Basic_Analysis-Kuttler.pdf

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Basic Analysis
Kenneth Kuttler
April 16, 2001
2
Contents
1 Basic Set theory 9
1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 The Schroder Bernstein theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Linear Algebra 15
2.1 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Inner product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 The characteristic polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 The rank of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 General topology 43
3.1 Compactness in metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Connected sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 The Tychono theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Spaces of Continuous Functions 61
4.1 Compactness in spaces of continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Stone Weierstrass theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Abstract measure and Integration 71
5.1 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Monotone classes and algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4 The Abstract Lebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 The space L 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.6 Double sums of nonnegative terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.7 Vitali convergence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.8 The ergodic theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3
4
CONTENTS
6 The Construction Of Measures 97
6.1 Outer measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Positive linear functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7 Lebesgue Measure 113
7.1 Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2 Iterated integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.3 Change of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.4 Polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.5 The Lebesgue integral and the Riemann integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8 Product Measure 131
8.1 Measures on innite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.2 A strong ergodic theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9 Fourier Series 147
9.1 Denition and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2 Pointwise convergence of Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.2.1 Dini's criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.2.2 Jordan's criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.2.3 The Fourier cosine series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.3 The Cesaro means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.4 Gibb's phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.5 The mean square convergence of Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10 The Frechet derivative 169
10.1 Norms for nite dimensional vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.2 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.3 Higher order derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
10.4 Implicit function theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.5 Taylor's formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
11 Change of variables for C 1 maps 199
11.1 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
12 The L p Spaces 209
12.1 Basic inequalities and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
12.2 Density of simple functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
12.3 Continuity of translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
12.4 Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
12.5 Molliers and density of smooth functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
12.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
CONTENTS
5
13 Fourier Transforms 223
13.1 The Schwartz class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.2 Fourier transforms of functions in L 2 (R n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13.3 Tempered distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
14 Banach Spaces 243
14.1 Baire category theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
14.2 Uniform boundedness closed graph and open mapping theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
14.3 Hahn Banach theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
14.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
15 Hilbert Spaces 257
15.1 Basic theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
15.2 Orthonormal sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
15.3 The Fredholm alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
15.4 Sturm Liouville problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
15.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
16 Brouwer Degree 277
16.1 Preliminary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
16.2 Denitions and elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
16.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
16.4 The Product formula and Jordan separation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
16.5 Integration and the degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
17 Dierential forms 297
17.1 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
17.2 The integration of dierential forms on manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
17.3 Some examples of orientable manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
17.4 Stokes theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
17.5 A generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
17.6 Surface measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
17.7 Divergence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
17.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
18 Representation Theorems 319
18.1 Radon Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
18.2 Vector measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
18.3 Representation theorems for the dual space of L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
18.4 Riesz Representation theorem for non nite measure spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
18.5 The dual space of C (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
18.6 Weak convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
18.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
19 Weak Derivatives 345
19.1 Test functions and weak derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
19.2 Weak derivatives in L loc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
19.3 Morrey's inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
19.4 Rademacher's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
19.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

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