01. Całka podwójna w prostokącie.pdf

(99 KB) Pobierz
Całka podwójna w prostokącie
CAŁKA PODWÓJNA W PROSTOKĄCIE
Niech
P
 

x
,
y
:
a
x
b
c
y
d
f :
f – funkcja ograniczona
P
R
y
d
P 1
P 2 P 3
P k
P
P n
c
a b
x
.
• prostokąt P dzielimy na n prostokatów k P o polach n

• w każdym z prostokatów k P wybieramy punkt   k
k ,...,
, 
k
1
A
k P
x
k
,
y
k
• następnie tworzymy sumę całkową
  k
1
n
S 
n y
f
x
k
,
k
k
Wprowadzamy oznaczenia
d k – długość przekątnej prostokąta P k
– średnica podziału n
, gdzie k
 jest największą długością przekątnej;
Tworzymy ciąg podziałów  N
n d
:
1 max
k
n
n prostokąta P .
n nazywamy ciągiem normalnym podziałów , jeśli odpowiadający mu ciąg średnic
dąży do 0, tzn.
n
n

0
S jest
zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów A k , to granicę tę
nazywamy całką podwójną funkcji 
n
n
f , w prostokącie P i oznaczamy

x
y
 P d
f
x
,
y
Zatem

f
 n
x
,
y
d
.
:
lim
n 0
S
P
1
 ,
Tworzymy następujący podział prostokąta P i oznaczamy n
k
k
n
Definicja
Ciąg  N
n
Definicja (całki podwójnej)
Jeśli dla każdego ciągu normalnego podziałów prostokąta P ciąg sum całkowych  N
35152922.003.png 35152922.004.png 35152922.005.png
Uwaga
Ograniczoność funkcji 
xf , jest warunkiem koniecznym istnienia całki, lecz nie jest to
y
xf – funkcja ograniczona w prostokącie P oraz ciągła poza zbiorem miary 0 ,
tzn. poza zbiorem punktów, który można pokryć skończoną liczbą prostokątów
o dowolnie małej sumie pól (mniejszej niż ε ).
T: f jest całkowalna w prostokącie P.
( y
)
Wniosek
Z twierdzenia wynika:
1 f – ciągła w P z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem
funkcji  
xy ,
),( 
gdzie
C
a
f – całkowalna w P
y
P
y=φ ( x )
,  jest zbiorem miary
zero (można go pokryć skończoną liczbą
prostokątów o dowolnie małych polach)
xx ,
x
a
b
a b
x
2 f – ciągła w P z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem
funkcji  
yx ,
),( 
gdzie
C
c
f – całkowalna w P
y
c
P
d
x=ψ ( y )
x
Wniosek
Funkcja może nie być ciągła na brzegu prostokąta, a mimo to będzie całkowalna.
opracował Mateusz Targosz
2
warunek wystarczający.
Twierdzenie ( o całkowalności funkcji dwóch zmiennych )
Z:
b
Uzasadnienie:
zbiór   
d
35152922.006.png 35152922.001.png 35152922.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin