Mechanika kwantowa II - B.Pac, P.Petelenz.pdf

(372 KB) Pobierz
Oscylator harmoniczny jednowymiarowy
Mechanika kwantowa II
Opracowanie:
Barbara Pac, Piotr Petelenz
Cząstka w pudle potencjału
Cząstka w pudle potencjału to układ, w którym cząstka o masie m porusza się w pewnej ograniczonej przestrzeni.
Zakładamy, ze wewnątrz pudla energia potencjalna cząstki jest stała; dla uproszczenia jej wartość przyjmujemy za
równą zeru. Niemożność wydostania się cząstki poza granice pudla jest gwarantowana przez założenie o
nieskończenie dużej wartości potencjału na jego ściankach.
Przypadek jednowymiarowy
Cząstka w jednowymiarowym pudle potencjału może poruszać się tylko w jednym kierunku (np. wzdłuż osi x, rys.1).
V
x
Rys. 1. Jednowymiarowe pudło potencjału.
0
Potencjał można w takim przypadku zdefiniować następująco:
V
=
0
x
∈
(
0
a
)
[ .3.24]
∞
,
x
∈
(
−∞
,
∪
[
a
,
∞
)
Energia naszej cząstki sprowadza się w takim przypadku do energii kinetycznej jej ruchu wzdłuż osi x :
E m x
= 2
p
[ .3.25]
a hamiltonian naszego układu ma postać:
H
=− h 2
2
m
d
dx
2
2
[ .3.26]
Równanie Schrödingera dla stanów stacjonarnych [W.3.23] można zatem zapisać jako:
−
h 2
2
m
d
dx
2
2
ψ n ψ
n
=
n
[ .3.27]
a funkcje własne i energie własne tego układu maja postać:
ψ
=
2 sin
n
a
π
x
[ .3.28]
n
a
nh
ma
22
E
n =
8
2
,
gdzie n=1,2,3.....
[W.3.29]
Rozwiązania równania Schrödingera musza spełniać warunki brzegowe właściwe dla rozważanego układu. Zatem
przy zadanej dla naszej cząstki postaci potencjału, funkcje falowe muszą na brzegach pudla przyjmować wartość 0.
Łatwo sprawdzić, ze funkcja zadana równaniem [W.3.28] spełnia ten warunek; dla x=0 i x=a mamy
ψ ψ
n
()
= =
n ()
0
.
Przypadek trójwymiarowy
Przyjmijmy teraz, ze naczynie, wewnątrz którego może poruszać się cząstka, ma kształt prostopadłościanu o
krawędziach a,b,c .
y
b
x
c
a
Rys. 2. Sześcienne pudło potencjału
z
2
0
424134878.004.png
Energia naszej cząstki ma zatem postać:
E
= + +
1
2
(
p
2
p
2
p
2
)
[.3.30]
m
x
y
z
a hamiltonian zapiszemy jako:
H
=− + +
h 2
2
d
dx
2
2
d
dy
2
2
d
dz
2
2
=−
h
2
∆
[.3.31]
m
2
m
Zauważmy, ze energie i hamiltonian możemy zapisać jako sumę komutujących ze sobą członów zależnych tylko od
jednej współrzędnej
EE E E
=++
x
y
z
[.3.32]
gdzie
E = ,
1
p
2
E = ,
1
p
2
E =
1
p
2
[W.3.33abc]
x
2
m
x
x
2
m
y
x
2
m
z
HH H H
=++ z
x
y
[.3.34]
H x
=− h 2
2
m
d
dx
2
2
, H
y
=− h 2
2
m
d
dy
2
2
,
H z
=− h 2
2
m
d
dz
2
2
[.3.35abc]
W takim przypadku funkcja falowa układu jest iloczynem funkcji falowych zależnych od danej współrzędnej
ψ
n x n y n z
(, ,)
xyz
= ⋅ ⋅
ψ ψ ψ
n x
()
x
n y
( )
y
n z
()
z
[.3.36]
a postać funkcji ψ ψ ψ
n x
( ),
x
n y
( ),
y
n z
( )
z jest analogiczna do tej danej wzorem [W.3.28]:
ψ
=
2 sin
n x
a
π
x
, ψ
=
2 sin
n y
b
π
y
, ψ
=
2 sin
n z
c
π
z
[.3.37]
n x
a
n y
b
n z
c
Ostatecznie zatem:
ψ
( , , )
xyz
=
8
sin
n x
a
π
x
⋅
sin
n y
b
π
y
⋅
sin
n z
c
π
z
;
[.3.38]
n x n y n z
V
gdzie V=abc jest objętością pudła potencjału.
Wobec zależności [W.3.29] i [W.3.32] automatycznie niemal możemy także określić wartość energii naszego układu.
E
n x n y n z
= + +
+
E
n x
E
n y
E
n z
[.3.39]
gdzie
nh
ma
22
nh
mb
22
nh
mc
22
x
y
z
E
=
, E
=
, E
=
[.3.40abc]
n x
8
2
n y
8
2
n z
8
2
Ostatecznie zatem:
h
22
n
a
n
b
2
n
c
2
y
x
z
E
=
+ +
[.3.41]
n x n y n z
8
m
2
2
2
3
424134878.005.png 424134878.006.png 424134878.007.png
 
Przykład 3
Elektron porusza się swobodnie we wnętrzu trójwymiarowego krystalitu o kształcie sześcianu, utworzonego z
półprzewodnika. Długość krawędzi krystalitu wynosi l.
1. Dla stanu podstawowego i pierwszych dwóch stanów wzbudzonych elektronu określić:
a) postać funkcji falowej
b) wartość energii
c) stopień degeneracji
2. Określić, w jaki sposób (ilościowo)
a) zmieniłaby się energia tych stanów, gdyby liniowe rozmiary krystalitu zostały podwojone?
b) zmieniłaby się energia tych stanów, gdyby elektron został zastąpiony cząstką o dwukrotnie większej masie?
Ad. 1
W naszym przypadku długości wszystkich krawędzi pudla są takie same i wynoszą l. Funkcja opisana wzorem
[W.3.38] przyjmuje zatem postać:
ψ
(, ,)
xyz
=
8
3
sin
n x
l
π
x
⋅
sin
n y
l
π
y
⋅
sin
π
z
[3.3.1]
n x n y n z
l
a energia opisana w przypadku ogólnym wzorem [W.3.41] sprowadza się do postaci:
(
h
m
2
)
2
2
2
E
=
nnn
+ +
[3.3.2]
n x n y n z
8
l
2
x
y
z
Zajmijmy się najpierw stanem podstawowym naszego elektronu. W stanie tym n x =n y =n z =1
Wtedy funkcja i energia będą dane jako:
ψ
( , , )
xyz
=
8
3
sin
π
x
⋅ ⋅
sin
π
y
sin
π
l
z
[3.3.3]
111
l
l
l
3
8
h
ml
2
E
111
=
2
[3.3.4]
Ponieważ energii E 111 odpowiada tylko jedna funkcja falowa ψ 111 , stopień degeneracji stanu podstawowego wynosi 1
(czyli stan ten nie jest zdegenerowany).
Pierwszy stan wzbudzony naszego elektronu odpowiada sytuacji, gdy dwie liczby kwantowe będą przyjmowały swoje
najniższe wartości, czyli będą równe 1, a jedna będzie równa 2.
Daje nam to następujące możliwości kombinacji liczb kwantowych n x , n y , n z :
1. n x =1 n y =1 n z =2
2. n x =1 n y =2 n z =1
3. n x =2 n y =1 n z =1
Każdej z tych kombinacji przypisujemy odpowiadającą jej funkcję falową:
1. ψ
( , , )
xyz
=
8
3
sin
π
x
⋅ ⋅
sin
π
y
sin
2
π
l
z
[3.3.5a]
112
l
l
l
2. ψ
( , , )
xyz
=
8
3
sin
π
x
⋅
sin
2
π
y
⋅
sin
π
l
z
[3.3.5b]
121
l
l
l
3. ψ
(, ,)
xyz
=
8
3
sin
2
π
x
⋅ ⋅
sin sin
π
y
π
l
z
[3.3.5c]
211
l
l
l
Wartość energii w każdym ze stanów opisanych funkcjami ψ ψ ψ
112
,
121
,
211
jest taka sama i wynosi:
3
4
h
ml
2
EEE
112
===
121
211
2
[3.3.6]
Ponieważ zatem w trzech różnych stanach opisanych funkcjami ψ ψ ψ
,
,
elektron ma taka sama wartość
112
121
211
3
4
h
ml
2
energii (równa
2
), stopień degeneracji poziomu energetycznego wynosi 3.
Czytelnikowi zostawiamy rozważenie przypadku z drugim stanem wzbudzonym.
4
n z
l
424134878.001.png 424134878.002.png
Ad. 2
Podwojenie liniowych rozmiarów krystalitu sprowadza się do zastąpienia l → 2l, a podwojenie masy m → 2m.
W stanie podstawowym postać energii elektronu o masie m poruszającego się we wnętrzu sześciennego krystalitu o
2
h
ml
ml
111
, = .
krawędzi l dane jest wzorem [3.3.4] jako: E
2
W takim razie:
2
3
82
E
ml
,
2
=
=
1
4 111
ml
,
[3.3.7]
111
2
()
3
82
h
ml
E
2
ml
, =
=
1
2 111
ml
,
[3.3.8]
111
2
⋅
czyli energia elektronu zmalałaby czterokrotnie w przypadku dwukrotnego zwiększenia liniowych rozmiarów
krystalitu i zmalałaby dwukrotnie w przypadku zastąpienia elektronu cząstką o dwukrotnie większej masie.
Analogiczna zmiana energii miałaby też miejsce w stanach wzbudzonych.
5
3
8
h
ml
E
2
E
424134878.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin