Algebra 0-02 działania.pdf
(
69 KB
)
Pobierz
19538907 UNPDF
Wykład2
Działania
Zwcze±niejszychkursówznamypoj¦ciedziała«arytmetycznychwzbiorze
liczbrzeczywistych(+
,
−
,
·
,
:).
Niech
A
b¦dziedowolnymzbiorem.Ka»d¡funkcj¦
f
:
A
n
!
A
nazywa-
my(
n
-arnym)działaniemwzbiorze
A
.Je±li
n
=2todziałanienazywamy
binarnym.Dladziała«binarnychcz¦stou»ywamyoznacze«+
,
·
,
,
,
,
i
podobnych,tradycyjnienieu»ywamyzapisu+(
a,b
)tylko
a
+
b
.
Przykład
+jestdziałaniembinarnymwzbiorachN
,
Z
,
Q
,
R.
:niejestdziałaniembinarnymwzbiorzeRbowyra»enie
a
:0jestnieokre-
±lone.
:niejestrównie»działaniemwzbiorzeZ
\{
0
}
bowarto±¢dzielenia1:2nie
jestliczb¡całkowit¡.
Przykład
Je±li
X
jestdowolnymzbioremtoskładaniefunkcjijestdziałaniem
binarnymwzbiorze
X
X
.
Je±li
A
jestzbioremsko«czonym,
A
=
{
a
1
,a
2
,...,a
n
}
,a
jestdziałaniem
binarnymwtymzbiorzetodziałanietomo»naopisa¢przypomocytabelki:
a
1
a
2
... a
n
a
1
a
1
a
1
a
1
a
2
...
a
1
a
n
a
2
a
2
a
1
a
2
a
2
...
a
2
a
n
... ... ... ... ...
a
n
a
n
a
1
a
n
a
2
...
a
n
a
n
Zadanie
Opisa¢tabelk¦składaniafunkcjiwzbiorze
X
X
dla
X
=
{
1
,
2
}
.
Rozwi¡zanie
Jakwiemy
X
X
=
{
f
1
,f
2
,f
3
,f
4
}
,gdzie:
12
12
!
12
21
!
12
11
!
12
22
!
f
1
=
,f
2
=
,f
3
=
,f
4
=
.
Wtedynaprzykład:
12
21
!
12
21
!
0
@
12
21
12
1
A
=
12
12
!
f
2
f
2
=
=
=
f
1
,
!
!
0
12
11
22
1
!
12
21
12
11
12
22
f
2
f
3
=
=
@
A
=
=
f
4
.
Tabelkamaposta¢:
1
f
1
f
2
f
3
f
4
f
1
f
1
f
2
f
3
f
4
f
2
f
2
f
1
f
4
f
3
f
3
f
3
f
3
f
3
f
3
f
4
f
4
f
4
f
4
f
4
Własno±cidziała«binarnych.
Działanie
wzbiorze
A
nazywamy:
(a)ł¡cznymje±li:
8
a,b,c
2
Aa
(
b
c
)=(
a
b
)
c,
(b)przemiennymje±li:
8
a,b
2
Aa
b
=
b
a.
Element
e
2
A
nazywamyprawostronnymelementemneutralnymje±li:
8
a
2
Aa
e
=
a.
Podobniemo»namówi¢olewostronnymelemencieneutralnym.Element
e
2
A
nazywamyelementemneutralnymdziałania
je±lijestprawoilewostron-
nymelementemneutralnym.
a
a
0
=
a
0
a
=
e.
Je±li
a
posiadaelementodwrotnytonazywamygo
elementemodracalnym
.
Zadanie
Wyznaczy¢elementneutralnyskładaniawzbiorze
X
X
.Wyznaczy¢
wszystkieelementyodwracalnewzbiorze
X
X
dla
X
=
{
1
,
2
}
.
Elementyodwracalnewzbiorze
X
X
nazywamypermutacjamizbioruX
ioznaczamyjeprzez
S
(
X
).Elementjest
f
2
X
X
odwracalnydokładnie
wtedygdy
f
jestfunkcj¡odwracaln¡(tznjestwzajemniejednoznacznym
odwzorowaniemzbioru
X
na
X
).Je±li
X
=
{
1
,
2
,...,n
}
tozamiast
S
(
X
)
piszemy
S
n
.
Zadanie
Wyznaczy¢wszystkiepermutacjezbioru
X
=
{
1
,
2
,
3
}
.Wyznaczy¢
tabelk¦składaniafunkcjiwzbiorze
S
3
.
Niech
i
b¦d¡dwomadziałaniamiwzbiorze
A
.Wtedymówimy,»edzia-
łanie
jestrozdzielnewzgl¦dem
je±li:
8
a,b,c
2
Aa
(
b
c
)=(
a
b
)
(
a
c
)
,
(
a
b
)
c
=(
a
c
)
(
b
c
)
Zadanie
Jakiewłasno±cimaj¡działania
\
,
[
wzbiorze2
X
?
2
Twierdzenie1
Ka»dedziałaniemaconajwy»ejjedenelementneutralny.
Dowód
Je±li
e
1
i
e
2
s¡elementamineutralnymito
e
1
e
2
=
e
1
i
e
1
e
2
=
e
2
,
wi¦c
e
1
=
e
2
.
Niechdziałanie
posiadaelementneutralny
e
wzbiorze
A
iniech
a
2
A
.
Wtedyelement
a
0
2
A
nazywamyelementemodwrotnymdo
a
(wzgl¦dem
działania
)je±li:
Plik z chomika:
sebcio97
Inne pliki z tego folderu:
Algebra 0-01 pojęcia wstępne.pdf
(75 KB)
Algebra 0-02 działania.pdf
(69 KB)
Algebra 0-03 struktury algebraiczne.pdf
(69 KB)
Algebra 0-04 pierścienie.pdf
(78 KB)
Algebra 0-05 pierścienie.pdf
(69 KB)
Inne foldery tego chomika:
Algebra liniowa
Analiza Funkcjonalna
Analiza matematyczna
Analiza Regresji
Badania Operacyjne
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin