Wykład 11 - Macierze i przekształcenia liniowe II.pdf

(105 KB) Pobierz
59570556 UNPDF
Przekształcenialinioweamacierze
WYKŁAD11
JacekJ¦drzejewski
2008/2009
Spistre±ci
1Macierzecd. 2
2Macierzprzekształcenialiniowego 3
1
1Macierzecd.
Macierz¡kwadratow¡ nazywamymacierz,wktórejliczbawierszyjestrówna
liczbiekolumn.T¦wspóln¡liczb¦nazywamystopniemmacierzykwadrato-
wej.
Je±limacierzkwadratowa A o n wierszachikolumnachmaposta¢
a ij
,
, wszystkieelementypowy»ejgłównej
przek¡tnejs¡równezeru,totak¡macierznazywamymacierz¡trójk¡tn¡dol-
n¡.
Je±liwmacierzykwadratowej
a ij
, wszystkieelementyponi»ejgłównej
przek¡tnejs¡równezeru,totak¡macierznazywamymacierz¡trójk¡tn¡gór-
n¡.
Je±liwmacierzykwadratowej
a ij
, wszystkieelementypozagłówn¡prze-
k¡tn¡s¡równezeru,totak¡macierznazywamy macierz¡diagonaln¡ ,ozna-
czamyj¡jakodiag( a 11 ,a 22 ,...,a nn ).
Macierz¡skalarn¡ nazywamymacierzdiagonaln¡,wktórejwszystkieele-
mentygłównejprzek¡tnejs¡sobierówne.
Macierz¡jednostkow¡ stopnia n nazywamymacierzdiagonaln¡,wktórej
wszystkieelementynagłównejprzek¡tnejs¡równe1.Macierzt¦b¦dziemy
oznaczaliliter¡ E .
Czasamisymbolem ij b¦dziemyoznaczalitzw.delt¦Kroneckera,czyli
funkcj¦,okre±lon¡wzbiorzeN 2 wzorem:
a ij
8
<
1 , gdy i = j,
0 , gdy i 6 = j.
ij =
:
Wtedymacierzjednostkow¡stopnia n mo»nazapisa¢wpostaci:
E =
ij
i =1 ,...,n
.
j =1 ,...,n
Macierz¡zerow¡ (niezale»nieodjejwymiaru)nazywamymacierz,której
wszystkiewyrazys¡równezeru.Macierzt¦b¦dziemyoznaczaliliter¡ O .
2
toci¡g( a 11 ,a 22 ,...,a nn )nazywamy główn¡przek¡tn¡ tejmacierzy.
Je±liwmacierzykwadratowej
m × n lub M m × n (K).
Zbiórwszystkichmacierzykwadratowychstopnia n ielementachzciałaK
oznaczamysymbolemK
n × n lub M n × n (K),lub M n (K) .
i =1 ,...,m
Niech A ,gdzie A =
a ij
, b¦dziemacierz¡zezbioru M m × n (K) .
j =1 ,...,n
j =1 ,...,n
, zezbioru M n × m (K)nazywamymacierz¡
transponowan¡macierzy A ,je±li b ji = a ij dlaka»dego i zezbioru { 1 ,...,n }
oraz j zezbioru { 1 ,...,m } . Macierztransponowan¡macierzy A oznaczamy
jako A t lub A T lub A .
Ka»dywierszmacierzy A jestkolumn¡macierzytransponowanej A t ika»-
dakolumnamacierzy A jestwierszemmacierzytransponowanej A t .
b ji
i =1 ,...,m
Przykład1 Niech
2
213 − 2
568 4
405 7
3
4
5 i B =
h
i
A =
79640
.
Dlatychmacierzymamy:
2
3
2
3
7
9
6
4
0
254
160
385
− 247
4
5
A t =
4
5
i B t =
.
Twierdzenie1 Zbiór M m × n (K) zdodawaniemmacierzyimno»eniemma-
cierzyprzezelementyciała K jestprzestrzeni¡liniow¡nadciałem K ,maj¡c¡
wymiarm · n.
2Macierzprzekształcenialiniowego
b¦d¡przestrzeniamiliniowyminadciałemKiniechukład
( x 1 ,..., x n )b¦dziebaz¡przestrzeniV,natomiastukład( y 1 ,..., y m )b¦dzie
V
i
W
3
Zbiórwszystkichmacierzyowymiarach m × n ielementachzciałaK
oznaczamysymbolemK
Macierz B ,gdzie B =
Niech
.
Niech A b¦dzieprzekształceniemliniowymprzestrzeniVwprzestrze«W .
Ka»dywektor A ( x j )mo»najednoznacznieprzedstawi¢wpostacikombinacji
liniowejwektorów y 1 ,..., y m ,tzn.istniej¡elementy a ij ciałaKtakie,»e
W
A ( x j )= a 1 j y 1 + ... + a mj y m ,
dlawszystkich j zezbioru { 1 ,...,n } .
Otrzymanewspółczynnikitworz¡macierzo m wierszachi n kolumnach
2
a 11 ... a 1 n
... ... ...
a m 1 ... a mn
3
4
5 .
i
Y , X lub M A lubkrótko A . Macierzt¦
nazywamy macierz¡przekształceniaAwzgl¦dembaz X i Y ,gdzie
h
A
X =( x 1 ,..., x n )i Y =( y 1 ,..., y m ) .
Zauwa»amy,»e j -takolumnaskładasi¦zewspółczynnikówrozwini¦ciawek-
tora A ( x j )wzgl¦dembazy( y 1 ,..., y m ) .
Twierdzenie2 Je±li V i W s¡przestrzeniamiliniowyminadciałem K oraz
dim
= ni dim
W
= m,toprzestrze« Hom (
V
,
W
Dowód.Wiemy,»ezbiórmacierzy M m × n (K)stanowiprzestrze«liniow¡
zewzgl¦dunadodawaniemacierzyimno»enieprzezelementyciała.Niech
X i Y ,gdzie X =( x 1 ,..., x n )i Y =( y 1 ,..., y m )b¦d¡bazamiprzestrzeni
ViW,odpowiednio.NiechTb¦dzieprzekształceniem,któreka»demuho-
momorfizmowi A przestrzeni
V
wprzestrze«
W
przyporz¡dkowujemacierz
[ A ] Y , X .
Wtedy T
Hom (V , W)
= M m × n (K).Istotnie,niech
h
a ij
i
b¦dziedowoln¡
macierz¡zezbioru M m × n (K)orazniech
w j = a 1 j y 1 + ... + a mj y m , j 2{ 1 ,...,n } .
4
baz¡przestrzeni
Oznaczamyt¦macierzsymbolem
) jestizomorficznaz
przestrzeni¡ M m × n (K) wszystkichmacierzyomwierszachinkolumnach.
V
Ztwierdzeniaookre±laniuprzekształcenialiniowegowynika,»eistniejejedy-
neprzekształcenieliniowe A przestrzeniVwprzestrze«Wtakie,»e
A ( x j )= w j
dlaka»degowska¹nika j zezbioru { 1 ,...,n } .Oczywi±cie[ A ] Y , X = h a ij i ,czyli
T ( A )= h a ij i .
Ztegotwierdzeniawynikate»,»eje±li T ( A )= T ( B )dlapewnychprze-
kształce«liniowych A i B zezbioru Hom (V , W),czylidlaka»degowektora
x j zbazy X spełnionyjestwarunek A ( x j )= B ( x j ),to A = B .
Udowodnimyteraz,»efunkcja T jesthomomorfizmem.Niech A i B b¦d¡
dowolnymiprzekształceniamizezbioru Hom (V , W)i –dowolnymelemen-
temzciałaK . Je±li
2
a 11 ... a 1 n
... ... ...
a m 1 ... a mn
3
T ( A )=
4
5
i
2
b 11 ... b 1 n
... ... ...
b m 1 ... b mn
3
T ( B )=
4
5 ,
to
( A + B )( x j )= A ( x j )+ B ( x j )=
=( a 1 j + b 1 j ) · y 1 + ... +( a mj + b mj ) · y m ,
gdy j 2{ 1 ,...,n } .
Zatem
2
4
3
5 =
a 11 + b 11 ... a 1 n + b 1 n
... ... ...
a m 1 + b m 1 ... a mn + b mn
T ( A + B )=
2
a 11 ... a 1 n
... ... ...
a m 1 ... a mn
3
2
b 11 ... b 1 n
... ... ...
b m 1 ... b mn
3
=
4
5 +
4
5 =
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin