6.Funkcjonały liniowe.pdf
(
86 KB
)
Pobierz
116013863 UNPDF
Rozdzial 6
Funkcjonaly liniowe
6.1 Funkcjonaly
6.1.1 Denicja i przyklady
NiechX
jK
b edzie przestrzeni a liniow a, dim(X
jK
) <1.
Denicja 6.1 Odwzorowanie
s :X!K
nazywamy funkcjonalem (liniowym) naX
jK
gdy dla dowolnych a;b2Xi
;2K
s(a + b) = s(a) + s(b):
Zbior wszystkich funkcjonalow (liniowych) naX
jK
oznaczamy przezX
.
Podamy teraz kilka przykladow funkcjonalow.
W przestrzeni wektorow K
n
jK
funkcjonalami s a przeksztalcenia postaci
s(x) = a
T
x; 8x2K
n
;
gdzie a2K
n
jest ustalonym wektorem. (Tu wyjasnia si e tajemnica nazwania
wczesniej funkcjonalem macierzy jednowierszowej.)
W przestrzeni macierzy K
m;n
P
jK
funkcjonalami s a np. s
1
(A) = a
2;3
, s
2
(A) =
tr(A) :=
min(m;n)
j=1
a
j;j
(jest to slad macierzy), przy czym A = (a
i;j
)2K
m;n
.
53
54
ROZDZIAL 6. FUNKCJONALY LINIOWE
s
2
(p) = 3p(1)7p(3),
W przestrzeni wielomianowP
n
jR
funkcjonalami s a np. s
1
(p) = p(2),
Z
s
3
(p) =
d
2
p
dt
2
1
= p
00
(1); s
4
(p) =
p(t)dt;
t=1
0
przy czym p2P
n
.
6.1.2 Przestrzen sprz ezona
Na zbiorzeX
mozemy w naturalny sposob zdeniowac dodawanie funk-
cjonalow s
1
;s
2
2X
,
(s
1
+ s
2
)(a) := s
1
(a) + s
2
(a); 8a2X;
oraz mnozenie funkcjonalu s2X
przez skalar 2K,
(s)(a) := s(a); 8a2X:
Twierdzenie 6.1 ZbiorX
z powyzej zdeniowanymi dzialaniami dodawa-
nia funkcjonalow i mnozenia przez skalar jest przestrzeni a liniow a nad K.
Dowod tego twierdzenia jest trywialny i polega na bezposrednim spraw-
dzeniu warunkow bycia przestrzeni a liniow a. Tutaj zauwazymy tylko, ze
elementem zerowymX
jK
jest funkcjonal zerowy, 0
(a) = 08a2X, a
elementem przeciwnym do s2X
jest funkcjonal (s) zdeniowany jako
(s)(a) =s(a)8a2X.
Denicja 6.2 PrzestrzenX
jK
nazywamy przestrzeni a sprz ezon a doX
jK
.
SkoroX
jK
jest przestrzeni a liniow a to mozemy spytac o jej wymiar i baz e.
Twierdzenie 6.2 Mamy
dim
X
jK
= dim
X
jK
:
Ponadto, jesli uklad wektorow (a
1
;a
2
;:::;a
n
) jest baz aX
jK
to uklad funk-
cjonalow (s
1
;s
2
;:::;s
n
) zdeniowany warunkami
s
k
(a
j
) =
1; j = k;
0; j 6= k;
gdzie 1j;kn, jest baz aX
jK
.
6.2. REFLEKSYWNOS C
55
Dowod. Zauwazmy najpierw, ze s
k
s a formalnie dobrze zdeniowanymi
funkcjonalami. Dla dowolnego a =
P
j=1
a
j
j
2Xmamy bowiem
!
X
n
X
s
k
(a) = s
k
a
j
j
=
s
k
(a
j
)
j
=
k
:
j=1
j=1
St ad s
k
\zwraca" k-t a wspolrz edn a rozwini ecia wektora a w bazie wektorow
(a
1
;:::;a
n
).
Pokazemy najpierw liniow a niezaleznosc funkcjonalow s
k
, 1kn. W
tym celu zalozmy, ze liniowa kombinacja s :=
P
n
!
X
n
X
n
s(a
j
) =
s
k
k
(a
j
) =
s
k
(a
j
)
k
=
j
k=1
k=1
to
j
= 0.
Pozostaje pokazac, ze funkcjonaly s
k
, 1kn, rozpinaj aX
. Rze-
czywiscie, dla dowolnego s2X
oraz a =
P
j=1
a
j
j
2Xmamy
!
X
n
X
n
s(a) = s
a
j
j
=
s(a
j
)
j
j=1
j=1
!
X
n
X
n
=
j
s
j
(a) =
j
s
j
(a);
j=1
j=1
P
j=1
j
s
j
jest kombinacj a liniow a funkcjonalow
s
j
i w konsekwencjiX
= span(s
1
;:::;s
n
).
n
6.2 Reeksywnosc
6.2.1 RownoscXiX
Dla wygody wprowadzimy oznaczenie
sa := s(a); s2X
;a2X:
Zauwazmy, ze zapis sa mozemy traktowac jako dzialanie funkcjonalu s
na wektor a, ale tez odwrotnie, jako dzialanie wektora a na funkcjonal s.
