Algebra 0-01 pojęcia wstępne.pdf

(75 KB) Pobierz
19538908 UNPDF
Wykład1
Poj¦ciawst¦pne
B¦dziemyu»ywa¢,nast¦puj¡cychoznacze«:
N= { 0 , 1 , 2 , 3 ,... } -zbiórliczbnaturalnych,N
=N \{ 0 } ,
Z= { ..., − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,... } -zbiórliczbcałkowitych,
Q-zbiórliczbwymiernych,
R-zbiórliczbrzeczywistych.
Wy»ejwymienionezbioryspełniaj¡nast¦puj¡cerelacje:
N Z Q R
Iloczynemkartezja«skim zbiorów X i Y nazywamyzbiórzło»onyze
wszystkichpar( x,y ),takich»e x 2 X,y 2 Y .Iloczynkartezja«skizbiorów
X i Y oznaczamyprzez X × Y .Mamywi¦c:
X × Y = { ( x,y ): x 2 X,y 2 Y }
Ogólniejje±li X 1 ,X 2 ,...,X n s¡dowolnymizbioramitoiloczynemkartezja«-
skim X 1 × X 2 ×···× X n nazywamyzbiór:
X 1 × X 2 ×···× X n = { ( x 1 ,x 2 ,...,x n ): x i 2 X i , 1 ¬ i ¬ n }
Je±li X jestzbioremtoprzyjmujemyoznaczenie: X n = X × X × ···× X
| {z }
n
Uwaga1 Je±liXiYs¡zbioramisko«czonymii | X | = k, | Y | = ltomamy
| X × Y | = kloraz | X n | = k n .
Odwzorowanie f zbioru A wzbiór B nazywamy funkcj¡ je±lika»demu
elementowizbioru A przyporz¡dkowanyjestdokładniejedenelementzbioru
B ipiszemysymbolicznie:
f : A ! B
lub
A f ! B
Zbiór A nazywamydziedzin¡funkcji,azbiór B zbioremwarto±ci.Je±li A i
B s¡dowolnymizbioramitoprzez B A oznaczamyzbiórwszystkichfunkcji
przekształcaj¡cychzbiór A wzbiór B :
B A = { f : A f ! B }
1
Przykład Niech X = { 1 , 2 } .Wtedy X X jestzbioremfunkcjiprzekształca-
j¡cych X w X .Zbiór X X składasi¦znast¦puj¡cychfunkcji:
f 1 : 1 ! 1
2 ! 2 ,f 2 : 1 ! 2
2 ! 1 ,f 3 : 1 ! 1
2 ! 1 ,f 4 : 1 ! 2
2 ! 2 .
Wprzypadkugdy X jestzbioremsko«czonym,składaj¡cymsi¦zelemen-
tów x 1 ,x 2 ,...,x n ,tofunkcj¦ f 2 X X mo»emyzapisa¢wpostaci:
x 1 x 2 ... x n
f ( x 1 ) f ( x 2 ) ...f ( x n )
!
Dla X = { 1 , 2 } mamy:
(
!
!
!
!)
12
12
12
21
12
11
12
22
X X =
f 1 =
,f 2 =
,f 3 =
,f 4 =
.
Je±li X jestdowolnymzbioremtoprzez2 X oznaczamyrodzin¦wszystkich
podzbiorówzbioru X .Mamywi¦c A 2 2 X () A X .
Przykład Niech X = { 1 , 2 , 3 } .Wtedymamy
2 X = { ? , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 }} .
Twierdzenie1 Je±liXjestzbioremsko«czonymi | X | = nto | 2 X | =2 n .
Dowód Zbiór X jestsko«czonyima n elementów,wi¦c X = { x 1 ,x 2 ,...,x n } .
Ka»dypodzbiórwi¡»esi¦zwyborempewnychjegoelementów,awi¦cpew-
nychnumerów.Mo»emywi¦cokre±li¢odwzorowanie:
:2 X !{ 0 , 1 } n
podzbiorówzbioru X wzbiórwszystkich n -elementowychci¡gówzero-jedyn-
kowych.Je±li A jestpodzbioremzbioru X toprzyporz¡dkowujemymuci¡g
( a 1 ,a 2 ,...,a n )taki,»e
(
1je±li x i 2 A
0je±li x i 62 A.
a i =
Naprzykład:
;! (0 , 0 ,..., 0)
X ! (1 , 1 ,..., 1)
{ x 1 }! (1 , 0 ,..., 0)
Nietrudnozauwa»y¢,»eka»demupodzbiorowiodpowiadadokładniejeden
ci¡g,ró»nympodzbioromodpowiadaj¡ró»neci¡giika»dyci¡godpowiada
2
pewnemupodzbiorowi.Zatemelementówzbioru2 X jestdokładnietylesamo
coelementówzbioru { 0 , 1 } n ,atychostatnichjest2 n .
Przykład Zilustrujmydziałaniefunkcji ,zdefiniowanejwdowodzietwier-
dzenianaprzykładziezbioru X = { 1 , 2 , 3 } :
:
; ! (0 , 0 , 0)
{ 1 } ! (1 , 0 , 0)
{ 2 } ! (0 , 1 , 0)
{ 3 } ! (0 , 0 , 1)
{ 1 , 2 }! (1 , 1 , 0)
{ 1 , 3 }! (1 , 0 , 1)
{ 2 , 3 }! (0 , 1 , 1)
{ 1 , 2 , 3 }! (1 , 1 , 1)
3

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin