Równania Różniczkowe Cząstkowe.pdf

(608 KB) Pobierz
Równania różniczkowe cząstkowe
Klasyfikacja.
Warunki brzegowe.
817877956.003.png
 
Wstęp historyczny
Rozwi ą zanie d’Alemberta.
Powstanie i rozwój teorii równa ń ró ż niczkowych cz ą stkowych
zwi ą zane były z rozszerzeniem w XVIII wieku zakresu zastosowa ń
analizy matematycznej funkcji wielu zmiennych. Były to zagadnienia z
dziedziny astronomii, hydromechaniki, fizyki ciał spr ęż ystych oraz
geometrii.
Pierwszym problemem, rozwi ą zanym przy pomocy tych równa ń było
zadanie o drganiach struny.
W latach 1713 - 1715 B. Taylor znalazł równanie małych drga ń
poprzecznych niesko ń czenie cienkiej, jednorodnej struny o długo ś ci l,
umocowanej na ko ń cach, wychylonej z poło ż enia równowagi, a
nast ę pnie pozostawionej samej sobie.
817877956.004.png
Rozwiązanie d’Alemberta
Jednak dopiero około 1747 r. d’Alembert wyraził to, co Taylor
sformułował j ę zykiem mechaniczno-geometrycznym, w postaci
równania cz ą stkowego rz ę du drugiego:
2
2
y
y
2
a
2
2
t
x
gdzie x i y – to współrz ę dne punktu struny, t jest czasem, za ś a –
stałym parametrem okre ś laj ą cym g ę sto ść struny i jej napr ęż enie.
W XIX wieku, po dokonanej klasyfikacji równa ń cz ą stkowych,
nazwano
to
równanie falowym,
lub
równaniem
typu
hiperbolicznego.
817877956.005.png
Ogólne rozwi ą zanie tego równania dla a = 1 , przy
warunkach brzegowych
ty 0
,0(
)
,0
y
,(
l
t
)
i warunkach pocz ą tkowych
xy
0,( x
)
xy
)0,( x
f
(
),
g
(
)
t
znalazł d’Alembert za pomoc ą metody opartej na poj ę ciu
ró ż niczki zupełnej. Otrzymał rozwi ą zanie
y
)( t
x
t
(
x
)
i nazwał je rozwi ą zaniem ogólnym , gdzie i okre ś li ć
nale ż y na podstawie warunków brzegowych i pocz ą tkowych.
817877956.001.png
W pó ź niejszym okresie d’Alembert proponował szuka ć
rozwi ą zania
w
postaci
iloczynu
dwóch
funkcji
jednej
zmiennej, tzw. metod ą rozdzielenia zmiennych.
y
f
)( x
t
g
(
)
Ten pomysł szeroko rozwin ą ł J.B. Fourier, na pocz ą tku XIX
wieku.
817877956.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin