8 - Przestrzeń metryczna.doc

TEMAT:
Przestrzeń metryczna

DEFINICJA 8.1    (DEFINICJA METRYKI)

                       określmy funkcję

    taką, że

 -  warunek nieujemności

  -  warunek symetrii

  -  warunek nierówności trójkąta

Jeżeli d spełnia warunki 1o - 4o to mówimy , że d jest metryką, gdy są spełnione tylko 3

pierwsze warunki to d jest półmetryką.

Parę uporządkowaną (X,d) nazywamy zaś przestrzenią metryczną.

PRZYKŁAD 8.1    (PRZYKŁADY METRYK)

I.          Niech

Udowodnimy, że tak zdefiniowana funkcja spełnia założenia metryki.  

Dowód:

Własności 1o, 2o i 4owynikają bezpośrednio z własności bezwzględnej wartości.

Udowodnimy punkt 3o. Z definicji mamy:

c.n.u.

II.         Niech

                        oraz
 

            a)           jest to odległość euklidesowa

Dowód:

Warunki 1o 2o i 4o są oczywiste, udowodnimy tylko warunek 3o definicji 8.1.

W dowodzie będziemy korzystali z nierówności  Cauchy’ego.

            ale z nierówności Cauchyego wiemy, że:

            Zatem

c.k.d.

            b)

Niech  - jest to tak zwana odległość taksówkowa.

Dowód:

Dowody warunków 1o, 2o i 4o są oczywiste, udowodnimy zatem tylko warunek 3o definicji metryki.

            c)

         - jest to odległość maksimum.

Dowód:

Dowody warunków 1o, 2o i 4o są oczywiste, udowodnimy

zatem tylko warunek 3o definicji metryki.

III.        Niech

                                   wtedy

            a)          - jest to odległość euklidesowa

            b)          - odległość taksówkowa

            c)           - odległość maksimum

Dowody są analogiczne jak w przypadku II.

IV.       Niech X będzie dowolnym  zbiorem, takim że

Skonstruujmy funkcję d taką, że
 

    
wówczas d nazywamy metryką dyskretną.
 

Udowodnimy, że tak podana funkcja spełnia warunki metryki.

Dowód:

Warunki 1o, 2o i 4o definicji 8.1. są natychmiastowe z określenia funkcji.

Zajmiemy się zatem warunkiem 3o.

 Jeżeli: 
                        a)    to   

b)    to 

c)    to 

d)    to 

e)    to 

Tym samym pokazałem, iż w metryce dyskretnej  warunek 3o  definicji metryki  jest zawsze spełniony.

PRZYKŁAD 8.2    (METRYKA W ILOCZYNIE KARTEZJAŃSKIM DWÓCH
                  &#x...