Poniewaz dodatkowo idla dowolnych s
1
;s
2
2X
i
1
;
2
2K mamy
(
1
s
1
+
2
s
2
)a =
1
(s
1
a) +
2
(s
2
a);
n
n
k=1
s
k
k
= 0
. Wtedy, w
szczegolnosci, dla kazdego j mamy s(a
j
) = 0, a poniewaz
n
gdzie
j
= s(a
j
). St ad s =
56
ROZDZIAL 6. FUNKCJONALY LINIOWE
mozemy traktowac wektor a jako funkcjonal naX
jK
, tzn. a2X
:= (X
)
.
Mamy wi ecX
X
, a poniewaz na podstawie twierdzenia 6.2
dim
X
jK
= dim
X
jK
= dim
X
to
X=X
:
Ostatnia wlasnosc nazywa si e reeksywnosci a.
1
Doadajmy jeszcze, ze jesli (s
1
;:::;s
n
) jest baz aX
sprz ezon a z baz a
(a
1
;:::;a
n
) to rowniez odwrotnie, (a
1
;:::;a
n
) jest baz aX
=Xsprz ezon a
do (s
1
;:::;s
n
). Wynika to bezposrednio z faktu, ze s
j
a
k
wynosi 1 dla j = k
oraz zero dla j 6= k.
6.2.2 Przyklady
Podamy teraz przyklady baz i baz sprz ezonych.
NiechX
jK
= K
n
jK
. Baz a sprz ezon a do bazy (e
1
;:::;e
n
) przestrzeni wek-
torow K
n
jK
jest (e
1
;:::;e
n
).
W ogolnym przypadku, baz a sprz ezon a do dowolnej bazy (a
1
;:::;a
n
) jest
(a
1
;:::; a
n
), gdzie wektory a
j
s a tak dobrane, ze transpozycja macierzy A :=
[a
1
;:::; a
n
] jest odwrotnosci a macierzy A := [a
1
;:::;a
n
], tzn. A
T
= A
1
.
(Pozniej pokazemy, ze taka macierz istnieje.) Innymi slowy, znalezienie bazy
sprz ezonej sprowadza si e do znalezienia macierzy odwrotnej do macierzy A.
NiechX
jK
=P
n
jR
. Wtedy baz e sprz ezon a do bazy pot egowej wielomianow
(1;t;t
2
;:::;t
n1
) tworz a funkcjonaly (s
1
;:::;s
n
) zdeniowane jako
s
k
(p) =
1
(k1)!
d
k1
p
dt
k1
t=0
=
p
(k1)
(0)
(k1)!
; 8p2P
n
:
Jesli zas s
k
(p) = p(t
k
), 1kn, gdzie t
1
< t
2
<< t
n
s a ustalo-
nymi punktami, to baz e sprz ezon a do bazy funkcjonalow (s
1
;:::;s
n
) tworz a
wielomiany Lagrange'a (l
1
;:::;l
n
) zdeniowane jako
Y
n
tt
i
t
j
t
i
:
l
j
(t) =
j6=i=1
1
Pokazalismy, ze przestrzenie skonczenie wymiarowe s a reeksywne. Warto dodac, ze
wlasnosc ta w ogolnosci nie zachodzi dla przestrzeni nieskonczenie wymiarowych.
jK
6.3. ROZSZERZENIE FORMALIZMU MACIERZOWEGO
57
Rzeczywiscie, latwo sprawdzic, ze
s
k
(l
j
) = l
j
(t
k
) =
1; j = k;
0; j 6= k:
6.3 Rozszerzenie formalizmu macierzowego
6.3.1 Macierze wektorow i funkcjonalow
W tym miejscu rozszerzymy nieco formalizm rachunku macierzowego na
macierze nieliczbowe, ktorych elementami s a wektory, a nawet funkcjonaly.
Pomoze nam to uproscic pewne rachunki na macierzach.
NiechX
jK
b edzie przestrzeni a liniow a i a
j
2X, 1jk. Wtedy
mozemy formalnie zdeniowac macierz jednowierszow a wektorow
A = [a
1
;:::;a
k
]2X
1;k
:
2
4
1
3
Dla ~ =
.
k
5
2K
k
deniujemy w naturalny sposob mnozenie
X
k
A
~ :=
a
j
j
;
j=1
b ed ace skrotowym zapisem kombinacji liniowej wektorow a
j
.
Podobnie, maj ac dane s
j
2X
, 1jl, mozemy zdeniowac macierz
jednokolumnow a funkcjonalow
2
4
s
3
S =
.
s
l
5
2(X
)
l;1
:
Dla x2Xdeniujemy w naturalny sposob mnozenie
2
4
s
1
x
3
S
x :=
.
s
l
x
5
2K
l;1
:
Plik z chomika:
sebcio97
Inne pliki z tego folderu:
wektory2.jpg
(170 KB)
wektory1.jpg
(280 KB)
uklady rownan1.jpg
(153 KB)
uklady rownan.jpg
(197 KB)
algebra zestaw 32.jpg
(105 KB)
Inne foldery tego chomika:
Algebra
Analiza Funkcjonalna
Analiza matematyczna
Analiza Regresji
Badania Operacyjne
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin