0= B
czyli C + X jestrozwi¡zaniemnaszegoukładu.
Stwierdzenie3 Niech S b¦dziezbioremrozwi¡za«układuAX =0 wtedyist-
niejedokładnie r( A ) elementówX 1 ,X 2 ,...,X r( A ) 2 S,»eka»dyinnyelement
X 2 S dasi¦zapisa¢wpostaci:
X = t 1 X 1 + t 2 X 2 + ··· + t r( A ) X r( A )
dlapewnycht 1 ,t 2 ,...,t r( A ) 2 K.
Ł¡cz¡cdwaostatniestwierdzeniamamy,»eka»derozwi¡zanieukładu
AX = B dasi¦przedstawi¢wpostaci:
X = C + t 1 X 1 + t 2 X 2 + ··· + t r( A ) X r( A )
gdzie X 1 ,X 2 ,...,X r( A ) s¡rozwi¡zaniamiukładujednorodnego AX =0,a
C jestjakimkolwiekrozwi¡zaniemukładu AX = B , t i s¡dowolnymiele-
mentamiciała K .Takisposóbprzedstawienianazywamy fundamentalnym
układemrozwi¡za« .
Danyjestukład:
8
> > > <
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
.................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = b m
> > > :
Zmacierz¡współczynników A ikolumn¡wyrazówwolnych B .Macierz[ A,B ]
wymiaru m × ( n +1)nazywamymacierz¡rozszerzon¡.Nast¦puj¡cetwier-
dzenierozstrzygakiedyukładrówna«posiadarozwi¡zanie.
4
Twierdzenie2(Kronecker-Capelli) (i) Układrówna«AX = Bmaroz-
wi¡zaniewtedyitylkowtedygdy r( A )=r([ A,B ]) .
(ii) Je±li r( A )=r([ A,B ])= ntoukładmadokładniejednorozwi¡zanie.
(iii) Je±li r( A )=r([ A,B ])= k<ntoukładmaniesko«czenierozwi¡za«.
Wniosek1 Je±liAjestmacierz¡kwadratow¡stopniantoukładjednorodny
AX =0 maniezerowerozwi¡zaniewtedyitylkowtedygdy det A =0 .
Dowód
( ( )Je±liukładposiadaniezerowerozwi¡zanietowyznacznikmusiby¢rów-
nyzero,bowprzeciwnymprzypadku A jestodwracalnairozwi¡zaniejest
dokładniejedno(zerowe).
( ) )Je±lidet A =0tor( A )=r([ A, 0])= k<n izTwierdzeniaKroneckera-
Capellegowynika,»eukładmaniesko«czeniewielerozwi¡za«.
WykorzystaniealgorytmuGaussawrozwi¡zywaniuukładówrów-
na«
Danyjestukład:
8
> > > <
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
.................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = b m
Mo»nazauwa»y¢,»erozwi¡zanieukładusi¦niezmienije±lidopewnegorów-
naniadodasi¦innepomno»oneprzezpewn¡stał¡.Niezmienisi¦tak»eje-
±lizamienimydwarównaniamiejscamiije±lipewnerównaniewymno»ymy
przezniezerow¡stał¡.Je±lib¦dziemywykonywa¢takieprzekształceniatowy-
konujemyjetylkonawspółczynnikachrówna«,czylinawierszachmacierzy
rozszerzonej: 2
> > > :
a 11 a 12 ...a 1 n b 1
a 21 a 22 ...a 2 n b 2
... ... ... ... ...
a m 1 a m 2 ...a mn b m
3
6 6 6 4
7 7 7 5
x 1 +2 x 2 − x 3 =1
− x 1 − 3 x 2 + x 3 =0
2 x 1 +3 x 2 − 2 x 3 =5
Przykład Zbadamyrozwi¡zalno±¢układurówna«:
8
> <
> :
2 x 1 +3 x 2 − x 3 +2 x 4 − x 5 =4
− x 1 +2 x 2 +3 x 3 − 3 x 4 +3 x 5 =0
x 1 + x 2 +2 x 3 − x 4 +2 x 5 =4
> :
5
Mo»emywi¦cu»y¢algorytmuGaussadorozwi¡zywaniaukładówrówna«.
Przykład Rozwi¡»emyukładrówna«:
8
> <
19538069.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin