5.Obraz, rząd i jądro macierzy.pdf

(62 KB) Pobierz
116013798 UNPDF
Rozdzial 5
Obraz, rz ad i j adro macierzy
5.1 Obraz i rz ad macierzy
Niech A2K m;n ,
A = [a 1 ;a 2 ;:::;a n ]; a j 2K m ; 1jn:
Obraz macierzy A deniujemy jako
R(A) :=fAx : x2K n g= span(a 1 ;a 2 :::;a n )K m :
Dalej, rz ad kolumnowy macierzy A deniujemy jako
rz k (A) := dim (R(A)) :
Oczywiscie, 0rz k (A)min(m;n). Podobnie, przedstawiaj ac A jako
wektory-wiersze (funkcjonaly),
A =
2
4 a .
a T m
3
5
;
deniujemy rz ad wierszowy macierzy A jako
rz w (A) = dim
R(A T )
= dim (span(a 1 ; a 2 ;:::; a n )) :
Podobnie jak dla rz edu kolumnowego, 0rz w (A)min(m;n).
Mamy nast epuj ace wazne twierdzenie.
43
44
ROZDZIAL 5. OBRAZ, RZ AD I J ADRO MACIERZY
Twierdzenie 5.1 Dla dowolnej macierzy A2K m;n mamy
rz k (A) = rz w (A):
Dowod. Oznaczmy
k = rz k (A) oraz w = rz w (A):
Zauwazmy najpierw, ze permutacja kolumn macierzy nie zmienia ani jej
rz edu kolumnowego (bo to tylko zmiana kolejnosci wektorow) ani jej rz edu
wierszowego (bo to tylko przenumerowanie wspolrz ednych, identyczne dla
kazdego z wektorow). Podobnie rz edow nie zmienia permutacja wierszy.
Dokonajmy wi ec, dla uproszczenia, takiej permutacji kolumn, a potem
wierszy, aby otrzymana macierz
A byla postaci
A =
h
A I A II
i
;
gdzie A I 2K m;k , A II 2K m;nk , rz k (A I ) = k, oraz
"
A 1
A 2
#
A I =
;
w 1 := rz w (A I ) = rz w (A 1 ). Oczywiscie
w 1 w;
bo wiersze A 1 s a \obci etymi" wierszami A.
Poniewaz wektory-wiersze macierzy A 2 s a liniowo zalezne od wektorow-
wierszy macierzy A 1 to istnieje macierz B2K w 1 ;mw 1 taka, ze A 2 = A 1
"
A 1 x
A 2 x
#
"
A 1 x
B T A 1 x
#
A I x =
=
:
St ad, A 1 x = 0 wtedy i tylko wtedy gdy A I x = 0, a poniewaz kolumny
macierzy A I s a liniowo niezalezne, oznacza to takze liniow a niezaleznosc ko-
lumn macierzy A 1 . A jesli tak to ich liczba k nie moze przekroczyc w 1 , czyli
wymiaru przestrzeni do ktorej nalez a.
B (gdzie kolejne kolumny B s a wspolczynnikami odpowiednich kombinacji
liniowych), czyli A 2 = B T A 1 . Dla dowolnego x2K k mamy wi ec
5.2. PRZESTRZE N ZEROWA (J ADRO) MACIERZY
45
Otrzymalismy wi ec, ze
rz k (A) = rz k ( A) = kw 1 w = rz w ( A) = rz w (A):
Przeprowadzaj ac podobne rozumowanie dla macierzy A T otrzymujemy
rz w (A)rz k (A), a st ad ostatecznie rz w (A) = rz k (A), co nalezalo pokazac.
Na podstawie twierdzenia 5.1 poprawna jest nast epuj aca denicja rz edu
macierzy.
Denicja 5.1 Rz edem macierzy A nazywamy liczb e
rz(A) := rz k (A) = rz w (A):
5.2 Przestrzen zerowa (j adro) macierzy
Dla A2K m;n zbior
N:=
n
x2K n : Ax = 0
o
nazywamy j adrem macierzy A.
Niech k = rz(A). Zalozmy, ze kolumny macierzy A zostaly tak przesta-
wione, ze otrzymana macierz
A ma postac
A =
h
A I A II
i
;
gdzie A I 2K m;k , A II 2K m;nk , oraz rz(A I ) = rz( A) (= rz(A)). Jesli
tak to kolumny macierzy A II s a liniowo zalezne od kolumn macierzy A I .
W konsekwencji A II = A I B dla pewnej B2K k;nk . Zalozmy teraz, ze
x2N( A). Przedstawiaj ac x w postaci
"
x I
x II
#
x =
;
x I 2K k , x II 2K nk , mamy
h
i "
x I
x II
#
0 =
Ax =
A I A II
= A I x I + A II x II
= A I x I + A I B + x II = A I (x I + Bx II ):
46
ROZDZIAL 5. OBRAZ, RZ AD I J ADRO MACIERZY
Ostatnie wyrazenie jest liniow a kombinacj a kolumn macierzy A I , a poniewaz
kolumny te s a liniowo niezalezne to kombinacja ta daje wektor zerowy tylko
wtedy gdy x I + Bx II = 0, czyli x I =Bx II . St ad
("
#
)
("
#
)
Bx II
x II
B
I nk
N( A) =
: x II 2K nk
=
x : x II 2K nk
:
Przedstawiaj ac B kolumnowo, B = [b 1 ;:::;b nk ], otrzymujemy ostatecznie
"
#!
"
#
"
#!
b 1
e 1
b nk
e nk
B
I nk
N( A) =R
= span
;:::;
;
gdzie jak zwykle e j 2K nk jest j-tym wersorem. Poniewaz e 1 ;:::;e nk s a
liniowo niezalezne to liniowo niezalezne s a tez wektory w powyzszym \span".
St ad dim(N( A)) = nk = nrz(A). Wobec rownosci dim(N( A)) =
dim(N(A)) (bo permutacja kolumn skutkuje jedynie przestawieniem wspol-
rz ednych w j adrze) dostajemy nast epuj acy wniosek.
Wniosek 5.1 Dla dowolnej macierzy A2K m;n
dim(N(A)) + dim(R(A)) = n:
5.3 Rozklad przestrzeni wzgl edem obrazu i
j adra
Zatrzymajmy si e na chwil e na przypadku gdy KC. Poniewaz wtedy
0
X
n
1
X
@
a j x j
A
=
a j x j
j=1
j=1
(gdzie sprz ezenie wektora oznacza sprz ezenie \po wspolrz ednych") to wektory
(a 1 ;:::;a n ) oraz (a 1 ;:::;a n ) s a jednoczesnie albo liniowo niezalezne, albo
liniowo zalezne. St ad rz(A) = rz(A) (gdzie znow sprz ezenie macierzy oznacza
sprz ezenie \po wspolrz ednych"). W konsekwencji,
rz(A H ) = rz(A T ) = rz(A T ) = rz(A):
Latwo mozna tez wywnioskowac inn a wlasnosc; mianowicie, jesli
A = BC;
n
116013798.001.png 116013798.002.png 116013798.003.png 116013798.004.png
5.3. ROZKLAD PRZESTRZENI WZGL EDEM OBRAZU I J ADRA
47
A2K m;n , B2K m;k , C2K k;n , to
rz(A)min(rz(B); rz(C)):
Rzeczywiscie, rownosc A = BC oznacza, ze kolumny macierzy A s a liniow a
kombinacj a kolumn macierzy B, a st adR(A)R(B) i w konsekwencji
rz(A)rz(B). Bior ac z kolei transpozycj e mamy A T = C T B T i to samo
rozumowanie dajeR(A T )R(B T ) oraz
rz(A) = rz(A T )rz(B T ) = rz(B):
Na koniec jeszcze jedno istotne twierdzenie.
Twierdzenie 5.2 Niech KC i A2K m;n . Wtedy
K m
=R(A)N(A H )
K n
=R(A H )N(A):
Dowod. Wystarczy pokazac pierwsz a z tych rownosci. W tym celu naj-
pierw uzasadnimy, ze suma jest sum a prost a. Rzeczywiscie, jesli y2R(A)\
N(A) to A H y = 0 oraz istnieje x2K n taki, ze Ax = y. St ad
kyk 2 = y H y = (Ax) H y = x H (A H y) = 0;
czyli y = 0 i suma podprzestrzeni jest prosta.
Pozostaje pokazac, ze wymiar sumy prostej wynosi m. Mamy bowiem
dim
R(A)N(A H )
= dim (R(A)) + dim
N(A H )
h
mdim
i
= dim (R(A)) +
R(A H )
= dim (R(A)) + [mdim (R(A))]
= m:

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin