10. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów.pdf

(114 KB) Pobierz
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW
przestrzeń unormowana nad K,
X K
n
,

Y
,
U K
Top
n
,
f
:
0 U
U
Y
,
x
.
Definicja
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu są to pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych rzędu
pierwszego
2
f
  n
f
x
:
x
,
gdzie
k
,
j
1
,...,
x
x
0
x
x
0
j
k
j
k
(liczymy pochodne zgodnie z kierunkiem składania).
Zakładamy, że określiliśmy pochodne cząstkowe rzędu k– 1 -szego. Wtedy definiujemy pochodne
cząstkowe rzędu k -tego :
k
f
  }
k
1
f
x
:
x
,
gdzie
i
,
i
,...,
i
{
,...,
n
x
...
x
0
x
x
...
x
0
1
2
k
i
i
i
i
i
1
k
1
2
k
Oznaczenia
k
f
 
ozn
.
x
f
x
x
1 ...
x
0
x
i
x
i
...
x
i
0
1
1
i
i
k
k
f
 
ozn
.
k
f
x
x
x
...
x
0
x
k
i
0

i

i
k
razy
Twierdzenie ( o istnieniu k-tej pochodnej cząstkowej )
Zał: - istnieje k -ta różniczka funkcji f w punkcie
d x 0
f
x
Teza: pochodne cząstkowe funkcji f rzędu k w punkcie
x
0
wartość różniczki
k-tego rzędu w
oraz
k
f
   },
x
d
k
x
f
e
,...,
e
,
gdzie
i
,...,
i
{
,...,
n
x
...
x
0
i
i
1
k
0
1
k
i
1
i
k
e
,...,
e
baza
kanoniczna
K
n
.
1
punkcie dla
wektorów bazowych
x
0
1
Niech
10635283.006.png 10635283.007.png 10635283.008.png 10635283.009.png
Twierdzenie ( o istnieniu k-tej różniczki )
Zał:
oraz
istnieją wszystkie pochodne cząstkowe k -tego rzędu funkcji f w U.
Top
n
,
f :
U
R
Teza: Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k funkcji f są ciągłe na zbiorze U, to
f
C
k
oraz
   ,
n
k
f
d
k
x
f
h
1
,...,
h
k
x
h
1
h
2
...
h
k
i
,
gdzie
x
U
x
...
x
1
2
k
  ,
1
,...,
i
1
i
i
h
j
R
h
j
,...,
h
j
n
n
dla
j
1
,...,
k
1
k
1
tzn. funkcja posiada ciągłą pochodną rzędu k oraz wartość k- tej różniczki w punkcie x jest równa
sumie pochodnych cząstkowych pomnożonych przez odpowiednie współrzędne kolejnych
wektorów z .
R
n
Twierdzenie ( o równości pochodnych mieszanych )
Zał:
Top
n
,
f
:
0 U
U
R
,
Teza:
1° Jeśli funkcja f ma k -tą różniczkę w punkcie x 0 , to k- te pochodne cząstkowe tej funkcji w punkcie
nie zależą od kolejności zmiennych, tzn.
.
x
k
f
    
k
f
d
k
x
f
P
,
P
permutacja
k
elementowa
:
x
x
0
x
...
x
0
x
...
x
0
i
1
i
k
i
P
1
P
k
2° Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe rzędu k funkcji f istnieją i są ciągłe w punkcie x 0 , to
k
f
    
k
f
P
,
P
permutacja
k
elementowa
:
x
x
x
...
x
0
x
...
x
0
i
1
i
i
P
1
i
P
k
czyli również w tym przypadku możemy zmieniać kolejność liczenia pochodnych cząstkowych
względem ustalonych zmiennych, a pochodne te nie zmieniają się.
Uwaga
Pochodne występujące w tezie powyższego twierdzenia nazywamy pochodnymi mieszanymi .
2
U R
i
i
i
k
U R
x
i
k
10635283.001.png
 
Przykład
Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
f
 1
x
,
y
xy
2
x
3
y
3
2
Pochodnych trzeciego rzędu jest tyle ile jest trzyelementowych wariacji zbioru dwuelementowego,
W=2 3 =8. Pochodne cząstkowe dowolnego rzędu funkcji f są ciągłe, zatem pochodne mieszane są
równe. Wystarczy więc, że policzymy tylko cztery pochodne:
f
yyy
0
f
xyy
6
f
xxy
12
x
f
xxx
12
y
bo
f
xyy
f
yxy
f
yyx
f
xxy
f
xyx
f
yxx
.
Przykład
Liczba pochodnych cząstkowych rzędu m funkcji dwóch zmiennych wynosi , jednakże jeśli
pochodne te są ciągłe, to wystarczy wyznaczyć tylko m +1 spośród nich.
2
m
Uwaga
Jeśli funkcja nie jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
x
0 , x
f
D
2

, to pochodne mieszne
0
drugiego rzędu nie muszą być równe.
Przykład
Obliczyć pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu funkcji
  
xy
x
2
y
2
dla
(
x
,
y
)
(
0
),
f
x
,
y
x
2
y
2
0
dla
(
x
,
y
)
(
0
),
w punkcie (0,0).
f
   
   
lim
f
0
t
,
f
0
lim
f
t
,
f
0
lim
0
lim
0
0
x
t
t
t
t
0
t
0
t
0
t
0
f
0
lim
f
0
t
f
0
lim
f
0
t
f
0
lim
0
lim
0
0
y
t
t
t
t
0
t
0
t
0
t
0

     
Natomiast
dla
x,y
0
,
0
otrzymujem
y
:
 
 
f
3
x
2
y
y
3
x
2
y
2
2
x
2
y
x
2
y
2
y
x
4
4
x
2
y
2
y
4
x
,
y
 
x
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2
    
 
  2
f
x
3
3
xy
2
x
2
y
2
2
xy
2
x
2
y
2
x
x
4
4
x
2
y
2
y
4
x
,
y
 
y
2
2
2
2
2
x
y
x
y
3
0
10635283.002.png 10635283.003.png
Zatem
f
    
0
t
,
f
0
f
t
,
f
0
2
f
y
y
y
y
t

0
lim
lim
lim
lim
1
1
x
y
t
0
t
0
t
t
0
t
0
Podobnie
       1
f
0
t
f
0
f
0
t
f
0
2
f
t
x
x
x
x
0
lim
lim
lim
lim
1
y
x
t
t
t
t
0
0
0
t
0
i w konsekwencji
2
f
  .
2
f
0
0
x
y
y
x
Stąd można wnioskować, że każda z pochodnych cząstkowych mieszanych rzędu drugiego nie jest
ciągła w punkcie (0,0).
opracował Marcin Uszko
4
t
t
t
t
10635283.004.png 10635283.005.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin